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幂函数习题精选精讲(免费推荐)


幂函数 函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学学习的始终,而幂函数是其中的一部分内容,这部分内容虽然少而简单,却包含了一 些重要的数学思想.下面剖析几例,以拓展同学们的思维. 一、分类讨论的思想 例1 已知函数 y ? x
n2 ? 2 n ? 3

(n ? Z) 的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于 y 轴对称,求 n 的值,并画出函数的

图象.
2 2 2

解: 因为图象与 y 轴无公共点, 故 n ? 2n ? 3 ≤ 0 , 又图象关于 y 轴对称, 则 n ? 2n ? 3 为偶数, 由 n ? 2n ? 3 ≤ 0 , 得 ?1 ≤ n ≤ 3 ,

?1 , 2, 3. 又因为 n ? Z ,所以 n ? 0,
当 n ? 0 时, n ? 2n ? 3 ? ?3 不是偶数;
2

当 n ? 1 时, n ? 2n ? 3 ? ?4 为偶数;
2

当 n ? ?1 时, n ? 2n ? 3 ? 0 为偶数;
2

当 n ? 2 时, n ? 2n ? 3 ? ?3 不是偶数;
2

当 n ? 3 时, n ? 2n ? 3 ? 0 为偶数;
2

所以 n 为 ?1 ,1 或 3. 此时,幂函数的解析为 y ? x ( x ? 0) 或 y ? x
0 ?4

,其图象如图1所示.

二、数形结合的思想

1? ? 4? ? 问当 x 为何值时有: (1) f ( x) ? g ( x ) ; (2) f ( x) ? g ( x ) ; (3) f ( x) ? g ( x) . 分析:由幂函数的定义,先求出 f ( x) 与 g ( x) 的解析式,再利用图象判断即可.
例2 解:设 f ( x) ? x ,则由题意,得 2 ? ( 2) ,
m

已知点 ( 2, 2) 在幂函数 f ( x) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在幂函数 g ( x) 的图象上.

m

2 n ∴ m ? 2 ,即 f ( x) ? x .再令 g ( x) ? x ,则由题意,得

1 ? (?2)n , 4

∴ n ? ?2 ,即 g ( x) ? x ( x ? 0) .在同一坐标系中作出

?2

f ( x) 与 g ( x) 的图象,如图 2 所示.由图象可知:
(1)当 x ? 1 或 x ? ?1 时, f ( x) ? g ( x ) ; (2)当 x ? ?1 时, f ( x) ? g ( x ) ; (3)当 ?1 ? x ? 1 且 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) . 小结:数形结合在讨论不等式时有着重要的应用,注意本题中 g ( x) 的隐含条件 x ? 0 . 三、转化的数学思想 例3 函数 y ? (mx ? 4 x ? m ? 2)
2 ? 1 4

? (m2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,则实数 m 的取值范围是(

) .

A. ( 5 ? 1 , 2) B. ( 5 ? 1 , ? ∞)

2) C. (?2,
D. (?1 ? 5 , ? 1 ? 5) 解析:要使函数 y ? (mx ? 4 x ? m ? 2)
2 ? 1 4

? (m2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,可转化为 mx 2 ? 4 x ? m ? 2 ? 0 对一切实数都成立,

2 即 m ? 0 且 ? ? 4 ? 4m(m ? 2) ? 0 .

解得 m ? 5 ? 1 . 幂函数中的三类讨论题

故选(B)

所谓分类讨论,实质上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略. 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧,做 到确定对象的全体,明确分类的标准,不重、不漏的分类讨论.在幂函数中,分类讨论的思想得到了重要的体现,可根据幂函数的图象和 性质,依据幂函数的单调性分类讨论,使得结果得以实现. 类型一:求参数的取值范围 例1 已知函数 f ( x) ? x
?2 m2 ? m? 3

(m ? Z) 为偶函数,且 f (3) ? f (5) ,求 m 的值,并确定 f ( x) 的解析式.

分析:函数 f ( x) ? x

?2 m2 ? m? 3

(m ? Z) 为偶函数,已限定了 ?2m2 ? m ? 3 必为偶数,且 m ? Z , f (3) ? f (5) ,只要根据条件分类讨

论便可求得 m 的值,从而确定 f ( x) 的解析式. 解:∵ f ( x) 是偶函数,∴ ?2m ? m ? 3 应为偶数.
2

又∵ f (3) ? f (5) ,即 3

?2 m2 ? m ? 3

?5

?2 m2 ? m ? 3

?3? ,整理,得 ? ? ?5?

?2 m2 ? m ? 3

? 1 ,∴ ?2m2 ? m ? 3 ? 0 ,∴ ?1 ? m ?

3 . 2

又∵ m ? Z ,∴ m ? 0 或 1.
2 2 当 m=0 时, ?2m ? m ? 3 ? 3 为奇数(舍去) ;当 m ? 1 时, ?2m ? m ? 3 ? 2 为偶数.

故 m 的值为 1, f ( x) ? x .
2

评注:利用分类讨论思想解题时,要充分挖掘已知条件中的每一个信息,做到不重不漏,才可为正确解题奠定坚实的基础. 类型二:求解存在性问题 例2

? 4? 是 已知函数 f ( x) ? x , 设函数 g ( x) ? ?qf [ f ( x)] ? (2q ? 1) f ( x) ? 1 , 问是否存在实数 q ( q ? 0) , 使得 g ( x) 在区间 ? ?∞,
2

0) 上是增函数?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 减函数,且在区间 (?4,
分析:判断函数的单调性时,可以利用定义,也可结合函数的图象与性质进行判断,但要注意问题中符号的确定,要依赖于自变量的 取值区间. 解:∵ f ( x) ? x ,则 g ( x) ? ?qx ? (2q ? 1) x ? 1 .
2 4 2

假设存在实数 q ( q ? 0) ,使得 g ( x) 满足题设条件, 设 x1 ? x2 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?qx1 ? (2q ? 1) x1 ? qx2 ? (2q ? 1) x2
4 2 4 2 ? ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 )[q( x12 ? x2 ) ? (2q ? 1)] . 2

? 4? ,易知 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 ,要使 g ( x) 在 ? ?∞, ? 4? 上是减函数,则应有 q( x1 ? x2 ) ? (2q ? 1) ? 0 恒成 若 x1,x2 ? ? ?∞,
2 2

立. ∵ x1 ? ?4 , x2 ≤ ?4 ,∴ x1 ? x2 ? 32 .而 q ? 0 ,
2 2

∴ q( x1 ? x2 ) ? 32q ..
2 2

从而要使 q( x1 ? x2 ) ? 2q ? 1 恒成立,则有 2q ? 1≥ 32q ,即 q ≤ ?
2 2

1 . 30
2 2

0) 上是增函数,则应有 q( x1 ? x2 ) ? (2q ? 1) ? 0 恒成立. 0) ,易知 ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) ? 0 ,要使 f ( x) 在 (?4, 若 x1,x2 ? (?4,
∵ ?4 ? x1 ? 0 , ?4 ? x2 ? 0 , ∴ x1 ? x2 ? 32 ,而 q ? 0 ,∴ q( x1 ? x2 ) ? 32q .
2 2 2 2

要使 q( x1 ? x2 ) ? 2q ? 1 恒成立,则必有 2q ? 1≤ 32q ,即 q ≥ ?
2 2

1 . 30

综上可知,存在实数 q ? ?

1 0) 上是增函数. ,使得 g ( x) 在 ? ?∞, ? 4? 上是减函数,且在 (?4, 30

评注:本题是一道综合性较强的题目,是幂函数性质的综合应用.判断函数的单调性时,可从定义入手,也可根据函数图象和性质进 行判断,但对分析问题和解决问题的能力要求较高,这在平时要注意有针对性的训练. 类型三:类比幂函数性质,讨论函数值的变化情况 例3 讨论函数 y ? (k ? k ) x
2 k 2 ?2 k ?1

在 x ? 0 时随着 x 的增大其函数值的变化情况.

分析:首先应判定函数是否为常数函数,再看幂指数,并参照幂函数的性质讨论.
2 解: (1)当 k ? k ? 0 ,即 k ? 0 或 k ? ?1 时, y ? 0 为常函数;

(2)当 k ? 2k ? 1 ? 0 时, k ? 1 ?
2

2 或 k ? 1 ? 2 ,此时函数为常函数;

(3) ?

?k 2 ? k ? 0, ? 即 0 ? k ? 1 ? 2 时,函数为减函数,函数值随 x 的增大而减小; 2 ? ?k ? 2k ? 1 ? 0,
2 ? ?k ? k ? 0, 即 k ? ?1 或 k ? 1 ? 2 时,函数为增函数,函数值随 x 的增大而增大; 2 ? ?k ? 2k ? 1 ? 0, 2 ? ?k ? k ? 0, 即 1 ? 2 ? k ? 0 时,函数为增函数,函数值随 x 的增大而增大; 2 ? ?k ? 2k ? 1 ? 0,

(4)当 ?

(5)当 ?

(6)当 ?

?k 2 ? k ? 0, ? ,即 ?1 ? k ? 1 ? 2 时,函数为减函数,函数值随 x 的增大而减小. 2 ? ?k ? 2k ? 1 ? 0,

评注:含参数系数问题,可以说是解题中的一个致命杀手,是导致错误的一个重要因素.这应引起我们的高度警觉. 幂函数习题 幂函数这一知识点,表面上看内容少而且容易,实质上则不然.它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想,是培养同学们数学 思维能力的良好载体.下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用. 例1 若 (m ? 1)
?1

? (3 ? 2m)?1 ,试求实数 m 的取值范围.

? m ? 1 ? 0, ? 错解(数形结合) :由图1可知 ?3 ? 2m ? 0, ? m ? 1 ? 3 ? 2m, ?
解得

m?

2 3 ,且 m ? . 3 2

0) 和 (0, ? ∞) 上分别具有单调性,但在区间 (?∞, 0) 剖析:函数 y ? x ( x ? 0) 虽然在区间 ( ?∞,
用单调性解答是错误的. 正解(分类讨论) :

?1

(0, ? ∞) 上不具有单调性,因而运

? m ? 1 ? 0, ? (1) ?3 ? 2m ? 0, ? m ? 1 ? 3 ? 2m, ?
解得

2 3 ? dm ? ; 3 2

? m ? 1 ? 0, ? (2) ?3 ? 2m ? 0, 此时无解; ? m ? 1 ? 3 ? 2m, ?
(3) ?

? m ? 1 ? 0, , 解得 m ? ?1 . ?3 ? 2m ? 0,
?2 3? ? ,?. ?3 2?

? 1) 综上可得 m ? (?∞,

现在把例 1 中的指数 ?1 换成 3 看看结果如何. 例2 若 (m ? 1) ? (3 ? 2m) ,试求实数 m 的取值范围.
3 3

错解(分类讨论) :由图 2 知,

? m ? 1 ? 0, 2 ? (1) ?3 ? 2m ? 0, 1, 解得 ?1 ? m ? ; 3 ?3 ? 2 m ? m ? 1 , ? ? m ? 1 ? 0, ? (2) ?3 ? 2m ? 0, 此时无解; ?3 ? 2 m ? m ? 1 , ?
(3) ?

? m ? 1 ? 0, , 解得 ?3 ? 2m ? 0,
m ? (?∞, ? 1)

m ? ?1 .

综上可得

2? ? ,?. ? ?1 3? ?

剖析:很明显,此解法机械地模仿例1的正确解法,而忽视了函数间定义域的不同.由此,使我们感受到了幂函数的定义域在解题中 的重要作用.

? ∞) 上单调递增,所以 m ? 1 ? 3 ? 2m ,解得 m ? 正解(利用单调性) :由于函数 y ? x 在 (?∞,
3

2 . 3

例 2 正确解法深化了对幂函数单调性的理解,激活了同学们的思维.下面再对 ? ? 例 3 若 (m ? 1) 2 ? (3 ? 2m) 2 ,试求实数 m 的取值范围.
1 1

1 和 ? ? 4 两个问题与解法进行探究. 2

? m ? 10, ? 解:由图 3, ?3 ? 2m ? 0, ,解得 ?3 ? 2 m ? m ? 1 , ?

?1≤ m ?

2 . 3

例4

若 (m ? 1) ? (3 ? 2m) ,
4 4 4

试求实数 m 的取值范围.

解析: 作出幂函数 y ? x 的图象

0) 如图 4.由图象知此函数在 (?∞,
4

(0, ? ∞) 上

4 4 4 不具有单调性,若分类讨论步骤较繁,把问题转化到一个单调区间上是关键.考虑 ? ? 4 时, x ? x .于是有 (m ? 1) ? (3 ? 2m) ,即

m ? 1 ? 3 ? 2m .
? ∞) 上单调递增, 又∵幂函数 y ? x 在 (0,
4

4

4

∴ m ? 1 ? 3 ? 2m , 解得 m ?
?

2 ,或 m>4. 3

上述解法意识到幂函数 y ? x (? ? 0) 在第一象限的递增性,于是巧妙运用转化思想解题,从而避免了分类讨论,使同学们的思维又一 次得到深化与发展. 解题点悟:通过以上探究,我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识,同时对于形如 [ f ( x)] ? [ g ( x)] ( ? 是常数)型的不等式的解法有了以下体会: (1)当 ? ? ?1 , ? , ? , ,解法同例 1 (2)当 ? ? 1 , 3,, 5,, ,解法同例 2
? ?

1 3

1 5

1 3

1 5

1 1 1 2 4 6 ? ? ? 2 , ? 4, ? 6, ,解法同例 4. (4)当

(3)当 ? ? ? , ,解法同例 3 ? , ? ,,

编者点评:本文通过对一典型例题的多种变换,使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识,其中例 4 解题过程中虽涉及了含 绝对值不等式的解法,超出了我们的所学范围,但它其中蕴含的这种“转化”的思想,一方面拓宽了我们的解题思路,同时也体现了对知 识的灵活应用能力,当然此题还可用分类讨论的方法解决,同学们不妨一试.


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