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高二理科数学下册第一次月考试题2


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高二理科数学第一次月考试题 数学(理科)试题 第 1 卷选择题
一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合 M={x1x2< 91},a= 一 4,则 A.a∈M B.a ? M. C.{a

} ? M D.{a} ? M

2.下列四组函数中,表示同一函数的是 A.fx.=1,gx.=x0 B.fx.=x-1 ,gx.=

x2 —1 x

C.fx.=x3,gx.=

3

x9

D.fx.=x2,gx.=

x .4

3.已知函数 fx.—lgx2—3x+2.的定义域为 M,gx.=lg1 一 x.+lgx+2.的定义域为 N, 则 A.M ? N= ? 4.设 a=log2 B.M=N. C.M ? N D.N ? M

3 3 3 ,b=2log2 ,c= log23 ,则 4 4 4
B.C<a<b. C.b<c<a D.b<a<c

A.a<b<c.

5.某产品计划每年降低成本 q%,若 3 年后的成本费为 a 元,则现在的成本费为 A.

a 元 (1 ? q 0 )3 0 a 元 (1 ? q 0 )3 0
2

B.a (1 ? q 0 ) 元

0
3

3

C.

D. (1 ? q 0 ) 元

0

6.已知函数 y=fx.的反函数是 f-1(x)= 4 ? x ,-2≤x≤O.,则 fx.的定义域为 A.[0,2]. B.[一 2,2]. C.[一 2,O]. D.-2,0.

7.已知 lga+lgb=0,函数 fx.=ax 与函数 gz.=logbx 的图象可能是

8.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 al=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5 等于 A.189 B.84. C.72. D.33.

9.已知函数 fX.=2x2 一 mx+3,当 x∈一 2,+ ? .时是增函数,当 x∈一 ? ,一 2.时是 减函数,则 f1.等于 A.-3. C.13 10.函数 fz.=log B.7. D.由 m 而决定的常数.

1 6 一 x—x2.的单调递增区间是 3 1 1 A.一 3,2.. B.一 ? ,一 .. C.一 3,一 .. 2 2

D.一

1 ,2.. 2

11.已知等差数列{an}中,a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 s10= A.95 B.23 C.138 D.135.

12.有限集合 S 中元素的个数记做 cardS.,设 A,B 都为有限集合,给出下列命题: ①A ? B 的充分条件是 cardA. ? cardB.; ②A ? B 的必要条件是 cardA. ? cardB.; ③A ? B= ? 的充要条件是 cardA ? B.=cardA.+cardB.; ④A=B 的充要条件是 cardA.=cardB.; 其中真命题的序号是 A.①②. B.①④. C.②③. D.③④.

第 lI 卷非选择题,共 90 分.
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.0.027.—1/3+2

7 1/2 . — log 1 9 2

4

32 =

14.命题“若 x=1 或 x=2,则 x2 一 3x+2=O”的否命题是

? x 2 ? 1( x ? 0) 15.已知函数 fx.= ? ,gx.=x+2,则 g[f—5.]= ? x ? 1( x ? 0)
16.已知数列{

11 13 1 }成等差数列,则 a3=— ,a5=— ,那么 a8 的值为 6 7 an ? 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.本题满分 10 分. 已知命题 P:lgx2 一 2x 一 2.≥0;命题 Q: 1 ? 假命题,求实数 x 的取值范围.

x <1,若命题 P 是真命题,命题 Q 是 2

18.本小题满分 12 分. 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 1,3,9 后又依次成等比 数列,求这三个数.

19.本小题满分 12 分. 已知函数 fx.=a—

1 a 为实常数.. 2 ?1
x

I.当 a=O 时,求函数 fx.的值域; II.求证:无论 a 为何实数,函数 fx.在区间— ? ,+ ? .上总是增函数

20.本小题满分 12 分. 设计一水槽,其横截面为等腰梯形如图,要求 AB+BC+CD=a 常数.,∠ABC=1200, 写出横截面面积 y 与腰长 x 间的关系式,并求出它的定义域和值域.

21.本小题满分 12 分. 已知等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,a2=3,a5=25, I.求数列{an}的通项公式; Ⅱ.若 bn=

an ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2n

22.本小题满分 12 分. 已知定义在 R 上的函数 fx.满足:f1.= fx+y.+fx—y.成立, I.求,f0.的值,并证明对任意实数 x,f-x.=fx.; Ⅱ.定义数列{an}: an= 2n+1.—fn.n=1,2,3,….,求证:{ an }为等比数列; III.若对于任意非零实数 y,总有,fy.>2,设有理数 xl, x2 满足 x1 求证:fx1.< fx2. < x2

5 ,且对于任意实数 x.y,总有,fx..fy.= 2

参考答案

选择题每小题 5 分,本题满分共 60 分. 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 D 5 A 6 A 7 B 8 B 9 C 10 D 11 A 12 C

二.填空题每小题 5 分,本题满分共 20 分. 13.

25 . 14.若 x≠1 且 x≠2,则 x2 一 3x+2≠0 4

15.一 2

16.一

32 17

三.解答题本大题共 6 小题,共 70 分. 17.本小题满分 l0 分. 解:由 Igx2 一 2x 一 2.≥0,得 x2 一 2x 一 2≥1,即 x2 一 2x 一 3≥0 多以 x≤一 l 或 x≥3 由 1?

x x <1,得一 1< 1 ? <1,多以 0<x<4 2 2

因为:命题 P 为真,命题 Q 假, ? 所以 x≤一 1 或 x≥4

? x ? ?1或x ? 3 ? x ? 0或x ? 4

所以,满足条件的的实数 x 的取值范围为一 ? ,一 1] ? [4,+ ? . 18.本小题满分 12 分. 解:设这三个正数依次为 x 一 d,x,x+d 则 x—d.+1,x+3,x+d.+9 成等比数列 于是 ?

?( x ? d ) ? x ? ( x ? d ) ? 15
2 ?( x ? d ) ? ( x ? d ? 1)( x ? d ? 9)

解得 ?

? x ? 5 ?x ? 5 或? d ? 2 ?d ? ?10 ?

因为:三个数均为正数,多以 d=一 10 舍去 故所求的三个数为 3,5,7 19.本小题满分 12 分. I.解:当 a=0 时,fx.= ?

1 2 ?1 1 1 x 因为 2 >0,所以 0< x <1,从而一 x ∈—1,0., 2 ?1 2 ?1
x

多以函数 fx.的值域为一 1,0.

II.设 xl,x2∈R,且.X1<x2,则 Fxl.—Fx2.= (a ?

1 2
x1

1 ) ? (a ? x2 ) ?1 2 ?1

=

? 2 x2 ? 1 2 x1

1

1

2x1 ? 2x2 = ? 1 (2x1 ? 1)(2x2 ? 1)
x x x x2

因为:函数 y ? 2x 在 R 上是增函数,且 xl < x2,所以 2 1 < 2 2 ,即 2 1 ? 2 又因为 2 >0,得 2x1 ? 1 >0, 2 x2 ? 1 >0
x

<0

所以,Fxl.—Fx2.<0,即 Fxl.<Fx2. 所以,对于任意实数 a,fx.在 R 上为增函数 20.本小题满分 12 分. 解:设 AB=CD=x,水槽横截面面积为 y,则 BC=a 一 2x.AD—=BC+2ABsin300=a—x

AB ? CD 3 3x 2 3 0 (2a ? 3 x) 3 x y? ADcos30 = =? ? ax 2 4 2 4

?x ? 0 a ? 由 ? a ? x ? 0 ,解得 0<x< 2 ?a ? 2 x ? 0 ?
所以, y ? ?

a 3 3x 2 3 ? ax ,其定义域为 0, . 2 4 2

a 3 3x 2 3 3 3x 2 a 3 2 又y?? ? ax = ? (x ? ) ? a (0<x< . 2 4 2 4 3 12
所以,当 x

a 3 2 3 2 =时,y 有最大值 a ,无最小值,即值域为 o, a ] 3 12 12

21.本小题满分 12 分. 解:I.设等差数列{an}的公差为 d,则由 a2=3,S5=25 得

? a1 ? d ? 3 ? ?5a1 ? 10d ? 25
解得 a1 ? 1 , d ? 2 所以, an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1

(II)因为 bn ?

an 2 n ? 1 ? 2n 2n 1 3 5 2n ? 1 所以, Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? 2 2 2 2n 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? ... ? ? n ?1 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 1 n2 ? 1 ? 2 ( ? 2 ? 3? . ? . . n ?) ? n? 1 2 2 2 2 2 2 3 ? 2n ? 2n ? 3 = 2 n ?1 2n ? 3 所以, Tn ? 3 ? 2n

22.本小题满分 12 分. 解:I.令 x=1,y=0,则,f1.f0.= f1.+ f1. 因为 f1.=

5 ,多以 f0.=2 2

令 x=O,f0.fy.=fx.+f—y. 即:2 fy.= fy.+ f—y., 所以,fy.= f—y. 所以,对任意任意实数 x,fx.= f(—x. Ⅱ.令 x=y=1,得 f 1.f 1.= f 2.+ f 0.,

25 ? f (2) ? 2 4 17 17 5 ? ?6 所以, f (2) ? , a1 ? 2 f (2) ? f (1) ? 4 2 2
所以, 令 x=n+1,y=1,得 fn+1.f1.=fn+2.+fn. 所以: f (n ? 2) ?

5 f (n ? 1) ? f (n) 2

所以, an?1 ? 2 f (n ? 2) ? f (n ?1) ? 2?2 f (n ?1) ? f (n)

? ? f (n ?1)

? 4 f (n ?1) ? 2 f (n) ? 2?2 f (n ?1) ? f (n)
? 2an (n ? N )
又 a1=6, an ? 0, 所以, an

?

an?1 ?2 an

? ? 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列.

III.因为 f(0)=2,y≠O 时,y.>2,

所以, f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? 2 f ( x)

即f ( x? y) ? f( x )?

f( x ) ?

f( ? x

y )

所以 ,对 任意 k ∈ N , 总有 以 f ? ?(k ? 1) y ? ? f (ky ) ? f (ky ) ? f ? ?(k ? 1) y ? 成立

f? ? ? f ( k y)? ?( k? 1 ) y

f( k ? y ) ? y? ? f ( ? k ?1 ) ? ?

? f (? ? k 1 ) ?y ?

f? ( ? k 2 )? y

. . . f?( y )

? f (0)

0

所以,对于 k∈ⅣN,总有 f ? ?(k ? 1) y ? ? f (ky ) 成立 对于 m,n∈N,若 n<m,则有, f (ny) <…< f (my ) 成立. 因为 x1,x2∈Q,设 x2 ?

q1 q , x2 ? 2 ,其中 q1,q2 是非负整数,P1,P2 是正整数, p1 p2

则, x1 ?

q1 p2 q p , x2 ? 2 1 p1 p2 p2 p1

令 y=

1 因为, x1 < x2 p1 p 2

p1q2 < p2 q1 ,且 p1q2 , p2 q1 ∈Ⅳ, p1q2 y < p2q1 y

所以, f ( p1q2 y) < f ( p2q1 y) ,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) 由 I.知对任意 x∈R,有, f ( x) ? f (? x) 所以, f ( x1 ) = f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x2 ) 所以, f ( x1 ) < f ( x2 )


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