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16.2排列


16.2排列

复习巩固
1、排列的定义: 从n个不同元素中,任取m( m ? n )个元素(m 个元素不可重复取)按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数的定义: 从n个不同元素中,任取m( m ? n)个元素的 所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元 素的排列数 P
m n

/> 3.全排列的定义: n个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n个不 同元素的一个全排列.

4.有关公式:

?1?.阶乘:n! ?
(2)排列数公式:
m n

1? 2 ? 3 ? ? ? ? ?(n ? 1)? n

n! P ? n ?(n ? 1)? ? ?(n ? m ? 1) ? (n ? m)! (m、 n? N*, m ? n)
n n

(3)全排列数公式: P ? n!

思考:
m 1.P 17 m ? ___ 14 n ? 17 ?16 ? ... ? 5 ? 4, 则n ? ___,

2.若n ? N , 则(55 ? n)(56 ? n)(57 ? n)....(68 ? n)(69 ? n)
15 用排列数符号表示 ____ 69 ? n

P

3.求下列各式中的 n的值
4 3 () 1 P2n ? 140 P ?1 n

(2) 3P ? 4P
n 8

n?1 9

例1. 5个人站成一排

⑴共有多少种排法? ⑵其中甲必须站在中间,有多少种不同的排法?
解:⑴ P ? 120 种排法.
5 5

⑵ 甲的位置已定,其余4人可任意排列, 有 P ? 24 种.
4 4

例2. 5个人站成一排
⑸其中甲、乙两人不站排头和排尾,有多少种 不同的排法?
解:⑸ 甲、乙两人不站排头和排尾,则这两个位置可 2 3 从其余3人中选2人来站,有 P 种排法,剩下的人有 P 3 3 2 3 种排法,共有 P 种排法. (特殊位置预置法) 3 ?P 3 ? 36

P ? P ? 36
2 3 3 3

(特殊元素预置法)

例2. 5个人站成一排
⑹其中甲不站排头,乙不站排尾,有多少种不 同的排法? 4 4 解:⑹ 甲站排头有 P4 种排法,乙站排尾有 P4 种排法,但两种情况都包含了“甲站排头,乙 站排尾”的情况,有 P33种排法, 所以共有 P55 ? 2 P44 ? P33 ? 78 种排法.

用直接法,如何分类?
一类:甲站排尾

P

所以共有P ? P ? P ? P ? 78种排法.
1 3 1 3 3 3

4 4 4 4

二类:甲站中间

P ?P ?P
1 3 1 3

3 3

例3. 用0到9这十个数字,可以组成多少个没有 重复数字的三位数?
分析1:由于百位上的数字不能为0,只能从1到9这9个数字中任选 一个,有 P91 种选法,再排十位和个位上的数字,可以从余下的9 个数字中任选2个,有 P92 种选法,根据分步计数原理,所求三位 数的个数是: P91 ? P92 ? 648 (特殊位置预置法)

分析2:从0到9这十个数字中取3个的排列数为 P 10 ,其中以0为百 2 位数字的排列数为 P ,故所求三位数的个数是: 9
3 2 P ? P 10 9 ? 648

3

(排除法)

有约束条件的排列问题
例4:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数,其中小于50000的偶数共有多少个? 万位
1 P 3

千位

百位

十位

个位

P 解法一:(正向思考法)个位上的数字排列数

3 3

P21

4中选);万位上的数字排列数有 有P21种(从2、 P 种(5不能选),十位、百位、千位上的排列数 有P 种,故符合题意的偶数有P P P 个。
3 3 1 1 3 2 3 3 1 3

例5.
(1)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字 的五位偶数? 4 个位数为零: P 5 个位数为2或4: P ? P ? P
1 2 1 4 3 4

4 1 1 3 所以 P ? P ? P ? P 5 2 4 4 ? 312 (2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数 字且能被五整除的五位数?

分类:后两位数字为5或0: 个位数为0: P54 1 3 个位数为5: P4 ? P4
4 5 1 4 3 4

P ? P ? P ? 216

(3)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数 字且大于31250的五位数?
分类:

P P ? P ? P ? P ? P ? 1 ? 325
1 4 2 5 1 3 3 4 1 2 2 3

(4)31250是由0,1,2,3,4,5组成的无重复 数字的五位数中从小到大第几个数?
方法一:(排除法)

P ? P ? 325 ? 275
1 5 4 5

例7.

变式题

【解答】 B 因为 【解答】 B 因为 【解答】 B 因为 A.14 B.15 C.16 D.17 n?n- ??- n- 2n ?? ?2 n - 6 ?- n ? - ??- n- 2n ?? ?2 n - 4 ? -4? n1 ?n 1 ?? - ? ?n - 6n ?n - n1 ?n 1 ?? - ? ?n n?n- 1??n - 2? ? ??n - 6? - ?n- 1??n - 2? ? ??n - 4? n?n- ??- n- 2n ?? ?2 n - 4 ? -4? n1 ?n 1 ?? - ? ?n n?n- 1??n - 2? ? ??n - 4? =(n- 5)( n- 6) - 1 = (n - 5)( n - 6) -1 =( n - 5)( n - 6) - 1 2n+29, =n2- 2 11 = n - 11n + 29, =n - 11 n + 29 , 2n+29=89,化简得 n2- 2n-60=0, 所以所以 n2- 2 11 2 11 n - 11 n + 29 = 89 ,化简得 n - 11n - 60 = 0, 所以 n -11n+29=89,化简得 n -11 n- 60 = 0, 解得解得 n=15,或 n=- 舍)4( ,故方程的解是 n=15. = 15,或 n4( =- 舍),故方程的解是 =15. 解得 n=n 15 ,或 n=- 4(舍 ),故方程的解是 n=n 15.

7 5 An-An 若 =89,则 5 An

n=(

)

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是一 个男孩,三家是一个女孩,现将这七个小孩站成一 排照相留念。 a)若三个女孩要站在一起,有多少种不同的排法?

例8.

捆绑法 有条件的排列问题

解:将三个女孩看作一人与四个男孩排队,有 P5 种 3 P 排法,而三个女孩之间有 3 种排法,所以不同的排 法共有: P55 ? P33 ? 720 (种)。

5

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 b)若三个女孩要站在一起,四个男孩也 要站在一 起,有多少种不同的排法?

不同的排法有:

P ? P ? P ? 288(种)
2 2 3 3 4 4

说一说

捆绑法一般适用于 相邻 问题的处 理。

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
c) 若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?

插空法

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
c) 若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?

解:先把四个男孩排成一排有 P 4 种排法,在每一排 列中有五个空档(包括两端),再把三个女孩插入 4 3 3 空档中有 P 种方法,所以共有: (种) P ? P 4 5 ? 1440 5 排法。

4

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
d) 若三个女孩互不相邻,四个男孩也互不相邻, 有多少种不同的排法?

说一说

不同的排法共有:

P ? P ? 144(种)
4 4 3 3

插空法一般适用于互不相邻 问题的处理。

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
e) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边,有多少 种不同的排法?

A

B

解: A 在 B 左边的一种排法必对应 着 A 在 B 右边的一种排法,所以在 全排列中, A在B左边与A在B右边 的排法数相等 ,因此有:

B

A

1 2

P ? 2520
7 7

(种)

排法。

2015年5月

有条件的排列问题

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成两排照相留念。
f)若前排站三人,后排站四人,其中的A.B两小孩 必须站前排且相邻,有多少种不同的排法?

B A
2P 解:A,B两小孩的站法有: (种),其余人的站法 2 5 2 5 有P (种),所以共有 (种) 排法。 2 P ? P 5 2 5 ? 480
2


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