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2013届高考数学第一轮复习教案第38讲 导数、定积分


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2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 38 讲 导数、定积分
一.课标要求:

1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化 率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体 会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数 y=c, y=x, 2, 3, y=x y=x y=1/x, y=x 的 导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b) ) 的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的 关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数 的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以

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及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法 在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数 在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等) ,从问题情境 中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初 步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关 系) ,直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交 流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见 本《标准》中"数学文化"的要求。
二.命题走向

导数是高中数学中重要的内容, 是解决实际问题的强有力的数学 工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值 是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题 等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答 题形式和其它数学知识结合起来, 综合考察利用导数研究函数的单调 性、极值、最值,估计 2013 年高考继续以上面的几种形式考察不会

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有大的变化: (1)考查形式为:选择题、填空题、解答题各种题型都会考察, 选择题、填空题一般难度不大,属于高考题中的中低档题,解答题有 一定难度,一般与函数及解析几何结合,属于高考的中低档题; (2) 2013 年高考可能涉及导数综合题, 以导数为数学工具考察: 导数的物理意义及几何意义,复合函数、数列、不等式等知识。 定积分是新课标教材新增的内容,主要包括定积分的概念、微积 分基本定理、 定积分的简单应用, 由于定积分在实际问题中非常广泛, 因而 2013 年的高考预测会在这方面考察, 预测 2013 年高考呈现以下 几个特点: (1)新课标考察,难度不会很大,注意基本概念、基本性质、 基本公式的考察及简单的应用;高考中本讲的题目一般为选择题、填 空题,考查定积分的基本概念及简单运算,属于中低档题; (2)定积分的应用主要是计算面积,诸如计算曲边梯形的面积、 变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。
三.要点精讲

1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x , 那么函数 y 相应地有 增量 ?y =f x 0 + ?x ) (x 0 ) 比值 ( -f , 之间的平均变化率,即
?y 叫做 函数 y=f x) x 0 到 x 0 + ?x ( 在 ?x

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = 。 ?x ?x

如果当 ?x ? 0 时,

?y 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可 ?x
0

导, 并把这个极限叫做 (x) f 在点 x 0 处的导数, 记作 f? x 0 ) y?| x? x 。 ( 或

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lim 即 f(x 0 )= ?x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim = ?x?0 。 ?x ?x

说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 如果
?y 有极限。 ?x

?y 不存在极限,就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。 ?x

(2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数 值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤(可 由学生来归纳) : (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ; (2)求平均变化率
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x

(3)取极限,得导数 f?(x 0 )= lim 2.导数的几何意义

?y 。 ?x ? 0 ?x

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) ) 处的切线的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在

点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f?(x 0 ) 。相应地,切线方程为 y-y 0 =f/(x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.常见函数的导出公式. (1) (C )? ? 0 (C 为常数) (3) (sin x)? ? cos x (2) ( x n )? ? n ? x n?1 (4) (cos x)? ? ? sin x

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和

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(或差), 即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2: 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个 函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv' . 若 C 为常数,则 (Cu) ' ? C 'u ? Cu ' ? 0 ? Cu ' ? Cu ' .即常数与函数的积的 导数等于常数乘以函数的导数: (Cu) ' ? Cu ' . 法则 3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去
u u ' v ? uv' 分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: ? ? ?= (v ? 0) 。 ? ? 2 ?v?

v

形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解 ——求导——回代。法则:y'| X = y'| U · X u'| 5.导数的应用 (1)一般地,设函数 y ? f (x) 在某个区间可导,如果 f ' (x) ? 0 , 则 f (x) 为增函数;如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数;如果在某区间内 恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数; (2)曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲 线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧 切线的斜率为负,右侧为正; (3)一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f (x) 在[a,b]上必有最 大值与最小值。①求函数 ? (x) 在(a,b)内的极值; ②求函数 ? (x) 在 区间端点的值 ?(a)、 ?(b); ③将函数 ? (x) 的各极值与 ?(a)、 ?(b)比较,

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其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 6.定积分 (1)概念 设函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn =b 把区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一 点 ξ(i=1, …n) 2, 作和式 In= ? f (ξi)△ x (其中△ x 为小区间长度) , i
i=1 n

把 n→∞即△ x→0 时,和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定 积分,记作: ?a f ( x)dx ,即 ?a f ( x)dx = lim ? f (ξi)△ x。 n ??
b b
i ?1 n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积 分区间, 函数 f(x)叫做被积函数, 叫做积分变量, x f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式: ? 0dx =C; ? x m dx =
1 x

1 x m?1 +C(m∈Q, m≠ m ?1
ax +C; ? cos xdx = ln a

-1) ? dx=ln x +C; ? e x dx = e x +C; ? a x dx = ;

sinx+C; ? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数) 。 (2)定积分的性质 ① ?a kf ( x)dx ? k ?a f ( x)dx (k 为常数) ; ② ?a f ( x) ? g ( x)dx ? ?a f ( x)dx ? ?a g ( x)dx ; ③ ?a f ( x)dx ? ?a f ( x)dx ? ?c f ( x)dx (其中 a<c <b ) 。
(3)定积分求曲边梯形面积
b c b b b b b b

由三条直线 x=a,x=b(a<b) 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0) ,x

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围成的曲边梯的面积 S ? ?a f ( x)dx 。 如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨 设 f1(x)≥f2(x)≥0) ,及直线 x=a,x=b(a<b)围 成,那么所求图形的面积 S=S
边梯形 DMNC 曲边梯形 AMN B

b

-S



= ?a f1 ( x)dx ? ?a f 2 ( x)dx 。

b

b

四.典例解析

题型 1:导数的概念 例 1. 已知 s= gt 2 ,1) ( 计算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、 3.001 秒 、3.0001 秒….各段内平均速度; (2)求 t=3 秒是瞬时速度。 解析: (1) ?3,3.1?, ?t ? 3.1 ? 3 ? 0.1, ?t 指时间改变量;
1 1 g 3.12 ? g 32 ? 0.3059 . ?s 指时间改变量。 2 2 ?s 0.3 0 5 9 v? ? ? 3.0 5 。 9 ?t 1 ?s ? s(3.1) ? s(3) ? 1 2

其余各段时间内的平均速度,事先刻在光盘上,待学生回答完第 一时间内的平均速度后,即用多媒体出示,让学生思考在各段时间内 的平均速度的变化情况。 (2)从(1)可见某段时间内的平均速度
?s ?t
?t ?s 随 变化而变化,?t ?t

越小, 越接近于一个定值, 由极限定义可知, 这个值就是 ?t ? 0 时,
?s 的极限, ?t

lim V= ?x?0

?s lim ?t = ?x?0

1 1 (3 ? ?t ) 2 ? g 3 2 s(3 ? ?t ) ? s(3) 2g 2 ? lim ?x ?0 ?t ?t

lim = g ?x?0 (6+ ?t ) =3g=29.4(米/秒)。

1 2

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例 2.求函数 y= 解析: ?y ?

4 的导数。 x2

4 4 4?x(2 x ? ?x) , ? 2 ?? 2 2 ( x ? ?x) x x ( x ? ?x) 2

?y 2 x ? ?x , ? ?4 ? 2 ?x x ( x ? ?x) 2

? lim

? 2 x ? ?x ? ?y 8 =- 3 。 ? lim ?? 4 ? 2 2 ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ( x ? ?x) ? x ?

点评:掌握切的斜率、 瞬时速度,它门都是一种特殊的极限, 为学习导数的定义奠定基础。 题型 2:导数的基本运算 例 3. (1)求 y ? x( x 2 ? ? (2)求 y ? ( x ? 1)(
x 2
1 x

1 x

1 ) 的导数; x3

? 1) 的导数;

(3)求 y ? x ? sin cos 的导数; (4)求 y=
x2 的导数; sin x
3x 2 ? x x ? 5 x ? 9 x

x 2

(5)求 y=

的导数。

解析: (1)? y ? x 3 ? 1 ? (2)先化简, y ? x ?
1 3 '

1 2 ,? y ' ? 3 x 2 ? 3 . 2 x x
1 x
1

1 x

? x?

?1 ? ?x 2 ? x

?

1 2

1 ? 1 ? ?1 ? 1 ? ?y ?? x 2 ? x 2 ? ?1 ? ?. 2 2 x? 2 x?

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

(3)先使用三角公式进行化简.
x x 1 y ? x ? sin cos ? x ? sin x 2 2 2

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1 1 1 ? ? ? y ' ? ? x ? sin x ? ? x ' ? (sin x) ' ? 1 ? cos x. 2 2 2 ? ?

'

(4)y?=

( x 2 )' sin x ? x 2 * (sin x)' 2 x sin x ? x 2 cos x = ; sin 2 x sin 2 x
3

(5)?y= 3x 2 -x+5- 9 x
3 2

?

1 2

3 '-x'+5'-9 (x )'=3* x 2 -1+0- ?y?=3*(x ) 2

1 2

1

9*(- ) x 2 =

1 2

?

3

9 1 x (1 ? 2 ) ? 1 。 2 x

[来源:学科网]

点评: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进 行化简, 然后求导, 这样可以减少运算量, 提高运算速度, 减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式 ,但在求导前利用代 数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用 商的求导法则,减少运算量。 例 4.写出由下列函数复合而成的函数: (1 )y=cosu,u=1+ X 2 解析: (1)y=cos(1+ X 2 ); (2)y=ln(lnx)。 点评:通过对 y=(3x-2 ) 2 展开求导及按复合关系求导,直观的得 到 y x' = y u' . u x' .给出复合函数的求导法则,并指导学生阅读法则的证明。 题型 3:导数的几何意义 例 5. (1)若曲线 y ? x 4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( ) B . x ? 4y ? 5 ? 0 C . 4x ? y ? 3 ? 0 (2)y=lnu, u=lnx

A . 4x ? y ? 3 ? 0

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D. x ? 4 y ? 3 ? 0 (2)过点(-1,0)作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切 线为( ) (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D)

(A) 2 x ? y ? 2 ? 0
x ? y ?1 ? 0

解析: 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 , y ? x 4 (1) 即 在某一点的导数为 4,而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x 4 在(1,1)处导数为 4,此 点的切线为 4x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A; (2) y? ? 2x ? 1 ,设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 2 x0 ? 1 , 且 y0 ? x0 ? x0 ? 1 ,于是切线方程为 y ? x0 ? x0 ? 1 ? (2 x0 ? 1)( x ? x0 ) ,因为点
2
2

(-1,0)在切线上,可解得 x0 =0 或-4,代入可验正 D 正确,选 D。 点评:导数值对应函数在该点处的切线斜率。 例 6. (1)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r2,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则( ? r2)`=2 ? r 1 1 ○,○式可以用语言叙述为:

圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为 R 的球, 若将 R 1 看 作 (0 , + ∞) 上 的 变 量 , 请 你 写 出 类 似 于 ○ 的 式 子 : 2 ○ 为:
1 x



2 ○











言 。





(2)曲线 y ? 和 y ? x 2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的 三角形面积是
3


3

4 4 2 ? 解析: (1)V 球= ? R3 ,又 ? R3) =4? R 2 故○式可填 (

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4 ? ( ? R3) =4? R 2 ,用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积 3

函数。”; (2)曲线 y ? 和 y ? x 2 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方 程分别是 y=-x+2 和 y=2x-1,它们与 x 轴所围成的三角形的面积是
3 。 4
1 x

点评:导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起,对 于较复杂问题有很好的效果。 题型 4:借助导数处理单调性、极值和最值 例 7. 1) ( 对于 R 上可导的任意函数 (x) 若满足 f , (x-1) ?(x) ?0, f 则必有( ) B. f(0)+f(2)?2f

A.f(0)+f(2)?2f(1) (1) C.f(0)+f(2)?2f(1) (1)

D. f(0)+f(2)?2f

(2)函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的 图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( A. 个 1 个 (3)已知函数 f ? x ? ?
1 ? x ? ax (Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单 e 。 1? x

) D. 4

B. 个 2

C. 个 3

调性; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围。 解析: (1)依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,

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+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x)?0,f(x)在(-?,1)上是 减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)?f(1) ,f(2) ?f(1) ,故选 C; (2)函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的 图象如图所示, 函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值的点即函数由减函 数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有 1 个,选 A。 (3) (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对 f(x)求导数得 f '(x)= : ax2+2-a -ax e 。 (1-x)2 2x2 -2x (ⅰ)当 a=2 时, f '(x)= , f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞) 2 e (1-x) 均大于 0, 所以 f(x)在(-∞,1), (1,+∞).为增函数; (ⅱ)当 0<a<2 时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数.; a-2 (ⅲ)当 a>2 时, 0< a <1, 令 f '(x)=0 ,解得 x1= - a-2 a ; 当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表: x (-∞, - a-2 a ) f '(x) + (- a-2 a , - a-2 a ) + +
[来源:Z&xx&k.Com]

a-2 a , x 2=

(

(1,+∞) a-2 ,1) a

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f(x)



↘ a-2 a ), (





f(x)在(-∞, - a-2 a ,

a-2 a ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(-

a-2 a )为减函数。

(Ⅱ)(ⅰ)当 0<a≤2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>f(0)=1; 1 (ⅱ)当 a>2 时, 取 x0= 2 a-2 a ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1;

1+x (ⅲ)当 a≤0 时, 对任意 x∈(0,1),恒有 >1 且 e-ax≥1, 1-x 得: f(x)= 1+x -ax 1+x e ≥ >1. 综上当且仅当 a∈(-∞,2]时,对任意 1-x 1-x

x∈(0,1)恒有 f(x)>1。 点评:注意求函数的单调性之前,一定要考虑函数的定义域。导 函数的正负对应原函数增减。 例 8. (1) f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 在区间 ? ?1,1? 上的最大值是( (A)-2 (D)4 (2)设函数f(x)= 2 x3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 1, 其中a ? 1.(Ⅰ)求f(x)的单调区 间; (Ⅱ)讨论f(x)的极值。 解析: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 可得 x=0 或 2(2 舍去) ,当-1?x?0 时, f ?( x) ?0,当 0?x?1 时, f ?( x) ?0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2。选 C; (B)0 (C)2 )

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( 2 ) 由 已 知 得 f ' ( x) ? 6 x ? x ? (a ? 1)? , 令 f ' ( x )? 0 解 得 ,
x1 ? 0, x2 ? a ? 1 。

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 6 x 2 , f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增; 当 a ? 1 时,f ' ( x) ? 6 x ? x ? ? a ? 1? ? ,f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表: ? ?
x
f ' ( x)
f ( x) (??,0)

0 0 极大值

(0, a ? 1)
?

a ?1

(a ?1, ??)

+
?

0 极小值

?
?

?

从上表可知,函数 f ( x) 在 (??,0) 上单调递增;在 (0, a ? 1) 上单调递 减;在 (a ?1, ??) 上单调递增。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时,函数 f ( x) 没有极值;当 a ? 1 时, 函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,在 x ? a ?1 处取得极小值 1 ? (a ? 1)3 。 点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基 础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。 题型 5:导数综合题 例 9.设函数
f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大
[来源:学科网]

值. xoy 平面上点 A、B 的坐标分别为 x1,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 )) 、 ,该平面上动点 (
??? ??? ? ? P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求

(I)求点 A、B 的坐标; (II)求动点 Q 的轨迹方程. 解析: (Ⅰ)令 f ?( x) ? (? x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1; 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 , x ? 1时,f ?( x) ? 0 。 当 所 以 , 函 数 在 x ? ?1 处 取 得 极 小 值 , 在 x ? 1 取 得 极 大 值 , 故

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x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4 。

所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) 。 (Ⅱ) 设 p(m, n) , Q( x, y ) ,
PA ? PB ? ?? 1 ? m,?n ? ? ?1 ? m,4 ? n ? ? m 2 ? 1 ? n 2 ? 4n ? 4 ,

1 y?n 1 k PQ ? ? ,所以 ?? 。 2 x?m 2

又 PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上, 所以

y?m ?x?n ? 消去 m, n 得 ? 2? ? 4? , 2 ? 2 ?

?x ? 8?2 ? ? y ? 2?2 ? 9 。
点评:该题是导数与平面向量结合的综合题。 例 10 . 06 湖 南 卷 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x ? sin x , 数 列 { an } 满 ( 足: 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ), n ? 1,2,3,?. 证明:(ⅰ) 0 ? an?1 ? an ? 1 ;(ⅱ) an?1 ? an3 。 证明: (I) .先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 ,n=1,2,3,… (i).当 n=1 时,由已知显然结论成立。 (ii).假设当 n=k 时结论成立,即 0 ? ak ? 1 。 因为 0<x<1 时, f ' ( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数。 又 f(x)在[0,1]上连续,从而 f (0) ? f (ak ) ? f (1),即0 ? ak ?1 ? 1 ? sin1 ? 1 .故 n=k+1 时,结论成立。 由(i)、(ii)可知, 0 ? an ? 1 对一切正整数都成立。 又因为 0 ? an ? 1 时, an?1 ? an ? an ? sin an ? an ? ? sin an ? 0 ,所以 an?1 ? an ,综 上所述 0 ? an?1 ? an ? 1。 (II) .设函数 g ( x) ? sin x ? x ? 1 x3 , 0 ? x ? 1,
6

1 6

由(I)知,当 0 ? x ? 1时, sin x ? x ,

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从而 g ' ( x) ? co sx ? 1 ? (0,1)上是增函数。

x2 x x2 x x2 ? ? 2 s i2n ? ? ? 2 (2 ) ? 2 2 2 2 2

? 所以 g (x)在 0.

又 g (x)在[0,1]上连续,且 g (0)=0, 所以当 0 ? x ? 1时, (x)>0 成立。 g 于是 g (an ) ? 0,即sin an ? an ? an3 ? 0 .故 an?1 ? an3 。 点评:该题是数列知识和导数结合到一块。 题型 6:导数实际应用题 例 11.请您设计一个帐篷。它下部 的形状是高为 1m 的正六棱柱, 上部的形 状是侧棱长为 3m 的正六棱锥 (如右图所 示) 试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 。 的距离为多少时,帐篷的体积最大? 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识, 以 及运用数学知识解决实际问题的能力。 解 析 : 设 OO1 为 x m, 则 由 题 设 可 得 正 六 棱 锥 底 面 边 长 为
32 ? ( x ? 1) 2 ? 8 ? 2 x ? x 2 (单位:m) 。

1 6

1 6

于是底面正六边形的面积为(单位:m2) :
32 ? ( x ? 1)2 ? 6? 3 3 3 ? 8 ? 2 x ? x2 )2 ? ( (8 ? 2 x ? x 2 ) 。 4 2

帐篷的体积为(单位:m3) :
V ( x) ? 3 3 3 ?1 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) ? ( x ? 1) ? 1? ? (16 ? 12 x ? x 3 ) 2 ?3 ? 2

求导数,得 V ?( x) ?

3 (12 ? 3x 2 ) ; 2

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令 V ?( x) ? 0 解得 x=-2(不合题意,舍去),x=2。 当 1<x<2 时,V ?( x) ? 0 ,V(x)为增函数;当 2<x<4 时,V ?( x) ? 0 ,V(x) 为减函数。 所以当 x=2 时,V(x)最大。 答:当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大。 点评:结合空间几何体的体积求最值,理解导数的工具作用。 例 12.已知函数 f(x)=x 3 + x 3 ,数列|x n |(x n >0)的第一项 x n =1,以后各项按如下方式取定: 曲线 x=f(x)在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线与经过(0,0) 和(x n ,f (x n ))两点的直线平行(如图)求证:当 n ? N * 时,
2 (Ⅰ)x 2 ? xn ? 3xn?1 ? 2 xn?1 ; n

(Ⅱ) ( ) n?1 ? xn ? ( ) n?2 。 证明: (I)因为 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2 x, 所以曲线 y ? f ( x) 在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的 切线斜率 kn?1 ? 3x 2 ? 2 xn?1.
n?1

1 2

1 2

因 为 过 (0, 0) 和 ( xn , f ( xn )) 两 点 的 直 线 斜 率 是 xn2 ? xn , 所 以
2 xn ? xn ? 3xn ?12 ? 2 xn ?1 . 2 (II)因为函数 h( x) ? x 2 ? x 当 x ? 0 时单调递增,而 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2 xn?1

? 4 xn ?12 ? 2 xn ?1 ? (2 xn ?1 ) 2 ? 2 xn ?1 ,

所以 xn ? 2 xn?1 ,即

xn ?1 1 x x x 1 ? , 因此 xn ? n ? n ?1 ????? 2 ? ( )n ?1. xn 2 xn ?1 xn ? 2 x1 2

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2 2 又因为 xn ? xn ? 2( x 2 ? xn?1 ), 令 yn ? xn ? xn , 则
n?1

yn ?1 1 ? . yn 2

因为 y1 ? x12 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( )n?1 ? y1 ? ( )n?2 .
2 因此 xn ? xn ? xn ? ( )n?2 ,

1 2

1 2

1 2

故 ( )n?1 ? xn ? ( )n?2 .

1 2

1 2

点评:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以 及不等式的证明,同时考查逻辑推理能力。 题型 7:定积分
例 13.计算下列定积分的值
?
?

(1)

?

3

?1

2 (2)? ( x ? 1) dx ; (3)? ( x ? sin x)dx ; (4)? 2? cos xdx ; (4 x ? x )dx ;

2

2

5

1

2 0

?

2

解析:(1)

(2)因为 [ ( x ? 1) 6 ]? ? ( x ? 1) 5 ,所以 ?1 ( x ? 1) 5 dx ? ( x ? 1) 6 |12 ? ; (3)

1 6

2

1 6

1 6

(4)

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例 14. (1)一物体按规律 x=bt3 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由 x=0 运 动到 x=a 时,阻力所作的功。 (2)抛物线 y=ax2+bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛 物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax. 解析: (1)物体的速度 V ?
dx ? (bt 3 )? ? 3bt 2 。 dt
[来源:Z。

媒质阻力 Fzu ? kv2 ? k (3bt 2 ) 2 ? 9kb2 t 4 ,其中 k 为比例常数,k>0。
xx。k.Com]

当 x=0 时,t=0;当 x=a 时, t ? t1 ? ( ) 3 , 又 ds=vdt,故阻力所作的功为:
Wzu ? ? Fzu ds ? ? kv2 ? vdt ? k ? v 3 dt ? k ? (3bt 2 ) 3 dt ?
0 0 0 t1 t1 t1

a b

1

27 3 7 27 3 7 2 kb t1 ? k a b 7 7

(2)依题设可知抛物线为凸形,它与 x 轴的交点的横坐标分别 为 x1=0,x2=-b/a,所以 S ? ?0 a (ax 2 ? bx)dx ?
2

?

b

1 3 b (1) 6a 2

又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax +bx 相切,即它们有唯一的公共点,

由方程组 ?

?x ? y ? 4
2 ? y ? ax ? bx

得 ax +(b+1)x-4=0,其判别式必须为 0,即(b+1) +16a=0.

2

2

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于是 a ? ?

1 (b ? 1) 2 , 代入(1)式得: 16

S (b) ?

128b 3 128 b 2 (3 ? b) , (b ? 0) , S ?(b) ? ; 6(b ? 1) 4 3(b ? 1) 5

令 S'(b)=0;在 b>0 时得唯一驻点 b=3,且当 0<b<3 时,S'(b) >0;当 b>3 时,S'(b)<0.故在 b=3 时,S(b)取得极大值,也是最 大值,即 a=-1,b=3 时,S 取得最大值,且 S max ? 。 点评:应用好定积分处理平面区域内的面积。
五.思维总结
9 2

1.本讲内容在高考中以填空题和解答题为主 主要考查: (1)函数的极限; (2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用; (3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积。 2.考生应立足基础知识和基本方法的复习,以课本题目为主, 以熟练技能,巩固概念为目标。

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