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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学10-8


基础巩固强化 一、选择题 1.某机械零件加工由 2 道工序组成,第 1 道工序的废品率为 a, 第 2 道工序的废品率为 b,假定这 2 道工序出废品的概率彼此无关, 那么产品的合格率是( A.ab-a-b+1 C.1-ab [答案] A [解析] 由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关, 故产品的合格率为 p=(1-a)(1-b)=ab-a-b+1. 2.(2013·

揭阳二模)把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正 面”为事件 A,“第二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于( 1 A.2 1 C.6 [答案] A 1 [解析] A 与 B 相互独立,∴P(B|A)=P(B)=2. 12 3. 已知随机变量 ξ 满足条件 ξ~B(n, p), 且 E(ξ)=12, D(ξ)= 5 , 则 n 与 p 的值分别为( 4 A.16 与5 4 C.15 与5 ) 2 B.20 与5 3 D.12 与5 1 B.4 1 D.8 ) ) B.1-a-b D.1-2ab

[答案] C 12 [解析] ∵ξ~B(n,p),∴E(ξ)=np=12,D(ξ)=np(1-p)= 5 , 4 ∴n=15,p=5. 4.(2013· 济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点 P 按下列规则 移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向左或向右,并且向左 1 2 移动的概率为3, 向右移动的概率为3, 则质点 P 移动五次后位于点(1,0) 的概率是( 4 A.243 40 C.243 [答案] D [解析] 依题意得,质点 P 移动五次后位于点(1,0),则这五次移 动中必有两次向左移动,另三次向右移动,因此所求的概率等于 1 2 3 80 C2 (3)2· (3) =243,选 D. 5· 5.设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到 6 白球个数的数学期望值为7,则口袋中白球的个数为( A.3 C.5 [答案] A [解析] 设白球 x 个,则黑球 7-x 个,取出的 2 个球中所含白球 个数为 ξ,则 ξ 取值 0,1,2, C2 ?7-x??6-x? 7-x P(ξ=0)= C2 = , 42 7 B.4 D.2 ) ) 8 B.243 80 D.243

1 C1 C7 x?7-x? -x x· P(ξ=1)= C2 = 21 , 7

x?x-1? C2 x P(ξ=2)=C2= 42 , 7 ?7-x??6-x? x?7-x? x?x-1? 6 ∴0× + 1 × + 2 × 42 21 42 =7, ∴x=3. 1 6.设两个相互独立事件 A、B 都不发生的概率为9,则 A 与 B 都 发生的概率的取值范围是( 8 A.[0,9] 2 8 C.[3,9] [答案] D [解析] 设事件 A、B 发生的概率分别为 P(A)=x,P(B)=y,则 1 1 1 P(- A- B )=P(- A )· P(- B )=(1-x)· (1-y)=9?1+xy=9+x+y≥9+2 xy. 2 4 4 当且仅当 x=y 时取“=”,∴ xy≤3或 xy≥3(舍),∴0≤xy≤9. 4 ∴P(AB)=P(A)· P(B)=xy∈[0,9]. 二、填空题 7. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子, 观察向上的点数, 记“红 骰子向上的点数是 3 的倍数”为事件 A, “两颗骰子的点数和大于 8” 为事件 B,则 P(B|A)=________. 5 [答案] 12 [解析] 因为“红骰子向上的点数是 3 的倍数”的事件为 A, “两 颗骰子的点数和大于 8”的事件为 B,用枚举法可知 A 包含的基本事 ) 1 5 B.[9,9] 4 D.[0,9]

件为 12 个,A、B 同时发生的基本事件为 5 个,即(3,6),(6,3),(6,4), 5 (6,5),(6,6).所以 P(B|A)=12. 8.已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等 差数列,则公差 d 的取值范围是________.
? 1 1? [答案] ?-3,3? ? ?

[解析] 由条件知,
?P?ξ=x3?+P?ξ=x1?=2P?ξ=x2?, ? ? ? ?P?ξ=x1?+P?ξ=x2?+P?ξ=x3?=1.

1 ∴P(ξ=x2)=3, 1 1 ∵P(ξ=xi)≥0,∴公差 d 取值满足-3≤d≤3. 9.(2013· 临沂模拟)随机变量 X 的分布列如下: X P -1 a 0 b 1 c

其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)=________. 2 [答案] 3
?a+b+c=1, ? [解析] 由条件知,? ? ?2b=a+c,

2 ∴a+c=3, 2 ∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=a+c=3. 三、解答题 10.(2012· 广东理,17)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率 分布直方图如下图所示,其中成绩分组区间是: [40,50), [50,60) ,

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ξ,求 ξ 的数学期望. [分析] (1)利用频率和为 1,可求 X 值; (2)先确定各部分人数,再确定 ξ 取值,利用组合知识,用古典概 型求 ξ 的分布列,再求数学期望. [解析] (1)图中 x 所在组为[80,90)即第五组, ∵由频率分布直方图的性质知,10×(0.054+x+0.01+3×0.006) =1, ∴x=0.018. (2)成绩不低于 80 分的学生所占的频率为, f=10×(0.018+0.006)=0.24. 所以成绩不低于 80 分的学生有:50f=50×0.24=12 人; 成绩不低于 90 分的学生人数为:50×10×0.006=3 人, 所以 ξ 的取值为 0,1,2. C2 6 9 P(ξ=0)=C2 =11, 12

1 C1 9 9×C3 P(ξ=1)= C2 =22, 12

C2 1 3 P(ξ=2)=C2 =22. 12 所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 6 11 1 9 22 2 1 22

6 9 1 1 所以 ξ 的数学期望 E(ξ)=0×11+1×22+2×22=2. 能力拓展提升 11.(2013· 江西理, 18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是 参加学校排球队.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4, A5,A6,A7,A8(如图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量, 记这两个向量的数量积为 X.若 X=0 就参加学校合唱团,否则就参加 学校排球队.

(1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望.
2 [解析] (1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C8

=28 种. X=0 时,两向量夹角为直角,共有 8 种情形,

8 2 所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X=0)=28=7. (2)两向量数量积 X 的所有可能取值为-2,-1,0,1, X=-2 时,有 2 种情形;X=1 时,有 8 种情形;X=-1 时,有 10 种情形. 所以 X 的分布列为: X P -2 1 14 -1 5 14 0 2 7 1 2 7

1 5 2 2 E(X)=(-2)×14+(-1)×14+0×7+1×7 3 =-14. 12.(2013· 山东烟台一模)从参加某次高三数学摸底考试的同学 中,选取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成 6 组后,得到 部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题.

(1)补全这个频率分布直方图,并估计本次考试的平均分; (2)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70,100]记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总得分,求 X 的分 布列和数学期望. [解析] (1)设分数在[70,80)内的频率为 x, 根据频率分布直方图,

则有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得 x=0.3, 所以频率分布直方图如图所示.

平均分为: - x = 45×0.1 + 55×0.15 + 65×0.15 + 75×0.3 + 85×0.25 + 95×0.05=71. (2)学生成绩在[40,70)的有(0.01+0.015×2)×10×60=24 人,在 [70,100]的有(0.03+0.025+0.005)×10×60=36 人,并且 X 的所有可 能取值是 0,1,2.
1 C2 46 C1 144 24 24C36 则 P(X=0)=C2 =295;P(X=1)= C2 =295; 60 60 2 C36 105 P(X=2)=C2 =295. 60

所以 X 的分布列为 X P 0 46 295 1 144 295 2 105 295

46 144 105 354 ∴E(X)=0×295+1×295+2×295=295. 13.(2013· 北京理,16)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量 指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指 数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 15 日

中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与 数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结 论不要求证明) [解析] 设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i=1,2, ?, 13), 1 根据题意,P(Ai)=13,且 Ai∩Aj=?(i≠j). (1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8, 2 所以 P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=13. (2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11) 4 =P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=13, P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13) 4 =P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=13,

5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=13. 所以 X 的分布列为: X P 0 5 13 1 4 13 2 4 13

5 4 4 12 故 X 的期望 E(X)=0×13+1×13+2×13=13. (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 14. (2013· 北京海淀期末)某公司准备将 100 万元资金投入代理销 售业务,现有 A,B 两个项目可供选择: (1)投资 A 项目一年后获得的利润 X1(万元)的概率分布列如下表 所示: X1 P 11 a 12 0.4 17 b

且 X1 的数学期望 E(X1)=12; (2)投资 B 项目一年后获得的利润 X2(万元)与 B 项目产品价格的 调整有关,B 项目产品价格根据销售情况在 4 月和 8 月决定是否需要 调整, 两次调整相互独立且在 4 月和 8 月进行价格调整的概率分别为 p(0<p<1)和 1-p.经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数 X(次)与 X2 的关系如下表所示: X(次) X2(万元) (1)求 a,b 的值; (2)求 X2 的分布列; (3)若 E(X1)<E(X2),则选择投资 B 项目,求此时 p 的取值范围. 0 1 2

4.12 11.76 20.40

[解析]

? ?a+0.4+b=1, (1)由题意得? ?11a+12×0.4+17b=12, ?

解得 a=0.5,b=0.1. (2)X2 的可能取值为 4.12,11.76,20.40. P(X2=4.12)=(1-p)[1-(1-p)]=p(1-p), P(X2=11.76)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p) =p2+(1-p)2, P(X2=20.40)=p(1-p). 所以 X2 的分布列为 X2 P (3)由(2)可得 E(X2)=4.12p(1-p)+11.76[p2+(1-p)2]+20.40p(1-p)=-p2+p +11.76. 因为 E(X1)<E(X2),所以 12<-p2+p+11.76, 所以 0.4<p<0.6. 当选择投资 B 项目时,p 的取值范围是(0.4,0.6). 4.12 p(1-p) 11.76 p2+(1-p)2 20.40 p(1-p)

考纲要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识 分布列对于刻画随机现象的重要性, 会求某些取有限个值的离散型随 机变量的分布列. 2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.

4.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简 单的实际问题. 补充说明 1.解决概率问题的步骤 第一步, 确定事件的性质: 古典概型、 互斥事件、 相互独立事件、 独立重复试验,把所给问题归结为某一种. 第二步,判断事件的运算(和事件、积事件),确定事件至少有一 个发生还是同时发生等等. 第三步,运用公式求概率 m 古典概型 P(A)= n ; 互斥事件 P(A∪B)=P(A)+P(B); P?AB? 条件概率 P(B|A)= ; P?A? 独立事件 P(AB)=P(A)P(B);
k k n 次独立重复试验:P(X=k)=Cn p (1-p)n-k.

2.n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k P(X=k)=Cn P (1-P)n-k,k=0,1,2,?,n,恰好为二项式[(1-

P)+P]n 展开式中的第 k+1 项. 备选习题 1 1. (2013· 山西模拟)某人抛掷一枚硬币, 出现正反面的概率都是2,
? ?第n次抛掷时出现正面? ?1 构造数列{an},使得 an=? , ? ?-1 ?第n次抛掷时出现反面?

记 Sn=a1+a2+?+an(n∈N*),则 S4=2 的概率为( 1 A.16 1 B.8

)

1 C.4 [答案] C

1 D.2

[解析] “S4=2”的含义是 a1,a2,a3,a4 中有 3 个等于 1,一 个等于-1,即 4 次抛掷硬币中有 3 次出现正面,∴所求概率 P= 1 1 1 C3 (2)3· 4· 2=4. 2.甲、乙两人进行围棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一 2 方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为3,则甲以 的比分获胜的概率为( 8 A.27 4 C.9 [答案] A 2 1 [解析] 设甲胜为事件 A,则 P(A)=3,P( A )=3, ∵甲以 的比分获胜,∴甲前三局比赛中胜 2 局,第四局胜, ) 64 B.81 8 D.9

2 12 8 故所求概率为 P=C2 (3)2· 3· 3· 3=27. 3.袋中有 5 个小球(3 白 2 黑),现从袋中每次取一个球,不放回 地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率 是( ) 3 A.5 1 C.2 [答案] C [解析] 解法 1:由于取后不放回,故在第一次取到白球的条件 3 B.4 3 D.10

下,口袋中还有 2 白 2 黑 4 个球,从中任取一球,则取到白球的概率 2 1 为 P=4=2. 解法 2:设 A=“第一次取到白球”,B=“第二次取到白球”, 则 AB 表示“两次都取到白球”. 3 C2 3 3 由条件知:P(A)=5,P(AB)=C2=10, 5 3 P?AB? 10 1 ∴P(B|A)= = 3 =2. P?A? 5 4.已知 7 件产品中有 2 件次品,现逐一不放回地进行检验,直 到 2 件次品都能被确认为止. (1)求检验次数为 4 的概率; (2)设检验次数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. [解析] (1)记“在 4 次检验中,前 3 次检验中有 1 次得到次品, 第 4 次检验得到次品”为事件 A,则检验次数为 4 的概率
1 2 C2 C5 1 1 P(A)= C3 · 1= . 7 7 C4

(2)ξ 的可能值为 2,3,4,5,6,其中
1 C2 1 C1 2 2 2C5 1 P(ξ=2)=C2=21,P(ξ=3)= C2 · 1= 21, 7 7 C5

1 P(ξ=4)=P(A)=7,
3 1 4 C1 C5 5 C2 C5 10 2C5 1 5 P(ξ=5)= C4 · , P ( ξ = 6) = =21. 1+ 5= C7 21 C5 7 C3 7

ξ 的分布列为 ξ P 2 1 21 3 2 21 4 1 7 5 5 21 6 10 21

1 2 3 5 10 ξ 的期望 E(ξ)=2×21+3×21+4×21+5×21+6×21=5. [点评] 要特别注意 P(ξ=5)的情形, 一种可能是前四次检验中有 一次得到次品第五次为次品; 另一种可能是前五次都是正品则余下的 两件必都是次品.这是它与其他情形不同的地方.


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