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2016高考数学大一轮复习 12.3几何概型试题 理 苏教版


第3讲
一、填空题

几何概型

1.点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动,则动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的概率为________. π 解析 如图,以 A 为圆心,半径为 1 的圆在正方形 ABCD 内的面积为 , 4 π 故 P= . 4 答案 π 4
2 2

2.在区

间[0,1]上任取两个数 a,b,则函数 f(x)=x +ax+b 无零点的概率为_ _______. 解析 要使该函数无零点,只需 a -4b <0, 即(a+2b)(a-2b)<0. ∵a,b∈[0,1],a+2b>0, ∴a-2b<0. 0≤a≤1, ? ? 作出?0≤b≤1,的可行域,易得该函数无零点的概率 ? ?a-2b<0 1 1 1- ×1× 2 2 3 P= = . 1×1 4 答案 3 4
2 2

3.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在正方形内切圆的 上半圆(圆中阴影部分)中的概率是________. 解析 设正方形的边长为 2,则豆子落在正方形内切圆的上半圆中 1 2 π ×1 2 π 的概率为 = . 4 8 答案 π 8

4.如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角 的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为 的圆弧,某 2 人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个 点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是________.

a

1

?a? a2-π ? ?2
解析 所求概率为 P= π 答案 1- 4

?2?

a2

=1-

π . 4

5.扇形 AOB 的半径为 1,圆心角为 90°.点 C,D,E 将弧 AB 等分成四 份.连结 OC,OD,OE,从图中所有的扇形中随机取出一个,面积恰 π 为 的概率是________. 8 解析 依题意得知, 图中共有 10 个不同的扇形, 分别为扇形 AOB、

AOC 、 AOD 、 AOE 、 EOB 、 EOC 、 EOD 、 DOC 、 DOB 、 COB , 其 中 面 积 恰 为

π 的扇形 8

3 ?即相应圆心角恰为π 的扇形?共有 3 个(即扇形 AOD、 EOC、 BOD), 因此所求的概率等于 . ? ? 4 10 ? ? 答案 3 10

6. 在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P, 则△PAB 的面积大 1 于等于 的概率是________. 4 解析 主要考查几何概型的概率计算.如图,由题知 AB=1,分 1 别取 AD 与 BC 的中点 E、F,则 EF 綊 AB,∴要使 S△ABP≥ ,只需 4 1 1× 2 1 P 在矩形 CDEF 中,∴所求概率为 = . 1 2 答案 1 2

7. ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取 到的点到 O 的距离大于 1 的概率为________. 解析 如图,要使图中点到 O 的距离大于 1,则该点需取在图中 π 2- 2 π 阴影部分,故概率为 P= =1- . 2 4 π 答案 1- 4 8. 分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆, 重叠部分如图中阴影 区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的 概率为________.

2

解析 设正方形边长为 2,阴影区域的面积的一半等于半径为 1 的圆减去圆内接正方形 2π -4 π -2 的面积, 即为 π -2, 则阴影区域的面积为 2π -4, 所以所求概率为 P= = . 4 2 答案 π -2 2

9.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则这个正方形的面 积介于 36 cm 与 81 cm 之间的概率为________. 9-6 3 2 2 解析 面积为 36 cm 时,边长 AM=6,面积为 81 cm 时,边长 AM=9,∴P= = = 12 12 1 . 4 答案 1 4
2 2

10.若 m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0 与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积小 9 于 的概率为________. 8 解析 令 x=0 得 y= 3 3 1 3 3 , 令 y=0 得 x= , 由于 m∈(0,3), ∴S= · · = 3-m m+2 2 3-m m+2

9 9 9 ,由题意,得 < ,解得-1<m<2,由于 m∈(0,3), 2?3-m??m+2? 2?3-m??m+2? 8 2 ∴m∈(0,2),故所求的概率为 P= . 3 答案 2 3

二、解答题 11.已知关于 x 的一次函数 y=mx+n. (1)设集合 P={-2, -1,1,2,3}和 Q={-2,3}, 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为

m 和 n,求函数 y=mx+n 是增函数的概率; m+n-1≤0, ? ? (2)实数 m,n 满足条件?-1≤m≤1, ? ?-1≤n≤1,
的概率. 解 (1)抽取的全部结果的基本事件有: (-2,-2),(-2,3),(-1,-2),(-1,3),(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3), (3,-2),(3,3),共 10 个基本事件,设使函数为增函数的事件为 A,则 A 包含的基本 事件有:(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3),共 6 个基本事件,所

求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、三象限

3

6 3 以,P(A)= = . 10 5

m+n-1≤0, ? ? (2)m、n 满足条件?-1≤m≤1, ? ?-1≤n≤1

的区域如图所示:

要使函数的图象过一、二、三象限,则 m>0,n>0,故使函数图 象过一、二、三象限的(m,n)的区域为第一象限的阴影部分,∴ 1 2 1 所求事件的概率为 P= = . 7 7 2 12.已知等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°. (1)在线段 BC 上任取一点 M,求使∠CAM<30°的概率; (2)在∠CAB 内任作射线 AM,求使∠CAM<30°的概率. 解 (1)设 CM=x,则 0<x<a. (不妨设 BC=a). 若∠CAM<30°,则 0<x< 故∠CAM<30°的概率为 3 ? ? 区间?0, a?的长度 3 ? 3 ? P= = . 区间?0,a?的长度 3 (2)设∠CAM=θ ,则 0°<θ <45°, 若∠CAM<30°,则 0°<θ <30°, 故∠CAM<30°的概率为 3 a, 3

P=

?0°,30°?的长度 2 = . ?0°,45°?的长度 3

13.已知集合 A={-2,0,2},B={-1,1},设 M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合 M 内随 机取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x +y =1 上的概率;
2 2

x-y+2≥0, ? ? (2)求以(x,y)为坐标的点位于区域 D:?x+y-2≤0, ? ?y≥-1
解 (1)记“以(x, y)为坐标的点落在圆 x +y =1 上”为事 件 A,则基本事件总数为 6.
2 2

内(含边界)的概率.

4

因落在圆 x +y =1 上的点有(0,-1),(0,1)2 个,即 A 包含的基本事件数为 2,所以

2

2

P(A)= = .
(2)记“以(x,y)为坐标的点位于区域内”为事件 B,则基本事件总数为 6,由图知位于 区域 D 内(含边界)的点有:(-2,-1),(2,-1),(0,-1),(0,1)共 4 个,即 B 包含 4 2 的基本事件数为 4,故 P(B)= = . 6 3 14.已知复数 z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为 M. (1)设集合 P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合 P 中随机取一个数作为 x, 从集合 Q 中随机取一个数作为 y,求复数 z 为纯虚数的概率; (2)设 x∈[0,3],y∈[0,4],求点 M 落在不等式组;

2 1 6 3

x+2y-3≤0, ? ? 所表示的平面区域内的概率. ?x≥0, ? ?y≥0
解 (1)记“复数 z 为纯虚数”为事件 A,

∵组成复数 z 的所有情况共有 12 个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i, -2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型. 其中事件 A 包含的基本事件共 2 个:i,2i, ∴所求事件的概率为 P(A)= 2 1 = . 12 6
? ? ? ? ?0≤x≤3? ? ?? ?内, ?0≤y≤4? ? ??

(2)依条件可知,点 M 均匀地分布在平面区域?(x,y)??

属于几何概型.该平面 区域的图形为右图中矩形 OABC 围成的区域,面 积为 S=3×4= 12.

x+2y-3≤0? ? ? ? ? ?? 而所求事件构成的平面区域为 ?(x,y)??x≥0 ? ,其图形如图中的三角形 ? ? ? ??y≥0 ? ? OAD(阴影部分).

? 3? 又直线 x+2y-3=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(3,0)、D?0, ?,∴三角形 OAD 的 ? 2?
1 3 9 面积为 S1= ×3× = . 2 2 4 9

S1 4 3 ∴所求事件的概率为 P= = = . S 12 16

5


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