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换个角度求平面的法向量研究空间夹角问题


换个角度求平面的法向量研究空间夹角问题
众所周知,过一定点与已知非零向量垂直的平面是确定的,也就是说,只要知道一定 点和一非零向量,就可以求解出过该定点与已知向量垂直的平面方程.比如已知点 ,于是可以借助向量垂直 Px,y ,z )与平面 ? ,向量 n ( ,bc ( a, b, c 不同时为零) (0 0 0 ?a , ) 求解过点 P 与向量 n 垂直的平面 ? 的方程: 设平面 ? 内的任一点 Mx y z , n ? PM , (, , ) 则 即 ( , ? ? ? ? ? x ( y (z 0 理 得 a) x y z a0 b 0 c 0 , 整 ,c b( 0 x, 0 0 y, z ) ( ) y) z ) x? ? ? ? ? ?

? ?) , ax ? ?ax 0 cz 0 ? cz( 0 by 0 ? 即为所求平面 ? 的方程.于是根据过点 P 与向量 n 垂 by
直 的 平 面 ? 的 方 程 ax ? ?( 0 by 0 ? 的 具 体 形 式 , 若 取 ? ?) ? cz ax 0 cz 0 by

d?0 by0可知空间内任一平面的方程的形式为 ax?? 0a, b, c ?ax 0 cz ( ? ?) ? cz? by d (
不同时为零) ,从求解可以看出平面方程 ax?? 0a, b, c 不同时为零)中的系 ? cz? by d ( 数 a, b, c 对应的实数对 n ( ,bc 就是平面的法向量.再者,根据空间立体几何知识可知过 ?a , ) 不共线的三点确定一个平面, 也就是说, 若过已知一个平面内不共线三个点的坐标就可以利 用待定系数法求解这三点所在的平面方程, 进而就可以利用此法确定相应平面的法向量, 研 究空间中的夹角(线面角、面面角)问题. S 例 1. (2011 年高考全国卷理科第 19 题)如图 1 ,四棱锥 S AC 中, ? BD A /C ,B ?D B/ D C C ,侧面 SAB 为等边三角形,

A C D? B 2? 1 ?? B, CD S . D平A S B (Ⅰ)证明: S ? 面 ;
A
(Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小. 解析:以点 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴, 建立如图 2 所示的直角坐标系 C? xyz . 依题意得 C ( ), ), ) ( ), AB 0 1 (02 , D2 ( . 0, , 00 , , 020 , , , 0 设点 S x y z ,则 ( ?y 0?. (, , ) x 0 ?z 0 , , ) 由 AS ? BS 得

D

C

B
图1

S

z

x

D

C

A
图2

B y

( 2 ?? x () ? x ? 1 ; x () 0 ?? 0 ? 2 )( 2 2 ) 2 2 ) ??? ??,即 y (2 z 0 2 ) y (2 z

2 2 再由 DS ? 1 得 ( 1 y z y z 1 y ?z2 ? ; 1 12 2 2 ?? ) ? ? ? ,即 2 ?

由 BS ? 2 得 1 ( ? ? y? ,即 ? 2 1 y ) ? 2 y ?
2 2 2

1 3 1 3 ,则 z ? ,即 S (1, , ). 2 2 2 2

(Ⅰ)设平面 SAB 的方程为 ax?? 0 a, b, c 不同时为零) ,其法向量为 ? cz? by d (

1 3 ) 及 A2 B2 可得 n ( ,bc .由 S (1, , ?a , ) (,,),00 20 (,,) 2 2

? 1 3 c?d ?0 ?a ? b ? ?a ? 0 2 2 ? ? ,即 ? c ? 3 b ,取 b ? 1 ,则 c 3d ? . ? , ?2 ? 2 a ? 2b ? d ? 0 ? d ? ?2b ?2b ? d ? 0 ? ? ?
于是平面 SAB 的方程为 y 3 ? ? ,其法向量为 n ( , , 3 . ? z 2 0 ?0 1 ) 而 DS ( , , ?0

1 1 3 1 ,即 DS // n ,故 S ? 面 ; D平A S B )? n 2 2 2 2

(Ⅱ)设平面 SBC 的方程为 a b c d 0a1,b , c1 不同时为零) ,其法向 x1 1 1 ( y z 1? ? ?? 1 量为 n ( 1bc .由 S (1, a , ) 1? , 1 1

1 3 , ) 及 B2 C ,) (,,),00 00 (, 可得 0 2 2

? 1 3 c1 ? d 1 ? 0 ? a1 ? b1 ? ? 3 2 2 ? ? ,即 ? a 1 ? ? 2 c 1 ,取 c1 ? ?2,得 a1 ? 3 . 2 b1 ? d 1 ? 0 ? ? b1 ? d 1 ? 0 ?d ? 0 ? ? 1 ?

x 2 0 于是平面 SBC 的方程为 3 ? z? ,其法向量为 n? 3 , 2,而 AB( 2 , ), 0 ) ? ?, 0 0 1 ( , ?
? ? ? ? An 2 B1 ? ? ? ? ? 3 2 1 设 AB 与平面 SBC 所成角 ? ,则 s ? c ?B ? ? i ? s An ?? n o ,1 ? . ? ? ? ? 2 7 An 7 B1 ?
故 AB 与平面 SBC 所成的角为 arcsin

21 . 7

C

例 2.(2011 年高考辽宁卷理科第 18 题) 如图 3, 四边形 ABCD 为正方形,PD⊥ 平面 ABCD, PD∥ QA,QA=AB=

B

1 PD. 2
A

D

P

Q
图3

(I)证明:平面 PQC⊥ 平面 DCQ; (II)求二面角 Q—BP—C 的余弦值. 解析:以点 D 为坐标原点,设 DA 1 ? ,射线 DA 为为 x 轴正半轴,建立如图 4 所示的空 间直角坐标系 D?xyz ,依题意可知 D ),02 ) ( A , ,P1 00 ),( Q , (B , 0 , 00 C,( ,1 1 0 ( ( , 1 ), 1 1 , , , 0 ), , 00 . ), 0 (I))设平面 PQC 的方程为 a b c d 0a1,b , c1 不同时为零) , x1 1 1 ( y z 1? ? ?? 1 其法向量为 n ( 1bc .由 C),2 (0 a , ) ( , P ), , 得 0 (, Q , 0 0 1 1 ,0 , ) 1 1? , 1 1

z

? c1 ? d 1 ? 0 ? , ? 2 b1 ? d 1 ? 0 ?a ? b ? d ? 0 1 1 ? 1 ? c1 ? 2 b1 ? 即 ? d 1 ? ? 2 b 1 ,取 b1 ? 1 , ?a ? b 1 ? 1
则a1? 1 ? ? c , d 2 1 ,1 2 ? .

C
B y P

D A

x

Q
图4

于是平面 PQC 的方程为 x y 2 20 ?? ??,其法向量为 n ?( , ,2 . z 1 ) 1 1 设平面 DCQ 的方程为 a b c d 0 2,b ,c2 不同时为零) , x2 2 2 ( y z 2? ? ?? a 2 其法向量为 n? 2bc .由 D),0 (0 a , ) ( , C), , 得 0 (, Q ,0 0 1 0 , 1 ,) 1 2 ( ,2 2

? d2 ? 0 ?d 2 ? 0 ? ? ,即 ? c 2 ? 0 ,取 a2 ? 1 ,则 b2 ? ?1. ?c2 ? d 2 ? 0 ?a ? b ? d ? 0 ?a ? b ? 0 2 2 2 ? 2 ? 2
于是平面 DCQ 的方程为 x?y?0,其法向量为 n ?1 1 ) ?0 2 (, , . 于是 n 1 ? n2 ? 0 ,则 n 1 ? n 2 ,故平面 PQC⊥ 平面 DCQ; (II)设平面 PQB 的方程为 a b c? ? a3,b , c3 不同时为零) ,其法向量 x3 3 d0 y z 3 ( 3? ? 3

, , 为 n?a b c) B),2 ( 0 1 (, Q ,10 1 0 ,0 , ) 1 3 ( 3 3 3 .由 (, P ), , 得
?a3 ? c3 ? d 3 ? 0 ?a3 ? b3 ? ? ? c , d 2 ,即 ? c 3 ? b 3 ,取 b3 ? 1 ,则 a 1 ? 3 ? ? 2b3 ? d 3 ? 0 3 ,3 1 ? . ?a ?b ?d ? 0 ? d ? ?2b 3 3 3 ? 3 ? 3

11 1 于是平面 PQB 的方程为 x y z 2 0 ????,其法向量为 n ?( , , ). 3
设平面 PBC 的方程为 a b c d 0a4,b ,c4 不同时为零) ,其法向量为 x4 4 4 ( y z 4? ? ?? 4

n? 4bc .由 B),0 ( , 得 a , ) (, C),2 1 (, P ) , 0 0 0 1 , 1 ,0 4 ( ,4 4

?a 4 ? c 4 ? d 4 ? 0 ?a4 ? 0 ? ? ,即 ? c 4 ? 2 b 4 ,取 b4 ? 1 ,则 c ?, 4?2 d ?. ? c4 ? d 4 ? 0 4 2 ? 2b ? d ? 0 ?d ? ?2b 4 4 ? 4 ? 4
于是平面 PBC 的方程为 y 2? ? ,其法向量为 n ? 0 , ). ?z 2 0 (, 2 1 4

nn ? 3 15 3 cosn ? , 4?? 4? n ? ,而二面角 Q—BP—C 的平面角为钝角, 3 n4 n 35 5 ? 3
故二面角 Q—BP—C 的余弦值为 ? 巩固练习: 1.如图 5,所示,在正方体 ABCD ? BD AC 中, 11 1 1

15 . 5

D A1

1

F
B1

C

1

E 是棱 DD 1 的中点.
(Ⅰ)求直线 BE 与平面 ABB 1 所成的角的正弦值; 1A (Ⅱ )在棱 C 1 D 1 上是否存在一点 F , 使 B1 F // 平面 A1 BE ?证明你的结论. 2.如图 6,正方形 ABCD 和 四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥ AC,EF∥ AC,AB= 2 ,

E

D A
图5

C

B

CE=EF=1.
(Ⅰ)求证:AF∥ 平面 BDE; (Ⅱ )求证:CF⊥ 平面 BDE; (Ⅲ )求二面角 A-BE-D 的大小。 巩固练习答案:

2 ; (Ⅱ)当点 F 为 C 1 D 1 的中点时 B1 F // 平面 A1 BE . 3 ? 2. (Ⅰ) )略; ) . (Ⅱ (Ⅲ 6
1.(Ⅰ)

图6


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