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2015世纪金榜理科数学(广东版)课时提升作业(二十八) 4.5


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课时提升作业(二十八)
数系的扩充与复数的引入 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014· 广州模拟)已知 i 为虚数单位,则复数 z 满足 z(1-i)=2-i,则 z= ( A

.3+i B.1-3i D. 错 ) 100 分)

C.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。i 误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。i

2.(2013·江西高考)已知集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则 复数 z= ( A. -2i ) B. 2i C. -4i D.4i

3.(2013·福建高考)已知复数 z 的共轭复数错误!未找到引用源。=1+2i(i 为虚 数单位),则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ) D.2 错误! 未找到 )

4.若(a+bi)(1-2i)=11-7i(i 为虚数单位,a,b∈R),则|a+bi|=( A.4 引用源。 5.(2014·太原模拟)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数 m= (
-1-

B.5

C.错误!未找到引用源。

)

A.1 引用源。

B.-1

C.错误!未找到引用源。

D.-错误!未找到

6.计算错误!未找到引用源。= (

) B. 错误!未找到

A.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。i 引用源。+错误!未找到引用源。i C.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。i 引用源。+错误!未找到引用源。i

D. 错误!未找到

7.(2013·安徽高考)设 i 是虚数单位,错误!未找到引用源。是复数 z 的共轭复 数,若 z·错误!未找到引用源。i+2=2z,则 z= ( A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i )

8.复数 z=错误!未找到引用源。(m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可 能位于 ( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.i 是虚数单位,已知 z=(3+i)(1-2i),则|z|= 10.计算错误!未找到引用源。= . .

11.(2013·湖北高考)i 为虚数单位,设复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于原点 对称,若 z1=2-3i,则 z2= .

12.(2014·西安模拟)已知 a 为实数,若错误!未找到引用源。>错误!未找到引 用源。,则 a= .

三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分)
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13.(2014·广州模拟)已知复数 z=bi(b∈R),错误!未找到引用源。是实数,i 是 虚数单位. (1)求复数 z. (2)若复数(m+z)2 所表示的点在第一象限,求实数 m 的取值范围. 14.若 1+错误!未找到引用源。i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数 根. (1)试求 b,c 的值. (2)1-错误!未找到引用源。i 是否是所给方程的根,试给出判断. 15.(能力挑战题)若虚数 z 同时满足下列两个条件: ①z+错误!未找到引用源。是实数;②z+3 的实部与虚部互为相反数. 这样的虚数是否存在?若存在,求出 z;若不存在,请说明理由.

答案解析
1.【解析】选 D.因为 z(1-i)=2-i, 所以 z=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。i. 2.【思路点拨】由交集的定义及复数的运算可得. 【解析】选 C.由题意知,zi=4.所以 z=错误!未找到引用源。=-4i.故选 C. 3.【解析】选 D.因为错误!未找到引用源。=1+2i,所以 z=1-2i,可得 z 在复平 面内对应的点为(1,-2),位于第四象限.
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4.【思路点拨】先由复数的运算法则求 a+bi,再求模. 【解析】选 C.由题意得 a+bi=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。=3i+5,故|a+bi|=错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。. 5.【解析】选 B.(m2+i)(1+mi)=m2-m+(m3+1)i,因为该复数为实数,所以 m3+1=0,所 以 m=-1,故选 B. 【加固训练】(2013〃郑州模拟)设 i 是虚数单位,若复数错误!未找到引用源。 为实数,则实数 a 为 A.2 引用源。 【解析】选 A.由于错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。,依题意知 a-2=0,则 a=2. 6.【解析】选 D.原式= ( ) B.-2 C.-错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到

=错误!未找到引用源。 =-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。i. 【一题多解】本题还可有如下解法: 原式=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。i. 7.【思路点拨】利用共轭复数、相等复数及复数的运算性质进行计算.
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【解析】选 A.设 z=a+bi(a,b∈R),则错误!未找到引用源。=a-bi, 由 z〃错误!未找到引用源。i+2=2z, 得 (a2+b2)i+2=2(a+bi) ? 2-2a+(a2+b2-2b)i=0, 由复数相等的定义可得 a=1,b=1, 所以 z=1+i. 【加固训练】已知 m(1+i)=2-ni(m,n∈R),其中 i 是虚数单位,则错误!未找到引 用源。等于 ( A.1 B.-1 C.i D.-i )

【解析】选 C.由 m(1+i)=2-ni,得 m+mi=2-ni, 故 m=2,m=-n,故 m=2,n=-2, 故错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=i. 8.【思路点拨】先把 z 化成 a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断. 【解析】选 A.z=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。i,显然错误!未找到引用源。>0 与-错误!未 找到引用源。>0 不可能同时成立,则 z=错误!未找到引用源。对应的点不可能 位于第一象限. 【一题多解】本题还可用以下方法求解.z=错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。+错误!未找到引用源。i,设 x=错误!未找到引用源。,y=错误!未 找到引用源。,则 2x+y+2=0.又直线 2x+y+2=0 不过第一象限,则 z=错误!未找到 引用源。对应的点不可能位于第一象限. 【方法技巧】复数问题的解题技巧 (1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.
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(2)复数 z=a+bi,a∈R,b∈R 与复平面上的点 Z(a,b)是一一对应的,通过复数 z 的 实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置. 9.【解析】因为 z=(3+i)(1-2i)=3-6i+i+2=5-5i,所以|z|=错误!未找到引用源。 =5 错误!未找到引用源。. 答案:5 错误!未找到引用源。 10.【解析】原式=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =(-i)2014=i2014=(i4)503〃i2=-1. 答案:-1 【方法技巧】in(n∈N*)值的周期性 (1)i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,i5=i,i6=-1, i4n=1,i4n-3=i,i4n-2=-1,i4n-1=-i. (2)令 f(n)=in,则 f(n+4)=in+4=in〃i4=in=f(n),所以 in(n∈N*)值的周期是 4. 11.【思路点拨】利用复数的几何意义求解. 【解析】根据复数的几何意义,z1=2-3i 与 z2=-2+3i 关于原点对称. 答案:-2+3i 12.【思路点拨】由题意知错误!未找到引用源。是实数. 【解析】因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。且 2a-1=0, 解得 a=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 13.【解析】(1)因为 z=bi(b∈R),
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,











所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。i. 又因为错误!未找到引用源。是实数,所以错误!未找到引用源。=0, 所以 b=-2,即 z=-2i. (2) 因为 z=-2i,m ∈ R, 所以 (m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi, 又因为复数 (m+z)2 所表示的点在第一象限,所以错误!未找到引用源。 解得 m<-2,即 m∈(-∞,-2). 14.【思路点拨】(1)由复数相等列关于 b,c 的方程组求解. (2)代入方程验证即可. 【解析】(1)由于 1+错误!未找到引用源。i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个根,则(1+错误!未找到引用源。i)2+b(1+错误!未找到引用源。i)+c=0, 整理得(b+c-1)+(2 错误! 未找到引用源。 +错误! 未找到引用源。 b)i=0,则错误! 未找到引用源。,解得错误!未找到引用源。,即 b=-2,c=3. (2)由(1)得方程为 x2-2x+3=0,把 1-错误!未找到引用源。i 代入方程左边得(1错误!未找到引用源。i)2-2(1-错误!未找到引用源。i)+3=1-2 错误!未找到 引用源。i+2i2-2+2 错误!未找到引用源。i+3=1-2-2+3=0,即 1-错误!未找到引 用源。i 满足方程 x2-2x+3=0,所以 1-错误!未找到引用源。i 是所给方程的根. 15.【思路点拨】设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0),根据条件①②列关于实数 a,b 的方程 组,把复数问题转化为实数的计算. 【解析】设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0), 则 z+错误!未找到引用源。=a+bi+错误!未找到引用源。 =a 错误!未找到引用源。+b 错误!未找到引用源。i.
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又 z+3=a+3+bi,z+错误!未找到引用源。是实数, 根据题意有错误!未找到引用源。 因为 b≠0,所以错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。或错误!未找 到引用源。 所以 z=-1-2i 或 z=-2-i. 【加固训练】已知关于 x 的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根 b. (1)求实数 a,b 的值. (2)若复数满足|错误!未找到引用源。-a-bi|-2|z|=0,求 z 为何值时,|z|有最 小值,并求出|z|的最小值. 【思路点拨】(1)把 b 代入方程,根据复数的实部、虚部等于 0 解题即可. (2)设 z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得 s,t 间的关系,进而得到复数 z 对应的 轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题. 【 解 析 】 (1) 因 为 b 是 方 程 x2-(6+i)x+9+ai=0(a ∈ R) 的 实 根 , 所 以 (b2-6b+9)+(a-b)i=0, 所以错误!未找到引用源。解得 a=b=3. (2)设 z=s+ti(s,t∈R),其对应点为 Z(s,t), 由|错误!未找到引用源。-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2), 即(s+1)2+(t-1)2=8,所以 Z 点的轨迹是以 O1(-1,1)为圆 心,2 错误!未找到引用源。为半径的圆,如图所示, 当 Z 点在 OO1 的连线上时, |z|有最大值或最小值. 因为|OO1|=错误!未找到引用源。,
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半径 r=2 错误!未找到引用源。, 所以当 z=1-i 时,|z|有最小值且|z|min=错误!未找到引用源。.

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