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二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案


练习一
1.二次函数 y ? ax 的图像开口向____,对称轴是____,顶点坐标是___
2

_,图像有最___点,x___时,y 随 x 的增大而增大,x___时,y 随 x 的增大而减 小。 2.关于 y ? A.顶点相同
2

1 2 x , y ? x2 , y ? 3x2 的图像,下列说法中不正确的是( 3
B.对称轴相同
2



C.图像形状相同

D.最低点相同 )

3.两条抛物线 y ? x 与 y ? ? x 在同一坐标系内,下列说法中不正确的是( A.顶点相同 B.对称轴相同
2

C.开口方向相反

D.都有最小值 )

4.在抛物线 y ? ? x 上,当 y<0 时,x 的取值范围应为( A.x>0 B.x<0
2 2

C.x≠0

D.x≥0 )

5.对于抛物线 y ? x 与 y ? ? x 下列命题中错误的是( A.两条抛物线关于

x 轴对称

B.两条抛物线关于原点对称 D.两条抛物线没有公共点

C.两条抛物线各自关于 y 轴对称

2 6.抛物线 y=-b x +3 的对称轴是___,顶点是___。

7.抛物线 y=-

1 ( x ? 2) 2 -4 的开口向___,顶点坐标___,对称轴___,x_ 2

__时,y 随 x 的增大而增大,x___时,y 随 x 的增大而减小。 8.抛物线 y ? 2( x ? 1) ? 3 的顶点坐标是(
2

) D. ? 1, ? 3) ( )

A. (1,3)

B. ? 1,3) (

C. (1, ? 3)

9. 已知抛物线的顶点为 ? 1,? 2) 且通过 ( , (1, , 10) 则这条抛物线的表达式为 ( A.y=3 ( x ? 1) -2
2

B.y=3 ( x ? 1) +2
2

C.y=3 ( x ? 1) -2
2 2

D.y=-3 ( x ? 1) -2
2

10.二次函数 y ? ax 的图像向左平移 2 个单位,向下平移 3 个单位,所得新函数表达 式为( )
2

A.y=a ( x ? 2) +3 C.y=a ( x ? 2) +3
2 2

B.y=a ( x ? 2) -3
2

D.y=a ( x ? 2) -3
2

11.抛物线 y ? x ? 4x ? 4 的顶点坐标是( A. (2,0) B. (2,-2)
2

) D. (-2,-8) )

C. (2,-8)
2

12.对抛物线 y= 2( x ? 2) -3 与 y=- 2( x ? 2) +4 的说法不正确的是( A.抛物线的形状相同 C.抛物线对称轴相同 B.抛物线的顶点相同 D.抛物线的开口方向相反

2 13.函数 y=a x +c 与 y=ax+c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的(



2 2 2 14.化 y ? x ? 4x ? 3 为 y= x ? 4 x ? 3 为 y ? a ( x ? h) ? k 的形式是____,图像

的开口向____,顶点是____,对称轴是____。
2 15.抛物线 y= x ? 4 x -1 的顶点是____,对称轴是____。

16.函数 y= ?

1 2 x +2x-5 的图像的对称轴是( 2



A.直线 x=2

B.直线 a=-2

C.直线 y=2 )

D.直线 x=4

17.二次函数 y= ? x 2 ? 2 x ? 1 图像的顶点在( A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 )

18.如果抛物线 y= x 2 ? 6 x ? c 的顶点在 x 轴上,那么 c 的值为( A.0 B.6 C.3 D.9

19.抛物线 y= x2 ? 2mx ? m ? 2 的顶点在第三象限,试确定 m 的取值范围是( A.m<-1 或 m>2 B.m<0 或 m>-1
2



C.-1<m<0

D.m<-1

20.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c ,如果 a>0,b<0,c<0,那么这个函数图像的顶点 必在( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限

2 21.如图所示,满足 a>0,b<0 的函数 y= ax ? bx 的图像是(

22.画出 y ?

1 2 x ? 4 x ? 10 的图像,由图像你能发现这个函数具有什么性质? 2

23.通过配方变形,说出函数 y ? ?2 x ? 8x ? 8 的图像的开口方向,对称轴,顶点坐
2

标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?

24. 根据下列条件, 分别求出对应的二次函数关系式。 已知抛物线的顶点是 (―1, ―2) , 且过点(1,10) 。

25.已知一个二次函数的图像过点(0,1) ,它的顶点坐标是(8,9) ,求这个二次函数 的关系式。

参考答案
1.上 y 轴 (0,0) 2.C 6.y 轴 7.下 8.D 3.D (0,3) (―2,―4) x=-2 9.C
2



>0 5.D

<0

4.C

<-2 11.C

>-2 12.B x=-2 20.D 13.B 15.(―2,―5) 21.C x=-2

10.D 上 18.D

14.y= ( x ? 2) -1 16.A 17.B

(―2,―1) 19.D

22.图像略,性质: (1)图像开口向上,对称轴是直线 x=4,顶点(4,2) 。 (2)x>4 时,y 随 x 增大而增大,x<4 时,y 随 x 增大而减小。 (3)x=4 时, y最小 =2.
2 2 23.y= ?2 x ? 8 x ? 8 = ?2( x ? 2) ,∴开口向下, 对称轴 x=2, (2, , 时, y最小 顶点 0) x=2

=0 24.设抛物线是 y= a( x ? 1) ? 2,将 x=1,y=10 代入上式得 a=3,
2
2 ∴函数关系式是 y=3 ( x ? 1) ? 2=3 x ? 6x+1.

2

2 25.解法 1:设 y=a ( x ? 8) ? 9,将 x=0,y=1 代入上式得 a= ?

1 , 8

2 ∴y= ? ( x ? 8) ? 9= ?

1 8

1 2 x ? 2x ?1 8

练习二

1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动, 通过仪器观察得到小球滚动的距离 (米) s 与时间 t(秒)的数据如下表: 时间 t(秒) 距离 s(米) 写出用 t 表示 s 的函数关系式. 2、 下列函数:① y = ④ y = 1 2 2 8 3 18 4 32 … …

3x 2 ;② y = x 2 - x (1 + x ) ;③ y = x 2 (x 2 + x ) - 4 ;
,其中 a = ,

b=
3、当 m

1 + x ;⑤ y = x (1 - x ) ,其中是二次函数的是 x2 ,c =

时,函数 y = (m - 2)x 2 + 3x - 5 ( m 为常数)是关于 x 的二次函数
2

4、当 m = _ _ _ _ 时,函数 y = (m 2 + m )x m 5、当 m = _ _ _ _ 时,函数 y = (m - 4)x m
2

- 2m - 1

是关于 x 的二次函数

- 5m + 6

+3x 是关于 x 的二次函数

6、若点 A ( 2, m ) 在函数 y ? x 2 ? 1 的图像上,则 A 点的坐标是____. 7、在圆的面积公式 S=πr2 中,s 与 r 的关系是( ) A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系

D、二次函数关系

8、正方形铁片边长为 15cm,在四个角上各剪去一个边长为 x(cm)的小正方形,用余下的 部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积 S(cm2)与小正方形边长 x(cm)之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为 3cm 时,求盒子的表面积. 9、如图,矩形的长是 4cm,宽是 3cm,如果将长和宽 加 x cm, 2 那么面积增加 ycm , ① 求 y 与 x 之间的函数关系 ② 求当边长增加多少时,面积增加 8cm2. 都 增 式.

10、已知二次函数 y ? ax2 ? c(a ? 0), 当 x=1 时,y= -1;当 x=2 时,y=2,求该函数解析式. 11、 富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料, 建造猪舍三间,如图,它们的平面图是一排大小相等的长方形. (1) 如果设猪舍的宽 AB 为 x 米,则猪舍的总面积 S(米 2)与 x 有怎样的函数关系? (2) 请你帮富根老伯计算一下,如果猪舍的总面积为 32 米 2,应 该如何安排猪舍的长 BC 和宽 AB 的长度?旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响? 怎样影响?

2 参考答案 1:1、 s ? 2t ;2、⑤,-1,1,0;3、≠2,3,1;6、 (2,3) ;7、D;8、

S ? ?4 x 2 ? 225 (0 ? x ?

15 ), 189; y ? x 2 ? 7 x , 10、y ? x 2 ? 2 ; S ? ?4 x 2 ? 24x, 9、 1; 11、 2

当 a<8 时,无解, 8 ? a ? 16 时,AB=4,BC=8,当 a ? 16 时,AB=4,BC=8 或 AB=2,BC=16.

练习三
1、 填空: 抛物线 y ? (1)

1 2 x 的对称轴是 2

(或

) 顶点坐标是 ,

, 时,

当x 时, 随 x 的增大而增大, x y 当 该函数有最 值是 ; (2)抛物线 y ? ?

时, 随 x 的增大而减小, x= y 当

1 2 x 的对称轴是 2

(或

) ,顶点坐标是

,当 x 时,该函

时,y 随 x 的增大而增大,当 x 数有最 值是 ;

时,y 随 x 的增大而减小,当 x=

2、对于函数 y ? 2x 2 下列说法:①当 x 取任何实数时,y 的值总是正的;②x 的值增大,y 的值也增大;③y 随 x 的增大而减小;④图象关于 y 轴对称.其中正确的是 . 2 3、抛物线 y=-x 不具有的性质是( ) A、开口向下 B、对称轴是 y 轴 C、与 y 轴不相交 D、最高点是原点
1 4、苹果熟了,从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S= gt2(g=9.8) ,则 s 与 2

t 的函数图像大致是( ) s

s

s

O s O t

t

O

t

O

t

A
2

B

C )

D

5、函数 y ? ax 与 y ? ?ax ? b 的图象可能是(

A. 6、已知函数 y = mx m 7、二次函数 y ? mx 8、二次函数 y ? ?
2

B.
- m- 4

C. 的图象是开口向下的抛物线,求 m 的值.

D.

m2 ?1

在其图象对称轴的左侧,y 随 x 的增大而增大,求 m 的值.

3 2 x ,当 x1>x2>0 时,求 y1 与 y2 的大小关系. 2
m2 ?m?4

9、已知函数 y ? ?m ? 2?x

是关于 x 的二次函数,求:

(1) 满足条件的 m 的值; (2) m 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时 x 为何值时,y 随 x 的增大 而增大; (3) m 为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?当 x 为何值时,y 随 x 的增大而减 小? 10、如果抛物线 y = ax 2 与直线 y = x - 1 交于点 (b, 2) ,求这条抛物线所对应的二次函数 的关系式. 参考答案 2:1、(1)x=0,y 轴, (0,0) ,>0, ,<0,0,小,0; (2)x=0,y 轴, (0,0) ,<,>, 0, 大,0;2、④ ;3、C;4、A;5、B;6、-2;7、 ? 3 ;8、 y1 ? y 2 ? 0 ;9、 (1)2 或-3, (2) m=2、y=0、x>0, (3)m=-3,y=0,x>0;10、 y ?

2 2 x 9

练习 4
1、抛物线 y ? ?2 x 2 ? 3 的开口 时, y 随 x 的增大而增大, 当 x 2、将抛物线 y ? ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当 x

时, y 随 x 的增大而减小. ,再向上平移 3

1 2 x 向下平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为 3

个单位得到的抛物线的解析式为 标 、 .
2

,并分别写出这两个函数的顶点坐

3、任给一些不同的实数 k,得到不同的抛物线 y ? x ?k ,当 k 取 0, ? 1 时,关于这些抛物 线有以下判断:① 开口方向都相同;② 对称轴都相同;③ 形状相同;④ 都有最底点.其中判断 正确的是 . 4、 将抛物线 y ? 2 x ? 1 向上平移 4 个单位后, 所得的抛物线是
2

, x= 当

时,

该抛物线有最

(填大或小)值,是
2 2

.

5、已知函数 y ? mx ? (m ? m) x ? 2 的图象关于 y 轴对称,则 m=________;
2 6、二次函数 y ? ax ? c ?a ? 0? 中,若当 x 取 x1、x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当 x 取

x1+x2 时,函数值等于

.

参考答案 3:1、下,x=0, (0,-3) ,<0,>0;2、 y ?
2

1 2 1 x ? 2 , y ? x2 ?1, (0,-2) , 3 3

(0,1) ;3、① ③ ② ;4、 y ? 2 x ? 3 ,0,小,3;5、1;6、c.

练习五
1、抛物线 y ? ? 数有 最 值 . 2、试写出抛物线 y ? 3x 2 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. (1)右移 2 个单位; (2)左移
2

1 ?x ? 3?2 ,顶点坐标是 2

,当 x

时,y 随 x 的增大而减小, 函

2 个单位; (3)先左移 1 个单位,再右移 4 个单位. 3

3、请你写出函数 y ? ?x ? 1? 和 y ? x 2 ? 1 具有的共同性质(至少 2 个). 4、二次函数 y ? a?x ? h? 的图象如图:已知 a ?
2

1 ,OA=OC,试求 2

该抛物线的解析式. 5、抛物线 y ? 3( x ? 3) 2 与 x 轴交点为 A,与 y 轴交点为 B,求 A、B 两点坐标及⊿ AOB 的面积. 6、二次函数 y ? a( x ? 4) 2 ,当自变量 x 由 0 增加到 2 时,函数值增加 6.(1)求出此函数 关系式.(2)说明函数值 y 随 x 值的变化情况. 7、已知抛物线 y ? x 2 ? (k ? 2) x ? 9 的顶点在坐标轴上,求 k 的值.

2 2 2 参考答案 4:1、 (3,0) ,>3,大,y=0;2、 y ? 3( x ? 2) , y ? 3( x ? ) , y ? 3( x ? 3) ;3、

2 3

略;4、 y ?

1 1 2 ( x ? 2) 2 ;5、 (3,0)(0,27) , ,40.5;6、 y ? ? ( x ? 4) ,当 x<4 时,y 2 2

随 x 的增大而增大,当 x>4 时,y 随 x 的增大而减小;7、-8,-2,4.

练习 6
y ? a?x ? h? ? k 的图象与性质
2

1、请写出一个二次函数以(2, 3)为顶点,且开口向上.____________. 2、二次函数 y=(x-1)2+2,当 x=____时,y 有最小值. 3、函数 y=
1 (x-1)2+3,当 x____时,函数值 y 随 x 的增大而增大. 2

4、函数 y=

1 1 (x+3)2-2 的图象可由函数 y= x2 的图象向 2 2

平移 3 个单位,再向

平移 2 个单位得到. 5、 已知抛物线的顶点坐标为 (2,1) ,且抛物线过点 (3, 0),则抛物线的关系式是 6、 如图所示,抛物线顶点坐标是 P(1,3) ,则函数 y 随自变量 x 的增大而减小 的 x 的取值范围是( ) A、x>3 B、x<3 C、x>1 D、x<1 7、已知函数 y ? ?3?x ? 2? ? 9 .
2

(1) (2) (3) (4) (5)

确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标; 当 x= 时,抛物线有最 值,是 当x 时,y 随 x 的增大而增大;当 x 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标及两交点间距离; 求出该抛物线与 y 轴的交点坐标;

. 时,y 随 x 的增大而减小.

(6) 该函数图象可由 y ? ?3x 2 的图象经过怎样的平移得到的? 8、已知函数 y ? ?x ? 1? ? 4 .
2

(1) (2) (3) (4)

指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; 若图象与 x 轴的交点为 A、B 和与 y 轴的交点 C,求△ABC 的面积; 指出该函数的最值和增减性; 若将该抛物线先向右平移 2 个单位,在向上平移 4 个单位,求得到的抛物线的解析 式; (5) 该抛物线经过怎样的平移能经过原点. (6) 画出该函数图象,并根据图象回答:当 x 取何值时,函数值大于 0;当 x 取何值时, 函数值小于 0. 参考答案 5:1、略;2、1;3、>1;4、左、下;5、 y ? ? x ? 4 x ? 3 ;6、C;7、 (1)下,
2

x=2, (2,9)(2)2、大、9, , (3)<2、>2,(4)( 2 ? 3 ,0)、( 2 ? 3 ,0)、 2 3 , (0, (5) -3)(6)向右平移 2 个单位,再向上平移 9 个单位;8、 ; (1)上、x=-1、 (-1,-4)(2) ; (-3, 0)(1,0)(0,-3) (3)-4,当 x>-1 时,y 随 x 的增大而增大;当 x<-1 时,y 随 x 、 、 、6, 的增大而减小,(4) y ? ( x ? 1) ; (5)向右平移 1 个单位,再向上平移 4 个单位或向上平移
2

3 个单位或向左平移 1 个单位; (6)x>1 或 x<-3、-3<x<1

练习 7
1、抛物线 y ? x ? 4 x ? 9 的对称轴是
2

y ? ax2 ? bx ? c 的图象和性质

.

2、抛物线 y ? 2 x 2 ? 12x ? 25的开口方向是

,顶点坐标是

.

3、试写出一个开口方向向上,对称轴为直线 x=-2,且与 y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物 线的解析式 . 2 4、将 y=x -2x+3 化成 y=a (x-h)2+k 的形式,则 y=____. 5、把二次函数 y = -

1 2 5 x - 3x - 的图象向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位,则 2 2

两次平移后的函数图象的关系式是 6、抛物线 y ? x 2 ? 6x ? 16 与 x 轴交点的坐标为_________; 7、函数 y ? ?2 x 2 ? x 有最____值,最值为_______; 8、 二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位, 再沿 y 轴向上平移 3 个单位, 得到的图象的函数解析式为 y ? x 2 ? 2 x ? 1 ,则 b 与 c 分别等于( A、6,4 B、-8,14 C、-6,6 D、-8,-14 ) )

9、二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 的图象在 x 轴上截得的线段长为( A、 2 2 B、 3 2 C、 2 3 D、 3 3

10、通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标: (1) y ?

1 2 x ? 2x ? 1 ; 2
2

(2) y ? ?3x 2 ? 8x ? 2 ;

(3) y ? ?

1 2 x ? x?4 4

11、把抛物线 y ? ?2 x ? 4 x ? 1沿坐标轴先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,问 所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由. 12、求二次函数 y ? ? x ? x ? 6 的图象与 x 轴和 y 轴的交点坐标
2

13、已知一次函数的图象过抛物线 y = x + 2x + 3 的顶点和坐标原点 1) 求一次函数的关系式; 2) 判断点 (- 2, 5) 是否在这个一次函数的图象上 14、某商场以每台 2500 元进口一批彩电.如每台售价定为 2700 元,可卖出 400 台,以每 100 元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出 50 台,那么每台定价为多少 元即可获得最大利润?最大利润是多少元?
2 参考答案 6:1、x=-2;2、上、 (3,7) ;3、略;4、 ( x ? 1) ? 2 ;5、 y ? ?

2

1 ( x ? 1) 2 ? 5 ; 2

6、 (-2,0) (8,0) ;7、大、 ;8、C;9、A;10、 (1) y ?

1 8

1 ( x ? 2) 2 ? 1 、上、x=2、 (2, 2

4 10 3 3 4 4 10 1 2 、下、 x ? 、 ( , )(3) y ? ? ( x ? 2) ? 3 、下、x=2、 , (2,-3) ;11、有、y=6; 3 3 3 4
2 -1)(2) y ? ?3( x ? ) ? ,

12、 (2,0) (-3,0) (0,6) ;13、y=-2x、否;14、定价为 3000 元时,可获最大利润 125000 元

练习 8
y ? ax2 ? bx ? c 的性质
1、函数 y = x 2 + px + q 的图象是以 (3, 2) 为顶点的一条抛物线,这个二次函数的表达式 为 2、二次函数 y = mx 2 + 2x + m - 4m 2 的图象经过原点,则此抛物线的顶点坐标是 3、如果抛物线 y = ax 2 + bx + c与 y 轴交于点 A (0, 2) ,它的对称轴是 x = - 1 ,那么

ac = b
4、抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 与 x 轴的正半轴交于点 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且线段 AB 的长为 1,△ABC 的面积为 1,则 b 的值为______. 5、已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,
2
2 则 a___0,b___0,c___0, b ? 4ac ____0;

6、二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图,则直线 y ? ax ? bc
2

的图象不经过第

象限.

2 7、 已知二次函数 y = ax + bx + c( a ? 0 ) 的图象如图所示,

则下列结论: 1) a , b 同号;2)当 x = 1 和 x = 3 时,函数值相同;3)

4a + b = 0 ;4)当 y = - 2 时,x 的值只能为 0;其中正确
的是
2 2 8、 已知二次函数 y ? ?4 x ? 2mx ? m 与反比例函数 y ?

2m ? 4 的图象在第二象限内的一 x

个交点的横坐标是-2,则 m=

9、二次函数 y = x 2 + ax + b 中,若 a + b = 0 ,则它的图象必经过点(



A (- 1, - 1)

B (1, - 1)

C (1,1)

D (- 1,1)

10、函数 y ? ax ? b 与 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示, 则下列选项中正确的是( A、 ab ? 0, c ? 0 C、 ab ? 0, c ? 0 )

B、 ab ? 0, c ? 0 D、 ab ? 0, c ? 0 )

11、已知函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则函数 y ? ax ? b 的图象是(

12、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图,那么 abc、2a+b、a+b+c、 a-b+c 这四个代数式中,值为正数的有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

13、抛物线 ① ③ > >0;②

的图角如图,则下列结论: ; ).

;④ <1.其中正确的结论是(

(A)① ② (B)② ③ (C)② ④ (D)③ ④
2 14、 二次函数 y = ax + bx + c 的最大值是 - 3a , 且它的图象经过 (- 1, - 2) , 1, 6) 两点, (

求 a 、b 、 c
2 2 15、试求抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴两个交点间的距离( b - 4ac > 0 )

参考答案 7:1、 y ? x ? 6 x ? 11;2、 (-4,-4) ;3、1;4、-3;5、>、<、>、>;6、二;
2

7、 ③ 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、y ? ?2x ? 4x ? 4 ; ② ; -7; C; D; B; C; B; 15、
2

b 2 ? 4ac a

练习 9

二次函数解析式

1、抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点,则 a=

, b=

, c=

2、把抛物线 y=x2+2x-3 向左平移 3 个单位,然后向下平移 2 个单位,则所得的抛物线的解 析式为 . 3、 二次函数有最小值为 - 1 ,当 x = 0 时, y = 1 ,它的图象的对称轴为 x = 1 ,则函数 的关系式 为 4、根据条件求二次函数的解析式 (1)抛物线过(-1,-6)(1,-2)和(2,3)三点 、 (2)抛物线的顶点坐标为(-1,-1) ,且与 y 轴交点的纵坐标为-3 (3)抛物线过(-1,0)(3,0)(1,-5)三点; , , (4)抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4,且顶点坐标是(3,-2) ;

5、已知二次函数的图象经过 (- 1,1) 、 (2,1) 两点,且与 x 轴仅有一个交点,求二次函数的 解析式 6、抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0,-1)与点(3,2),顶点在直线 y=3x-3 上,a<0,求此二次函数的解 析式. 7、已知二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0) 、B(3,0)两点,且函数有最大值是 2. (1) 求二次函数的图象的解析式; (2) 设次二次函数的顶点为 P,求△ABP 的面积. 8、以 x 为自变量的函数 y ? ? x ? (2m ? 1) x ? (m ? 4m ? 3) 中,m 为不小于零的整数,
2 2

它的图象与 x 轴交于点 A 和 B, A 在原点左边, B 在原点右边.(1)求这个二次函数的解 点 点 析式;(2)一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A,与这个二次函数的图象交于点 C,且 S?ABC =10,求这个一次函数的解析式.

1 2 2 2 2 、 、 2、 ? x ? 8x ? 10 ; y ? 2x ? 4x ? 1 ;(1) ? x ? 2 x ? 5 1; y 3、 4、 y 3 3 5 2 5 15 1 2 5 2 、 2 ) y ? ?2x ? 4x ? 3 、 3 ) y ? x ? x ? ( ( 、 4 ) y ? x ? 3x ? ; 5 、 ( 4 2 4 2 2 4 2 4 1 8 2 8 48 y ? x ? x ? ;6、 y ? ? x 2 ? 4x ? 1 ;7、 x ? x? (1) y ? ? 、5;8、 9 9 9 25 25 25
参考答案 8: ? 1、

y ? ? x 2 ? 2x ? 3 、y=-x-1 或 y=5x+5

练习 10
二次函数与方程和不等式 1、已知二次函数 y ? kx2 ? 7 x ? 7 与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是 .

2、关于 x 的一元二次方程 x 2 ? x ? n ? 0 没有实数根,则抛物线 y ? x 2 ? x ? n 的顶点在第 _____象限; 3、抛物线 y ? ? x 2 ? 2kx ? 2 与 x 轴交点的个数为( A、0 B、1 C、2 D、以上都不对 ) )

4、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 对于 x 的任何值都恒为负值的条件是( A、 a ? 0, ? ? 0 B、 a ? 0, ? ? 0 C、 a ? 0, ? ? 0

D、 a ? 0, ? ? 0 )

5、 y ? x 2 ? kx ? 1 与 y ? x 2 ? x ? k 的图象相交,若有一个交点在 x 轴上,则 k 为( A、0 B、-1 C、2 D、

1 4

2 6、若方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根是-3 和 1,那么二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象的

对称轴是直线( ) A、 x =-3 B、 x =-2
2

C、 x =-1

D、 x =1

7、已知二次函数 y = x + px + q 的图象与 x 轴只有一个公共点,坐标为 (- 1, 0) ,求 p , q 的值
2 2 8、画出二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 的图象,并利用图象求方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解,说明 x

2 在什么范围时 x ? 2 x ? 3 ? 0 .

9、如图: (1) 求该抛物线的解析式; (2) 根据图象回答:当 x 为何范围时,该函数值大于 0. 10、二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象过 A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点 D 在函数图象上,点 C、D
2

是二次函数图象上的一对对称点,一次函数图象过点 B、D,求(1)一次函数和二次函数 的解析式, (2)写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围.

11、已知抛物线 y = x - mx + m - 2 .

2

(1)求证此抛物线与 x 轴有两个不同的交点; (2)若 m 是整数,抛物线 y = x 2 - mx + m - 2 与 x 轴交于整数点,求 m 的值; (3)在(2)的条件下,设抛物线顶点为 A,抛物线与 x 轴的两个交点中右侧交点为 B. 若 M 为坐标轴上一点,且 MA=MB,求点 M 的坐标. 参考答案 9:1、 k ? ?

7 且 k ? 0 ;2、一;3、C;4、D;5、C;6、C;7、2,1;8、 4

x1 ? ?1, x2 ? 3,?1 ? x ? 3 ; 9 、( 1 ) y ? x 2 ? 2 x 、 x<0 或 x>2 ; 10 、 y=-x+1 ,
(1)略,(2)m=2,(3)(1,0)或(0,1) y ? ? x 2 ? 2x ? 3 ,x<-2 或 x>1;11、
千克销售价(元)

3.5 0.5 0 2 7 月份

练习 11
二次函数解决实际问题 1、某农场种植一种蔬菜,销售员张平根据往年的销售情况,对今 蔬菜的销售价格进行了预测,预测情况如图,图中的抛物线表示这种蔬 菜销售价与月份之间的关系.观察图像,你能得到关于这种蔬菜销售 情况的哪些信息?(至少写出四条) 年种

2、某企业投资 100 万元引进一条农产品生产线,预计投产后每年可创收 33 万元,设生产线 2 投产后,从第一年到第 x 年维修、保养费累计为 y(万元) ,且 y=ax +bx,若第一年的 .. 维修、保养费为 2 万元,第二年的为 4 万元.求:y 的解析式. 3、 校运会上, 小明参加铅球比赛, 若某次试掷, 铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之 间的函数关系式为 y=-
1 2 2 5 x + x+ ,求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度. 12 3 3

4、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框,应做成长、宽各为 多少时,才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?

5、商场销售一批衬衫,每天可售出 20 件,每件盈利 40 元,为了扩大销售,减少库存, 决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果一件衬衫每降价 1 元,每天可多售出 2 件. ① 设每件降价 x 元,每天盈利 y 元,列出 y 与 x 之间的函数关系式; ② 若商场每天要盈利 1200 元,每件应降价多少元? ③ 每件降价多少元时,商场每天的盈利达到最大?盈利最大是多少元?

6、有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为 4m, 跨度为 10m,如图所示,把它的图形放在直角坐标系中. ① 求这条抛物线所对应的函数关系式. ② 如图,在对称轴右边 1m 处,桥洞离水面的高是多少?

7、 有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为 20m,拱顶距离水面 4m. (1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析 式. (2)在正常水位的基础上,当水位上升 h(m)时,桥下水 面的宽度为 d(m),试求出用 d 表示 h 的函数关系式; (3) 设正常水位时桥下的水深为 2m,为保证过往船只顺 利航行,桥下水面的宽度不得小于 18m,求水深超过多少 米时就会影响过往船只在桥下顺利航行?

8、某一隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和一抛物线 构成, 如图所示, 为保证安全, 要求行驶车辆顶部 (设为平顶) 与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5m, 若行车道总 宽度 AB 为 6m, 请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米? (精确到 0.1m).

参考答案 10:1、① 月份每千克 3.5 元 2

② 月份每千克 0.5 克 7

③ 月份的售价最低 7

④ 2~7 月份售价下跌; y=x2+x; 成绩 10 米, 2、 3、 出手高度 当 x=1 时,透光面积最大为

5 3 3 2 米; S ? ? ( x ? 1) ? , 4、 3 2 2

3 2 m ;5、 (1)y=(40-x) (20+2x)=-2x2+60x+800, (2) 2

1200=-2x2+60x+800,x1=20,x2=10 ∵ 要扩大销售 ∴ 取 20 元, x (3)y=-2 (x2- 30x)+800=-2 (x-15)2+1250 ∴ 当每件降价 15 元时,盈利最大为 1250 元;6、 (1)设 y=a (x-5)2+4,0=a (-5)2+4,a=- =-

4 4 ,∴ y=- (x-5)2+4, (2)当 x=6 时,y 25 25

4 1 2 x , +4=3.4(m);7、 (1) y ? ? (2) d ? 10 4 ? h , (3)当水深超过 2.76m 25 25

时; y ? ? 8、

1 2 9 3 x ? 6(?4 ? x ? 6) ,x ? 3 ,y ? 6 ? ? 3.75m , .75 ? 0.5 ? 3.25 ? 3.2m , 4 4

货车限高为 3.2m.

? ?c ? 1, ? ? b 2 解法 2:设 y= ax ? bx ? c ,由题意得 ? ? ? 8, ? 2a ? 4ac ? b 2 ? 9, ? ? 4a

1 ? ?a ? ? 8 , ? 解之 ?b ? 2, ?c ? 1. ? ?
∴y= ?

1 2 x ? 2x ?1 8


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