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广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷 2


广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷
3.20 上午 本试卷共 8 页,第 1-3页为选择题和填空题,第4-8 页为解答题及答卷。请将 选择题和填空题的答案做在第4页的答卷上。全卷共三大题 20 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 如果事件互斥,那么 P(A+B)=P(A)+(B) 如果事件相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·(B) 如果

事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么
k k Pn(k)= Cn P (1-P)n-k

球的表面积公式 S=4πR2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V= 4 πR3 3

其中 R 表示球的半径

第一部分

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 请将唯一正确的答案代号填在第4页的答题卷上 1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是( ). (A) 2.与

1 2
? ? 11 4

(B)

1 4

(C) ).

1 8

(D)

7 8

终边相同的角为( (B)

(A) ?

3? 4

?

?
4

(C)

? 4

(D)

3? 4
) .

3. 已知集合 S ? ( x, y ) (A) S ? M
?
2

?

x2 y2 ? ? 1? , M ? ? 则 S 与 M 的关系是 ( ( x, y) x 2 ? y 2 ? 1?, 16 9
?

(B) M ? S

(C) S ? M ? ? ). (C) ( ,?? )

(D) S ? M ? M

4.函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的增区间为( (A) [0,??) (B) ( ?? , )

1 2

1 2

(D) (0,??)

第 1 页 共 8 页

5.观察下列四个电路图,结论正确的是( A B

). A B C



A B C

A

C








(A) (B) (C) (D)

图①中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的充分不必要条件; 图②中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的必要不充分条件; 图③中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的充分且必要条件; 图④中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的不充分又不必要条件.

6. 设 i , j 是 平 面 直 角 坐 标 系 内 x 轴 , y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 且

? ?

? ? ? ? AB ? 4i ? 2 j , AC ? 3i ? 4 j ,则 ?ABC 的面积等于(
(A) 15 (B) 10 (C) 7.5

). (D) 5 ).

7. f ?x ? 与 g ?x ? 是定义在 R 上的可导函数.若 f ??x ? ? g ??x ? ,则 f ?x ? 与 g ?x ? 满足( (A) f ?x ? ? g ?x ? (C) f ?x ? ? g ?x ? ? 0 (B) f ?x ? ? g ?x ? 是常数函数 (D) f ?x ? ? g ?x ? 是常数函数.

8.2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示, 它是由四个相同的直角三角形与 中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小 的锐角为 ? ,大正方形的面积为 1,小正方形的面积为 则 sin ? ? cos ? 的值为(
2 2

1 , 25

).

(A) ?

12 25

(B)

24 25

(C)

7 7 (D) ? 25 25

9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” , 设 ?an ? 是公比为 q 、前n项和为 S n 的无穷等比数列,下列 ?an ? 的四组量: ① s1与s 2 ; ②

a2与s3 ;③ a1与an ;④ q与an 中,一定能成为该数列的“基本量”的是 (
(A) ①② (B) ①④ (C) ③④
第 2 页 共 8 页

).

(D) ①②③

10.已知直线 m、n 及平面 ? ,其中 m // n ,那么在平面 ? 内到两条直线 m、n 距离相等的点 的集合可能为① 一条直线;② 一个平面;③ 一个点;④ 空集.其中正确的是( ). (A) ①②③; (B) ①②④; (C) ①④; (D) ②④.

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 请将答案填在第4页的答题卷中.
* 11.如图,在杨辉三角形中,从上往下数共有 n n ? N 行,在这些数中非 1 的数字之和是

?

?

_______. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ???????? 12.若点 P为抛物线 y 2 ? 10x上的动点,则点 P到直线 x ? y ? 5 ? 0距离的最小值 为 (3 分) ,此时点 P 的坐标为 (2 分). 1

13. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ?x ? , 对 任 意 实 数 x , 都 有 f ?x ? 3? ? f ?x ? ? 3 和

f ?x ? 2? ? f ?x ? ? 2 ,且 f ?1? ? 1 ,则 f ?2005? 的值为_________.
14.如图,在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水,固定容器的一边 DE 将其倾斜, 随着容器的倾斜程度不同, 水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同, 试尽可能 多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规 律: . (要求:各种规律的表述要科学,准确.每答对 1 个给 1 分,本题满分 5 分)

P F A B E D (第 14 题图 1) C

B A

P C (第14 题 图 2 ) D

第 3 页 共 8 页

三、解答题: 15. (本题满分 12 分)已知

x ? ax ?

3 的解集为 ?4,b ? ,求实数 a, b 的值. 2

16.(本题满分 13 分)已知函数 y ? f ?x ? 的图象关于直线 x ? 3 对称,当 f (?1) ? 320, 且

? ? ? ? 3 2 15 sin 2 x ? ? 时,试求 f 的值. cos x ? sin x ? ? ? ?? 5 ? ? cos? x ? ? ? 4 ?? ? ?

17. ( 本 题 满 分 13 分 ) 如 图 , 直 角 梯 形 OABC 中 , AO⊥ OC , AB ∥ OC ,

OC ? 2, OS ? OA ? AB ? 1 . SO ? 平面 OABC.以 OC,OA,OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建
立直角坐标系 O- xyz . (Ⅰ)求异面直线 SC 与 OB 所成角;

? ? (Ⅱ)设 n ? ?1, p, q ? ,满足 n ? 平面 SBC.求: ? ① n 的坐标;
②OA 与平面 SBC 的夹角 ? (用反三角函数表 示) ; ③点 O 到平面 SBC 的距离.


z


O A B

y

x 18.(本题满分 14 分)设 x, y ? R , i 、j 为直 角坐标平面内 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量,若 a ? xi ? ( y ? 2 ) j , b ? xi ? ( y ? 2 ) j , 且 a ? b ? 8. (Ⅰ)求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样 的直线 l,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

第 4 页 共 8 页

19.(本题满分 14 分)某基本系统是由四个整流二极管(串,并)联结而成.已知每个二极管 的可靠度为 0.8(即正常工作时).若要求系统的可靠度大于 0.85,请你设计出二极管的各种 可能的联结方案(要求:画出相应的设计图形,并有相应的计算说明).

20(本题满分 14 分)直线 x ? y ? n

?n ? 3, 且n ? N ? 与 x 轴、 y 轴所围成区域内部(不包

括边界)的整点个数为 an ,所围成区域(包括边界)的整点个数为 bn (整点就是横、纵坐 标均为整数的点). (Ⅰ)求 an 及 bn 的表达式; (Ⅱ)对区域内部的 an 个整点用红、黄、蓝三色之一着色,其方法总数为 An ,对所围区域 的 bn 个整点,用红、蓝两色之一着色,其方法总数为 Bn ,试比较 An 与 Bn 的大小.

第 5 页 共 8 页

广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案
一、选择题答案 题号 1 2 答案 D A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 B 8 D 9 B 10 B

二、填空题答案
11. 2 ? 2n
n

12.

5 2 5 , ( , ? 5) 4 2

13. f ?2005 ? =2005

14. ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀

⑴ 水面是矩形; 四个侧面中,一组对面是直角梯形,另一组对面是矩形; 水面的大小是变化的,水面与平面 CDEF 所成二面角越小,水面的面积越大; 形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的,这两个直角梯形全等; 侧面积不变; 侧面中两组对面的面积之和相等; 形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值; AB+CD 为定值; 如果长方体的倾斜程度为α 时,则水面与与底面所成的角为 90?-α ; 底面的面积=水面的面积×cos(90?-α )=水面的面积×sinα ; 当倾斜程度增大,点 A 在 BD 之间时,A 与 B 重合时,BD=2h(h 为水面原来的高度) ; 若容器的高度 PD<2h,当 A 与 B 重合时,水将溢出; 点 A 在 BD 内部时,△ADC 的面积为定值 .

P F A B E D (第 14 题图 1) C B A P C (第14 题 图 2 ) D

第 6 页 共 8 页

三、解答题 15. (本题满分 12 分)已知

x ? ax ?

3 的解集为 ?4, b ? ,求实 2
C

数 a, b 的值.
法一:如图,在同一直角坐标系中,作出 y= x (x≥0) 3 及 y=ax+ 的大致图像, 2 3 设 y=ax+ 与 Y 轴及 y= x 分别交于 A、B、C 点 2 3 由条件及图像可知 A(0, ) ,B(4,2) , 2
A B

则4a ?

3 1 ? 2 得a ? 2 8

令 C(b, b ) (b>0) 由 k AB ? k BC

3 2 ? b ? 2 ? a ? 1 ,b ? 36 得 a? 8 4?0 b?4 2 3 3 法二: x ? ax ? ? a x ? x ? ? 0 2 2 2?

? ?

依题意,上式等价于 a

?

x ?2

??

x? b ?0

?

?a 2 ? b ? 1 ? 3 ? ∴ ? 2a b ? 2 ? a ? 0 ? ?

?

?

1 ? ?a ? ∴? 8 ? b ? 36 ?
16. (本题满分 13 分) 已知函数 y ? f ?x ? 的图象关于直线 x ? 3 对称, 当 f (?1) ? 320,

? ? ? ? 3 2 15sin 2 x ? ? 且 cos x ? sin x ? 时,试求 f 的值. ? ? ?? 5 ? ? cos? x ? ? ? 4 ?? ? ?

第 7 页 共 8 页

解:由 cosx-sinx=

3 ? 3 2 ,可得 cos(x+ )= 5 4 5
且 sin2x=

7 25



15 sin 2 x =7 ?? ? cos? x ? ? 4? ?

又∵ y ? f ?x ? 是关于 x=3 对称的函数,

? ? ? 15sin 2 x ? ? = f(7) ∴f? ? ?? ? ? x ? ?? ? cos? 4 ?? ? ?
= f(-1) =320?
17.(本题满分 13 分)如图,直角梯形 OABC 中,AO⊥ OC,AB∥OC,

OC ? 2, OS ? OA ? AB ? 1 . SO ? 平面 OABC.以

z S

OC,OA,OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立直角坐 标系 O- xyz .



A B

y

(Ⅰ)求异面直线 SC 与 OB 所成角;


? ? (Ⅱ)设 n ? ?1, p, q ? ,满足 n ? 平面 SBC.求: ? ① n 的坐标;

x

②OA 与平面 SBC 的夹角 ? (用反三角函数表示) ; ③点 O 到平面 SBC 的距离.
解: (Ⅰ).如图: C(2,0,0) ,S(0,0,1) ,O(0,0,0) ,B(1,1,0) , ∴ SC ? ?2,0,?1?

OB ? ?1,1,0?
2 10 ? 5 5? 2

OB ? ? ∴ COS ? SC,

第 8 页 共 8 页

故异面直线 SC 与 OB 所成的角为 arccos

10 . 5
z


(Ⅱ).①∵ SB ? ?1, 1,?1?

CB ? ?? 1,1,0?

? ? ? ? n ? SB 由 n ? 平面 SBC ? ? ? ?n ? CB ? ? ? ? n ? SB ? 0 ? ?? ? ?n ? CB ? 0

O A B C

y

?1 ? p ? q ? 0 ?? ? ?1? p ? 0 ?p ?1 ?? ?q ? 2

x

故 n ? ?1, 1,2? ② (法一)过 O 作 OE⊥BC 于 E,连 SE,则 SE⊥BC , 故 BC⊥面 SOE

?

过 O 作 OH⊥SE 于 H,则 OH⊥面 SBC ∵OE= 2 ∴SE= 3

OH ?

SO ? OE 1? 2 6 ? ? SE 3 3
6 . 3

∴点 O 到平面 SBC 的距离为

(法二) (注:也可以利用法向量 n 求解,相应给分) ③ 延长 CB 与 OA 交于 F,则 OF=2 连 FH,则∠OFH 为所求角 ? 此时 sin ? ?

6 6 6 ?2 ? ,∴ ? = arcsin 为所求. 3 6 6

18. (本题满分 14 分)设 x, y ? R , i , j 为直角坐标平面内 x 轴, y 轴正方向上的单

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? 位向量,若 a ? xi ? ( y ? 2 ) j ,b ? xi ? ( y ? 2 ) j ,且 a ? b ? 8 .

第 9 页 共 8 页

(Ⅰ)求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否

存在这样的直线 l,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,请说明理由.
解: (Ⅰ)(解法一) 由 a ? b ? 8 知点 M(x,y)到两个定点 F1(0.-2) 、 F2(0,2)的距离之和为 8

?

?

∴轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆,它的方程是 (解法二):由题意得 x ? ? y ? 2? ?
2 2

x2 y2 ? ?1 12 16

x 2 ? ? y ? 2?2 ? 8

两次平方得 4 x 2 ? ? y ? 2? 整理得:

?

2

? ? ?8 ? y?

2

x2 y2 ? ?1 12 16

(Ⅱ)∵l 过 y 轴上的点(0,3) , 若 l 是 y 轴时,则 A、B 两点是椭圆的顶点 由 OP ? OA ? OB ? 0 知 P 与 O 重合这与四边形 OAPB 是矩形矛盾, ∴直线 l 是 y 轴不可能 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的的方程是 y=kx+3

? y ? kx ? 3 ? 由题意得 ? x 2 y2 ? ?1 ? ? 12 16

? 4 ? 3k 2 x 2 ? 18kx ? 21 ? 0
此时 ? ? ?18k ? ? 4 4 ? 3k 2 ?? 21? ? 0恒成立
2

?

?

?

?

且 x A ? xB ? ?

18k 21 x ? x ? ? , A B 4 ? 3k 2 4 ? 3k 2

∵ OP ? OA ? OB ,∴四边形 OAPB 是平行四边形. 若存在直线 l,使四边形 OAPB 是矩形,则 OA ? OB,即OA ?OB ? 0 , 有 x A xB ? y A y B ? 0 ∴ 1 ? k 2 x A xB ? 3k ?x A ? xB ? ? 9 ? 0
第 10 页 共 8 页

?

?

∴ 1? k 2 ??

?

??

21 ? 18k ? ? ? 3k ? ? ??9 ? 0 2 ? ? 4 ? 3k ? ? 4 ? 3k 2 ?

∴k ?

2

5 5 ?k ?? 16 4 5 5 存在直线 l: y ? ? 时, ? 3 使四边形 OAPB 是矩形. 4 4

∴当 k ? ?

19.(本题满分 14 分)某基本系统是由四个整流二极管(串,并)联结而成.已知

每个二极管的可靠度为 0.8(即正常工作时).若要求系统的可靠度大于 0.85, 请你设计出二极管的各种可能的联结方案(要求:画出相应的设计图形,并有相 应的计算说明).
解:⑴ 全部并联,可靠度 1- ?0.2? =0.9984>0.85
4



每两个串联后再并联,可靠度 1 ? 1 ? 0.8 2

?

? =0.8704>0.85
2

2 ⑶ 每两个并联后再串联,可靠度 1 ? 0.2

?

? =0.9216>0.85
2

⑷ 三个串联后再与第四个并联,可靠度 1-0.2 1 ? 0.83 =0.9024>0.85

?

?

第 11 页 共 8 页

⑸ 两个串联后再与第三、第四个并联,可靠度 1-0.2 1 ? 0.8 2 =0.9856>0.85

2

?

?

20. (本题满分 14 分)直线 x ? y ? n

?n ? 3, 且n ? N ? 与 x 轴、 y 轴所围成区域内部

(不包括边界)的整点个数为 an ,所围成区域(包括边界)的整点个数为 bn (整 点就是横、纵坐标均为整数的点). (Ⅰ)求 an 及 bn 的表达式; (Ⅱ)对区域内部的 an 个整点用红、黄、蓝三色之一着色,其方法总数为 An , 对所围区域的 bn 个整点,用红、蓝两色之一着色,其方法总数为 Bn ,试比较 An 与 Bn 的大小.

解:Ⅰ.求区域内部(不包括边界)的整点个数 an ,就是求不等式 x+y<n 的正整数解, 当 x=1 时,y=1,2,?,(n-2) ,共 n-2 个值, 当 x=2 时,y=1,2,?,(n-3) ,共 n-3 个值, 依此类推得: an =1+2+?+(n-2)=

?n ? 2??n ? 1? .
2

求区域(包括边界)的整点个数 bn ,就是求不等式 x+y≤n 的非负整数解, 同上得: bn =(n+1)+n+?+2+1+=

?n ? 2??n ? 1?
2

Ⅱ. 对区域内部的 an 个整点中的每一个都有三种着色方法,由乘法原理知:
?n ?1??n ? 2 ?

An ? 3

an

?3
bn

2


?n?1??n?2 ?
2

同理 Bn ? 2

?2
2

?n ?1??n ? 2 ?

?n ?1??n ? 2 ?

?n ?1??n ? 2 ?

⑴ 当 An ? 3 时有

?9

4

?8

4

?2

3?n ?1??n ? 2 ? 4

?n ?1??n ? 2 ?

3 ?n ? 1??n ? 2? ? ?n ? 1??n ? 2? 4 2

? Bn ? 2

2

n 2 ? 15n ? 2 ? 0? 得 ? ? n ? 15 n? N ?
第 12 页 共 8 页

∴n≥14 时, An > Bn

?n ?1??n ? 2 ?
⑵ 当 An ? 3
2

? 3

? ?
5

? n ?1?? n ? 2 ?
10

? 2

? ?
8

? n ?1?? n ? 2 ?
10

?

4 ?n ?1??n ? 2 ? 5 2

?n ?1??n ? 2 ?

? Bn ? 2

2





4 ?n - 1??n ? 2? ? ?n ? 1??n ? 2? 5 2



n 2 ? 13n ? 2 ? 0? ? ? n ? 12 n? N ?

∴n≤12 时, An < Bn . 最后,n=13、14 时,比较 An 与 Bn 的大小 由 A13 ? 366 , B13 ? 2105 有

lg A13 ? 66lg 3 ? 66? 0.4771? 31.4886 lg B13 ? 105lg 2 ? 105? 0.3010? 31.605
所以 n=13 时, An < Bn . 同理,n=14 时, An > Bn 故 3≤n≤13 时, An < Bn .n≥14 时, An > Bn .

第 13 页 共 8 页


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