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河北省广平一中2012届高三下学期数学精英备考模拟试卷(文)


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河北省广平一中 2012 届高三下学期数学精英备考模拟试卷(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第⒂题为选考题,其 他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1 .答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2 .选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3 .请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4 .保持卷面清洁,不折叠,不破损. 5 .做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑. 参考公式: 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.
3 1

球的表面积、体积公式: S ? 4? R 2 、 V ? ? R3 ,其中 R 为球的半径.
3

4

样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 平均数.

s?

1 [( x ? x ) 2 ? ( x ? x ) 2 ? ? ? ( x ? x ) 2 ] 2 n n 1

,其中 x 为样本

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式: b ?

i ?1

? xi yi ? nx ? y
i ?1

n

? xi ? nx
2

n

2

? , a ? y ? bx .

第I卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的
1 2 1.1.已知集合 A ? ?0,, ? ,集合 B ? ?x x ? 2? ,则 A ? B ?

A. ?2?

1 2 B. ?0,, ?

2.已知 i 为虚数单位,则 A. ?i

?2 ? i 的值等于 ( 1 ? 2i
C. ?1
x y

C. ?x x ? 2? )

D. ?

B. 1 ? 2i

D. i

2.定义 A ? B ? {z | z ? xy ? , x ? A, y ? B} .设集合 A ? {0, 2} , B ? {1, 2} 3.如果奇函数 f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 4.如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 A.

y 的最大值是( x



1 2

B.

3 3 C. D. 3 3 2

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开始 输入 n

5.阅读图 1 的程序框图. 若输入 n ? 5 , 则输出 k 的值为. A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 图1

k ?0
=3 k=k+1 否

n ? 3n ? 1

n ? 150 ?
是 输出 k ,n

6.函数 y ? tan( A.6

?

??? ??? ??? ? ? ? ? x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB =( ) 4 2
C. ?4 D. ?6

结束

B.4

7.在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上,两校各派 3 名代 表,校际间轮流发言,对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉,对中国 人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂,那么不同的发言顺序共有( ) 1 A.72 种 B.36 种 C.144 种 D.108 种
2 8.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 (4a ? 3,3 ? 2a ) ,

y

B
O

A

x

且 y ? f (2 x ? 3) 为偶函数,则实数 a 的值为(

) 第 6 题图

A.3 或-1

B.-3 或 1

C.1

D.-1

9. 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。 年某地区农民人均收入为 3150 元 06 (其 中工资源共享性收入为 1800 元,其它收入为 1350 元) ,预计该地区自 07 年起的 5 年内,农 民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长, 其它性收入每年增加 160 元。 根据以上数 据,2011 年该地区人均收入介于 ( ) A.4200 元-4400 元 B.4400 元-4460 元 C.4460 元-4800 元 D.4800 元-5000 元 5 5 10.已知两点 M(1, ) ,N(-4,- ) ,给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3 4 4 ③
x2 x2 ? y 2 =1 ④ ? y 2 =1. 2 2

在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( C.①②③ D.②③④



A.①③

B.②④

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的, 只计算前一题得分.每小题 5 分,满分 20 分.

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.

1 11.若关于 x 的方程 x- + k=0 在 x∈(0,1)没有实数根,则 k 的取值范围为 x 12、从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中,有放 回地随机抽取 2 个球,则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等 于 . 13.如图是一建筑物的三视图(单位:米) ,现需将其外壁用油漆刷一遍, 若每平方米用漆 ? 千克,则共需油漆的总量为 千克 14.给出下列四个结论: ①“若 am2 ? bm2 , 则 a ? b ”的逆命题为真; ②若 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值,则 f ?( x0 ) ? 0 ; ③函数 f ( x) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点;

) ④ 对 于 任 意 实 数 x , 有 f (? x) ? ? f ( x) , g?( x ?
15.(不等式选讲选做题)不等式 | x2 ? 3x ? 4 |? x ? 1 的解集是

g ( x x>0 且 ) ,
.

时, f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0, 则 x<0 时 f ?( x) ? g ?( x). 其中正确结论的序号是

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ? ?

?? ? , ? ,求函数 f (x) 的零点. ?2 ? ?

17.(本小题满分 12 分) 甲乙两人连续 6 年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的 信息,分别得到甲、乙两图:

甲调查表明:每个鱼池平均产量从第 1 年 1 万只鳗鱼上升到第 6 年 2 万只。 乙调查表明:全县鱼池总个数由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个。 请你根据提供的信息说明: (Ⅰ)第 2 年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数。 (Ⅱ)到第 6 年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第 1 年扩大了还是缩小了?说明理 由。 (Ⅲ)哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由。

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18.如图(1) ?ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 , E 、 F 分别为 AC 、 AB 的中 , 点,将 ?AEF 沿 EF 折起,使 A? 在平面 BCEF 上的射影 O 恰为 EC 的中点,得到图(2) . (Ⅰ)求证: EF ? A?C ; (Ⅱ)求三棱锥 F ? A?BC 的体积.
C
B A?

C
E F E

B

O

F

A

图(1)

图(2)

19. ( 本 题 满 分 12 分 ) 公 差 大 于 零 的 等 差 数 列 {an } 的 前 项 和 为 Sn , 且 满 足

a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; S (2)若 bn ? n ,且数列 {bn } 是等差数列,求非零常数的值; n?c bn (3)在(2)的条件下,求 f (n) ? (n ? N *) 的最大值。 (n ? 36)bn ?1
20. (本题满分 13 分) 已知圆 C: x2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 y 轴的直线 m,设 m 与 x 轴的交点为 N,若向量
???? ???? ???? ? OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程.

(3) 若点 R(1,0),在(2)的条件下,求 RQ 的最小值. 21. (本小题满分 14 分, ) 已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? x 2 | x ? a | . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求使 f ( x ) ? x 成立的 x 的集合;
2] (Ⅱ)求函数 y ? f ( x ) 在区间 [1, 上的最小值.

??? ?

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参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 D 5 B 6 A 7 A 8 D 9 C 10 D

2.D 提示:

?2 ? i ? ?2 ? i ? ? ?1 ? 2i ? = ?i 1 ? 2i ?1 ? 2i ? ? ?1 ? 2i ?

3.C 奇函数 f(x)在区间[-7,-3]也是单调递增, f ( x)max ? f (?3) ? ? f (3) ? ?5
y 2 2 视为圆( x -2) +y =3 上点到原点连线的斜率. x 5.B 提示:(1) k ? 0, n ? 16,k= 1 ;(2) k ? 1, n ? 49, k ? 2 ;依次进行便可.

4.D 提示:数形结合法,

6. A 提示:由 y ? tan( x ? ) ? 1 ,得 B (3,1) ,由 y ? tan( x ? ) ? 0 ,得 A(2,0) ,由向量数 4 2 4 2 量积运算便可得. 7.A 提示: 2 A33 8.D 解析:由题知, 4a ? 3 ? 3 ? 2a 2 ,即 ? 3 ? a ? 1,又 y ? f (2 x ? 3) 为偶函数,则

?

?

?

?

4a ? 3 ? 2 x ? 3 ? 3 ? 2a 2,即2a<x<3-a2 .所以 -2a =3-a2 .? a ? ?1或3 ,故选 D.
1 2 9.解析: 2011 年农民工次性人均收入为: 1800(1 ? 0.06)5 ? 1800(1 ? C5 ? 0.06 ? C5 ? 0.062

? 1800(1 ? 0.3 ? 0.036) ? 1800 ?1.336 ? 2405

又 2011 年 农 民 其 它 人 均 收 入 为

1350+160 ? 5 =2150 故 2011 年农民人均总收入约为 2405+2150=4555(元) 。故选 C. 10.解析:P 满足|MP|=|NP|即 P 是 MN 的中垂线上的点,P 点存在即中垂线与曲线有交点。 MN 的中垂线方程为 2x+y+3=0,与中垂线有交点的曲线才存在点 P 满足|MP|=|NP|,直线 4x+2y-1=0 与 2x+y+3=0 平行,故排除 A、C,
?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 又由 ? x 2 ? △=0,有唯一交点 P 满足|MP|=|NP|,故选 D. ? y2 ? 1 ? ? 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在题中横线上) 11. k<0 12.
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5 8

13. 24 π + 39

14. ④

15.

?x| x ? 5或x ? ?1或?1 ? x ? 3 }

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m 14. 解析: 2 ? 0 , 可知①错;f ( x) ? x , x0 ? 0 , f ?( x0 ) 不存在, 则 可知②错; 由单位圆知 sin x ? x

故 只 有 一 个 交 点 , 故 ③ 错 。 由 奇 函 数 的 增 减 性 一 致 , 偶 函 数 的 增 减 性 相 反 , 知 x<0 时 f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 ,故④正确。 15.解:原不等式等价于

? x 2 ? 3x ? 4 ≥ 0 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? ? ? x ≥ 4或x ≤ ?1 ??1 ? x ? 4 (Ⅰ) ? 2 或(Ⅱ) ? ?? 或? x ? 3x ? 4 ? x ? 1 ?( x 2 ? 3x ? 4) ? x ? 1 ? x ? 5或x ? ?1 ??1 ? x ? 3 ? ? ? ?
? x ? 5或x ? ?1或 ? 1 ? x ? 3
∴原不等式的解集为 ?x | x ? 5或x ? ?1或 ?1 ? x ? 3} .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 16.解: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ? 故T ? ? (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 , 2 cos( 又? x ? ?

?
4

) --------4 分

------------------5 分

?
4

? 2 x) =0,

?? ? ,? ?2 ? ?

----------------7 分

5? ? 9? ? 3? ? ? 2x ? ? ? 2x ? ------------------9 分 4 4 4 4 2 5? 5? 故x? 函数 f (x) 的零点是 x ? ---------------12 分 8 8 ?
17.解:由题意可知,图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点, 从而求得其解析式为 y 甲=0.2x+0.8-------------------2 分 图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点, 从而求得其解析式为 y 乙=-4x+34.------------------------- 3 分 (Ⅰ)当 x=2 时,y 甲=0.2× 2+0.8 =1.2,y 乙= -4× 2+34=26, y 甲· 乙=1.2× y 26=31.2. 所以第 2 年鱼池有 26 个,全县出产的鳗鱼总数为 31.2 万只.-----------5 分 (Ⅱ)第 1 年出产鱼 1× 30=30(万只), 第 6 年出产鱼 2× 10=20(万只),可见,第 6 年这 个县的鳗鱼养殖业规划比第 1 年缩小了--------------------------7 分 (Ⅲ)设当第 m 年时的规模总出产量为 n, 那么 n=y 甲· 乙=(0.2m+0.8) (-4m+34)= -0. 8m2+3.6m+27.2 y =-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25------------------10 分 因此, .当 m=2 时,n 最大值=31.2. 即当第 2 年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为 31.2 万只. -----------12 分 18. (Ⅰ)证法一:在 ?ABC 中, EF 是等腰直角 ?ABC 的中位线,
? EF ? AC

--------1 分

在四棱锥 A? ? BCEF 中, EF ? A?E , EF ? EC ,

?EF ? 平面 A?EC ,

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-------6 分

又 A?C ? 平面 A?EC , ? EF ? A?C 证法二:同证法一 EF ? EC

? A?O ? EF
? EF ? 平面 A?EC ,
又 A?C ? 平面 A?EC , ? EF ? A?C (Ⅱ)在直角梯形 EFBC 中 , -------6 分

1 EC ? 2, BC ? 4 , ? S ?FBC = BC ? EC ? 4 2
又? A?O 垂直平分 EC ,? A?O ? A?E 2 ? EO2 ? 3 ------10 分

? 三棱锥 F ? A?BC 的体积为:
1 1 4 3 -------12 分 VF ? A?BC ? VA?? FBC ? S ?FBC ? A?O ? ? 4 ? 3 ? 3 3 3 19. (1) 解: 由题知 a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22 , 3 ? a4 ? 117 , 所以, 3 ? 9, a4 ? 13 或 a3 ? 13, a4 ? 9 , a a d ? ?4 ,又因为 d ? 0 ,所以 d ? 4 ,因此 an ? 4n ? 3 ----------4 分 所以公差

S n(2n ? 1) n(1 ? 4n ? 3) ,由 {bn } 是等差数列得, ? n(2n ? 1) ,所以 bn ? n ? n ? c 2(n ? c) 2 1 2b2 ? b1 ? b3 ,所以 c ? (其中 c ? 0 舍去)----------8 分 2 2n n 1 1 1 (3)由(2)知 bn ? 2n , f (n) ? ? ? ? ? (n ? 36)(2n ? 2) (n ? 36)(n ? 1) n ? 36 ? 37 12 ? 37 49 n 36 1 当且仅当 n ? 时,即 n ? 6 时取得等号。 f (n) max ? n 49
(2) Sn ? 20.解: (1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点坐标为
(1, 3) 和 (1, ? 3) ,其距离为 2 3 ,满足题意

-----------1 分

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 ----------2 分 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 ,?1 ?
?k ? 2 k ?1
2

,k ?

3 , 4

故所求直线方程为 3x-4y+5=0 综上所述,所求直线为 3x-4y+5=0 或 x=1 ----------------5 分 (2)设点 M 的坐标为(x0,y0),Q 点坐标为(x,y)则 N 点坐标是(x0, 0) ???? ???? ???? ? x ? O Q? O M O,∴ ( x, y ) ? (2 x0 , y0 ) 即 x0 ? , y0 ? y ? N 2
2 2 又? x0 ? y0 ? 4,?

x2 ? y2 ? 4 4 x2 ? y 2 ? 4 ( x ? 0) 4

-------------8 分

由已知,直线 m //y 轴,所以, x ? 0 , ∴ Q 点的轨迹方程是? ----------9 分

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??? 2 ? ??? ? (3)设 Q 坐标为(x,y), RQ ? ( x ? 1, y) , RQ ? ( x ? 1)2 ? y 2 ,-------------10 分



x2 ? y2 ? 4 4

(x ? 0 ) 可得:

4 44 3( x ? ) 2 ? ??? 2 ? y2 3 3 ? 11 -------------12 分 2 = RQ ? ( x ? 1) ? 4 ? 4 3 4
? x ? [?4, 0) ? (0, 4] , ? x ?
??? ? 33 4 时, RQ 取到最小值 -------------13 分 3 3

21.解: (Ⅰ)由题意, f ( x ) ? x 2 x ? 2 . 当 x ? 2 时, f ( x ) ? x 2 (2 ? x ) ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 1 ; 当 x ? 2 时, f ( x ) ? x 2 ( x ? 2) ? x ,解得 x ? 1 ? 2 .
1 1 综上,所求解集为 0,, ? 2 .------------5 分

?

?

(Ⅱ)设此最小值为 m .
2] ①当 a ? 1 时,在区间 [1, 上, f ( x ) ? x 3 ? ax 2

因为

2 2 f ?( x )? 3x ? 2a x 3 x( ? ? x 3

2) 2] a?, 0 ? (1, ,则 f ( x ) 在区间 [1, 上是增函数, ) x

所以 m ? f (1) ? 1 ? a .------------7 分
2] ②当 1 ? a ? 2 时,在区间 [1, 上, f ( x ) ? x 2 ( x ? a) ? 0 ,由 f ( a ) ? 0 知 m ? f ( a ) ? 0 ---8 分

2 2] ③当 a ? 2 时,在区间 [1, 上, f ( x ) ? ax 2 ? x 3 . f ?( x ) ? 2ax ? 3x 2 ? 3x( a ? x ) . 3
2) 2] 若 a ? 3 ,在区间 (1, 内 f ?( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 为区间 [1, 上的增函数,

由此得

m ? f( 1 )? a ? .若 2 ? a ? 3 ,则 1 ? 1

2 a?2. 3

2 2 当 1 ? x ? a 时, f ?( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 为区间 [1, a] 上的增函数; 3 3 2 2 当 a ? x ? 2 时, f ?( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 为区间 [ a, 上的减函数. 2] 3 3
因此,当 2 ? a ? 3 时, m ? f (1) ? a ? 1 或 m ? f (2) ? 4( a ? 2) .

7 当 2 ? a ? 时, 4( a ? 2) ? a ? 1 ,故 m ? f (2) ? 4( a ? 2) ; 3 7 当 ? a ? 3 时, a ? 1 ? 4( a ? 2) ,故 m ? f (1) ? a ? 1 .------------13 分 3
综上所述,所求函数的最小值
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?1 ? a , ? ?0, ? m ? ? 4( a ? 2), ? ? ? a ? 1, ?

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当a ? 1时;

当1 ? a ? 2时; 7 当2 ? a ? 时; ------------14 分 3 7 当a ? 时. 3

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