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湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学(理)试题 Word版含答案


麻城实验高中 2015 届高三起点考试
数 学 试 卷(理 科)
一、选择题: 1 . i 为虚数单位, z ? A. 2-i 2.若二项式

5i , 则 z 的共轭复数为 1 ? 2i
B. 2+i C. -2-i

(

) D. -2+i )

2x +

>B.

a x
1 2

8

的展开式中的常数项为 70,则实数 a 可以为(

A.2

C.

2

D.

2 2
开始

3.若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是 ( A. 3 C. 5 B. 4 D. 6
2 2

)
p=1,n=1

n=n+1 p=p+2n?1 否

4. .直线 l:y 与圆 Ox 相交于 A , B 两点,则 "k ?1 "是“△ ? k x ? 1 : ? y? 1 ABO 的面积为

1 ”的( ) 2 A . 充分而不必要条件 C . 充分必要条件

p>20 ?

B . 必要而不充分条件 D . 既不充分又不必要条件

是 输出 n 结束

5. 已知函数 y = 2 sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ,则 b-a 的值不可 能是( A. )

(第 3 题图)

5? 6

B.π

C.

7? 6

D. 2π

? x? y?2?0 ? 6.若 x , y 满足 ? k x ? y ? 2 ? 0 且 z?y 的最小值为-2,则 k 的值为( ? x ? y?0 ?
A. 1 B.-1 C. 2 D. --2



,1 , 2 ,若 7.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A?2,0,0? , B?2,2,0? , C?0,2,0? , D 1

?

?

S 1 , S 2 , S 3 分别表示三棱锥 D 在 xO y , yO z , zOx 坐标平面上的正投影图形的 ? A B C
面积,则( A ) B

S S S 1? 2? 3

S1 ? S2 且 S3 ? S1

C

S1 ? S3 且 S3 ? S2

D

S2 ? S3 且 S1 ? S3
2

x2 y2 x2 y2 8.已知 a ? b ,椭圆 C 1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,双曲线 C 2 的方程为 2 ? 2 ? 1 , C 1 与 C a b a b
的离心率之积为

3 2

,则 C 2 的渐近线方程为( B.

) C. x? 2 y? 0 的夹角为 ) D. 2 x?y? 0 π 3 ,若对一切实数 x ,

y?0 A . x? 2
9. 已知向量 ≥

2 x?y?0
a =1, a 与 b

a , b 满足
恒成立,则

xa + 2b

a+ b

b 的取值范围是(

A.

1 ,∞ 2

B.

1 ,∞ 2

C.

1, ∞

D.

1, ∞

10.已知 f , x?? ( x )l ?? n ( 1 x ) ?? l n ( 1 x ) (1 ,1 )。现有下列命题: ①f ( ? x ) ? ? f () x;② f ( 号是( A.① ② ③ 二、填空题: (一)必考题(11—14 题) ) B.② ③ C.① ③ D.① ②

2 x ) ?2f (x );③| f( x ) | ? 2 |x |。其中的所有正确命题的序 x? 1
2

? 1 ? x ? 2 ? 5 11..不等式 x 的解集为
12.

.

1 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 单调递减, f ?2? ? 0 .若 f ?x? ??0,则 x 的取值集合
是__________.
2 2 x y 1 1 ( a? b? 0 )相交于 A,B,若 M 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? a b 2

13.过点 M(1 ,1) 作斜率为 ?

是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为 14. 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ( x ) 组成的集合: 对于函数 ? ( x ) ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x ) 的值域包含于区间 [? MM , ]。例如, 当? 时, ? ( x )? s i n x )?A, ? )?B。现有如下命题: ) ? x3, ? 2 1(x 2(x 1(x

b?R, ? a?D, ①设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 D , 则 “ f (x )? A” 的 充 要 条 件 是 “ ? f (a ) ?b”; ② 函数 f (x )? B的充要条件是 f ( x ) 有最大值和最小值; ③ 若函数 f ( x ) , g ( x ) 的定义域相同,且 f (x ,g )? A (x )? B,则 f () x ? g () x ? B
④ 若函数

x f( x ) ? a l n ( x ? 2 ) ?2 2, a ? R )有最大值,则 f (x ( x ?? )? B。 x? 1

其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的序号)

(二)选考题(第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)已知 AB,BC 是圆 O 的两条弦, AO ? BC,AB=

3 ,

BC= 2 2 ,则圆 O 的半径等于________。 16 . ( 选修 4-4 :坐标系与参数方程 )已知曲线 C 1 的参数方程是

?x ? ? ? ?y ? ?

t

?,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 t为参数 3t ? 3

极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C 1 与 C 2 交点的直角坐标为________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ΔABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 已 知

2 a? b c o s ( A ?C ) ? c c o s C
(1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使 ΔABC 面积最大时,a,b 的值。

18. (本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 { a n } 满足: S n 为数列 { a n } 的前 n 项和, 且 2, a n , S n 成等差数列. (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2) 若 a n ? ( )
2

1 2

bn

,cn ?

bn an

求数列 { c n } 的前 n 项和.

19. (本小题满分 12 分)如图, ? 两点分别是线 A B C中, ? B ? 9 0 , A B ? 2 , B C ? 1 , D 、 E

B 、 A C 的中点,现将 ? A B C沿 DE 折成直二面角 AD 段A ? EB ?。

A D C ? 面 A B E (1) 求证: 面 ;
A

(2) 求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值。 A

D

E D C

E C

B

B

20. (本小题满分 12 分)某省进行高考改革,外语实行等级考试,其他学科分值如下表: 科目 分值 语文 180 数学 150 科目 A 120 科目 B 100 科目 C 100 科目 D 100

(1) 有老师建议语文放在首场,数学与科目 A 不相邻,按这位老师的建议安排考试,前三科 总分不小于 400 的概率为多少? (2) 若前三场科目中要安排语文,求前三场考试总分 ξ 的分布列及期望值。

21. (本小题满分 13 分) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )的离心率为 2 2 a b

3 2

, F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(1) 求 E 的方程; (2) 设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P , Q 两点,当 ?OPQ的面积最大时,求 l 的方程.

22. (本小题满分 14 分)已知函数 (1)若 (2)讨论 f (x) f(x)

f (x) = ln( 1 + 2x ) +

ax

(a<0)

在 x =0 处取极值,求 a 的值, 的单调性,

(3)证明

1+

1 3

1+

1 9

?

1+

1

3

n

<

e

,

( e 为自然对数的底数, n∈N? )

湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度上学期新高三起点考试

数 学 试 卷(理 科)答案
题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7 D 8 A 9 C 10 A

11. ( —∞ , —3] U [ 2, + ∞ ) 13.

12. ( -- 1 , 3 ) 14. (1)(3)(4)

15.

2 2 3 2

16。(

3,1)

17.解:(Ⅰ )

c o s ( A ? C ) ?? c o s (B )c ? ? o s B

?

2 s i n A ? s i n B? c o s B ? s i n C c o s C 即 2 s i n A c o s C ? ? ( s i n B c o s C ? c o s B s i n C ) ? ? s i n ( B ? C ) ? ? s i n A 1 cosC ?? A ? ( 0 , ? ) ? s i n A ? 0从而 2 2? 又 C …………………6 分 ? ( 0 , ? ) ?C? 3 2 2 2 (Ⅱ ) 由余弦定理 c ? ab ? ? 2 a bC c o s 1 2 2 2 2 ? a ? b ? a b ?? 4a ? b ? 2 a b ? ( ?) 即 4 2 2 2 ? 4 ? a ? b ? a b ? 2 a b ? a b ? 3 a b 4 (当且仅当 a ? b 时成立) ?4? 3 a b , a b? 3 1 3 S b s i n C ? a b A B C? a 2 4 3 2 3 ΔABC 面积最大为 ,此时 a ? b = ? 当 a ? b 时 3 3 2 3 3 故当 a ? b = 时,ΔABC 的面积最大为 . 3 3
由题意及正弦定理 ? 18. .解:(1) ∵2an=Sn+2 ∴N=1 ,a1=2 n ≥ 2,an=Sn- Sn-1 ∴ an=2an-1(n≥2) ∴ 通项公式为 an ? 2 .
n

…………………6 分

19. 解:(Ⅰ ) 由 ?? 两点分别是线段 A 的中点, B 、 A C B9 0 ,D 、 E 得D , E / / B C ? D E ? A D , D E ? B D 。 2 ? A D ? 面 B C D , 又 B E ? 面 B C D , ? A D ? B E 为二面角 AD ? ? A D B ? EB ? 平面角, ?ADB ?

?

2 1 B D B C 又B D ? , D EB ? ,C ? 1 , 即 ?? ,? B D E ? D B C 2 2 D E B D ? ? E B D ? ? D C B , ? B E ? D C ?? B E面 A D C , 又 B E ? 面 A B E , ? 面 A B E ? 面 A D C ……………7 分 (Ⅱ ) 连结 BE 交 CD 于 H,连结 AH 过点 D 作 D 于 O。 O ? A H A D ?? B E , B E D H ? B E ? 面 A D H A D O ? 面 A D H , ? B E ? D O ,

又 D O ? A H , ? D O ? 面 A B E D A O为 AD 与平面 ABE 所成角。 所以 ? 2 1 B D ? D E 6 R t? B D E 中, B D ? , D E ? ?? D H ? , 2 2 B E 6 D H 6 3 R t? A D H 中, t a n ? D A O ? ? ?2 ? . D A 6 3 3 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值为 。 3

O D H B ……………13 分

E C

20.(1) P=1—

24 72

=

2 3

(2) ξ 可能值为 380,400,430,450, ξ 的分布列为 ξ P E( ξ )=408 21. 解:(Ⅰ ) 显然 F 是椭圆的右焦点,设 F(c,0) 由题意 KAF ? 380 0.3 400 0.3 430 0.3 450 0.1

2 2 3 ? c 3

? c? 3

又离心率

c 3 ? a 2

2 2 b ?a ? c ? 1 ? a?2 ,?

故椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

…………. …………4 分

(Ⅱ ) 由题意知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,方程为 y?k x? 2

? x2 2 ? ? y ? 1 ,化简得: 22 联立直线与椭圆方程: ? 4 ( 1 ? 4 k ) x ? 1 6 k x ? 1 2 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
2 2 3 ? ? 1 6 ( 4 k ?? 3 )0 , ?? k 4 1 6 k 1 2 ( xy ,1 ) , Q ( xy ,2 ) ,则 x ? x ? ,xx? 设P 1 2 1 2 2 1 2 2 14 ? k 14 ? k
2 2 ? P Q = 1 ? kx ? x = 1 ? k 1 2 2 4 4 k ? 3 2 1 + 4 k

坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

2 k 2 ?1

2 2 1 1 24 4 k ? 32 4 4 k ? 3 ?? S l d ? 1 ? k ? ? O P Q 2 2 2 2 2 1 + 4 k k + 4 k ? 11
2 令 t? 4 ,则 S?OPQ ? k ? 3 ( t? 0 )

4t 4 ? t ?4 t ? 4 t
2

t?

4 4 即 t ? 2 时等号成立)? S 1 ? 4 (当且仅当 t ? ? O P Q? t t

故当 t ? 2 即

4 k2 ? 3?2, k ? ?
7 x ?2 2

7 时 ?OPQ的面积最大 2
.…………. …………13 分

从而直线 l 的方程为 y ? ?


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