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高中数学必修五同步练习 1.1.3 正、余弦定理的综合应用


高中数学必修五同步练习

1.1.3 正、余弦定理的综合应用
一、选择题 1.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是 A.





? 5? 2? ? B. C. D. 6 3 6 3 2.在 ?ABC 中,a

,b ,c 分别为角 A , B , C 的对边,如果 c ? 3a , B ? 30 ,那么角 C
等于 A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 ( )

1 3. ?ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 ,则其外接圆的半径为( 3
A.

)

9 2 2

B.

9 2 4

C.

9 2 8

D. 9 2

4.在 ?ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ?
A. ?

1 5

B. ?

1 6

C. ?

1 7

13 ,则最大角的余弦是 14 1 D. ? 8





5. 在 ?ABC 中,? A 满足条件 3 sin A ? cos A ? 1, AB ? 2cm, BC ? 2 3cm ,?ABC 的面积等于
A. 3 B. 2 3
2


C. 3 D.



3 2

6.在 ?ABC 中, sin 为 A.正三角形 C.等腰直角三角形 二、填空题

A c ?b ? ( a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边),则 ?ABC 的形状 2 2c
( B.直角三角形 D.等腰三角形 )

2 7.已知在 ?ABC 中, A ? 600 ,最大边和最小边的长是方程 3x ? 27x ? 32 ? 0 的

两实根,那么 BC 边长等于________.
8.已知锐角 ?ABC 的三边 a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边,且 (b ? c ? a ) tan A
2 2 2

? 3bc ,则角 A 的大小_________.
三、解答题 9.在 ?ABC 中,a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边,且满足 (2a ? c)cos B ? b cos C .

(1)求角 B 的大小;

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(2)若 b ? 7 , a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

10.在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边,已知 cos 2C ? ? (1)求 sin C 的值; (2)当 a ? 2 , 2sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长.

1 . 4

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1.1.3 正、余弦定理的综合应用 一、选择题 1.C 2.A 3.C 4.C 二、填空题 7. 7
三、解答题 9. 解:(1)由正弦定理得

5.C

6.B

8. 60

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入(2a-c)cosB=bcosC, 整理,得 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB, 即 2sinAcosB=sin(B+C)=sinA. 又 sinA>0,∴2cosB=1, π 由 B∈(0,π),得 B=3. (2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2ac· cosB =(a+c)2-2ac-2accosB. π 将 b= 7,a+c=4,B=3代入整理,得 ac=3.
∴△ABC 的面积为 S= acsinB= sin60° =
2

1 2

3 2

3 3 4 .

10. 解:(1)因为 cos2C=1-2sin C=- ,

1 4

10 所以 sinC=± 4 , 10 又 0<C<π,所以 sinC= 4 . a c (2)当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理sinA=sinC,得 c=4. 1 6 由 cos2C=2cos2C-1=-4,且 0<C<π 得 cosC=± 4 . 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6b-12=0, 解得 b= 6或 2 6, ?b= 6, ?b=2 6, 所以? 或? ?c=4, ?c=4.


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