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河南省2014年高中数学优质课:等差数列前n项和 作课课件


数列的前n项和的定义

世界七大奇迹之一——印度泰姬陵 你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗?

问题1:
传说泰姬陵 陵寝中有一个三角形图案,以相同大 小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见示意图),奢 靡之程度可见一斑。你知道这个图案一共花了多少

颗圆宝石吗?

即: 1+2+3+· · · · · · +100=?

看看高斯的

(1+100)+(2+99)+ …+(50+51) =101×50=5050
?

?

高斯的思路有什么特点? 适合哪种类型?
特点:首尾配对(变不同数求和为相同 数求和,变加法为乘法) 类型:偶数个数相加

探索与发现1:第1层到21层一共有多少颗圆宝石?

高斯的办法行吗?如何改进? S21=1 S21 =21 + 2 + + 3 19 + +


+ +

21 1

+ 20



21个22 2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1)

探索与发现2:第5层到12层一共有多少颗圆宝石?

S8=5+6+7+8+9+10+11+12 S8=12+11+10+9+8+7+6+5

总结一下这种方法特点?可以叫什么法呢?

倒序相加法

问题2:等差数列1,2,3,…,n, …的前n项和怎么求?
n可能是奇数也可能是偶数,怎么避免讨论?
利用倒序相加法

sn=1
sn=n

+

2

+ +

… …

+ +

n-1 2

+ +

n 1

+ n-1

2sn =(n+1) + (n+1)

+…

+ (n+1) + (n+1)

n个

问题3: 对于一般等差数列{an},首项为a1公差为d,如何推导 它的前n项和公式Sn呢?

上式相加得: 由等差数列性质可知:

?2Sn ? ? a1 ? an ? ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ?
n ? a1 ? an ? ? Sn ? 2
n个

? (a1 ? an )

又 an ? a1 ? ? n ?1? d

n ? n ? 1? ? Sn ? na1 ? d 2

等差数列前n项和公式
n ? a1 ? an ? Sn ? 2
(公式一)

n ? n ? 1? Sn ? na1 ? d(公式二) 2
一、两个公式的相同的是a1和n,不同的是:公

式一中有an,公式二中有d 。 若a1,d, n, an中已 知三个量就可以求出Sn 。
二、 a1,d, n, an,Sn五个量可“知三求二”。

探索与发现3: 等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系呢?
公式一:如何类比梯形面积公式来记忆?

n ? a1 ? an ? Sn ? 2

a1

n

an

公式二:如何类比梯形面积公式来记忆?

n ? n ? 1? Sn ? na1 ? d 2

a1

n
a1
(n ? 1)d

分割成一个平行四 边形和一个三角形

公式应用
根据下列各题中的条件,求相应的 等差数列{an}的Sn : (1)a1=5,an=95,n=10 (2)a1=100,d=-2,n=50

10 ? (5 ? 95) ? 500 n(a1 ? an ) ? 解: ?1? Sn ? 2 2 n(n ? 1) 解: d ? 2 ? Sn ? na1 ? 2 50 ? (50 ? 1) ? 50 ? 100 ? ? ? -2 ? ? 2550 2

例题讲解

例1.2000年11月14日教育部下发了<<关 于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001年起用10年时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网. 据测算,2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计 划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那 么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通” 工程中的总投入是多少?

解答过程

解:设从2001年起第n年投入的资金 为an,根据题意,数列{an}是一个等差
数列,其中 a1=500, d=50

答: 从2001年起的未来10年内,该市在 “校校通”工程中的总投入是7250万元。

例题讲解

例2、已知一个等差数列{an} 的前10项的和是310,前20项 的和是1220,由这些条件可以 确定这个等差数列的前n项和 的公式吗?

例题讲解
用公式一做做

方法2
用公式二做做

反馈达标
练习1. 在等差数列{an}中, a1=20, an=54, sn =999,求n。

归纳总结 收获分享
1.倒序相加法求和的思想及应用
2.等差数列前n项和公式的推导过程
n ? a1 ? an ? 3.公式 Sn ? 2

n ? n ? 1? Sn ? na1 ? d 2

4.前n项和公式的灵活应用及方程的思想 5 . .…………………………

课后作业
一、书面作业: 1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1 及s n。 2.在a,b之间插入10个数,使它们同这两个数成 等差数列,求这10个数的和。

二、课后思考: 等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法 还有没有其它方法呢?


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