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平面向量在几何中的应用教学设计


2.4.1

向量在平面几何中的应用 教学设计 年庭波(高三数学组)

一、教学目标
1.知识与技能: 运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何中直线或线段的平行、垂直、相等、 夹角和距离等问题 2.过程与方法: 通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法 3.情感、态度与价值观: 通过本节的学习, 让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用, 增强学生的积极主动的探究意识, 培养创新精神。

二、教学重点难点
重点:理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. 难点:选择适当的方法,将几何问题转化为向量问题加以解决.

三、教学方法
本小节主要是例题教学,要让学生体会思路的形成过程,体会数学思想方法的应用。教学中,创设问题情境, 引导学生发现解题方法,展示思路的形成过程,总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思,从而提高学生综合应 用知识分析和解决问题的能力。

四、教学内容安排: 教学 教学内容 环节
复 课前复习任务 (由学生总结成书面材 料) (1)向量的线性运算是怎样的? (2)平面向量共线的含义及条件是 什么? (3)平面向量的基本定理及向量的 坐标运算有哪些? (4)平面向量的数量积中有哪些主 要内容?

师生互动
讨论: ( 1 ) 若 O 为 ?ABC 重 心 , 则 ??? ? ??? ? ???? ? OA + OB + OC = 0 ( 2 ) 水 渠 横 断 面 是 四 边 形 ???? 1 ??? ???? ??? ? ? ABCD , DC = AB , 且 | AD |= | BC |, 2 则这个四边形为等腰梯形.类比几何元 素之间的关系,你会想到向量运算之间 都有什么关系? 讨论(让学生回顾学过的知识,有利于 本课的顺利进行) : (1)向量运算与几

设计意图
让学 生回顾学过 的知 识有力于本节课的进行





备 平移、全等、相似、长度、夹角等几 何性质可以由向量线性运算及数量 积表示出来: 例如,向量数量积对 应着几何中的长度.例如: 平行四边 ??? ? ? ???? ? 行 ABCD 中,设 AB = a , AD = b , ??? ? ??? ? ??? ? ? ? 则 AC ? AB ? BC ? a ? b (平移) , ??? ? ??? ? ???? ? ? DB ? AB ? AD ? a ? b , 让学 生掌握用向 量方 法解平面几何问题的步骤: ? ? ? ? 何中的结论"若 a ? b ,则 | a |?| b | ,且 建立平面几何与向量的联 ? ? 系, 用向量表示问题中涉及 a, b 所在直线平行或重合"相类比,你 的几何元素, 将平面几何问 有什么体会?(2)由学生举出几个具 题转化为向量. 有线性运算的几何实例. (3) 向量平行、 通过向量运算研究几何运 垂直的判定方法 算之间的关系,如距离、夹 角等. 把运算结果"翻译"成几 何关系.







???? 2 ? 2 ???? 2 .向量 AD ? b ?| AD | (长度) ???? ??? ? AD , AB 的夹角为 ?DAB



例 1: ,已知平行四边形 ABCD 中,E、 问题 1 证明 AECF 是平行四边形的方 F 在对角线 BD 上, 并且 BE=FD, 求证 法有什么? AECF 是平行四边形。 学生思考,回答 问题 2 选择合适的方法,问如何转化 小结:本题的关键选择适当的基底, 为向量条件表示? 把四边形 AECF 的一组对边表示出来 学生思考,回答,完成证明(选一名学 生板书) 问题 3 由学生总结解题方法 例 2:求证平行四边形对角线互相平 分. 问题 4 如何证明? 学生思考,回答 老师点评学生思路:要证明两条对角线 互 相 平 分 , 可 以 证 明

通过分步设问, 引导学 生展开思维过程, 让学生体 会分析、解决问题的方法


小结: 法一注重向量的坐标运算和解



??? ? 析法的运用:法二选取基底 AB 和 ???? AD ,设未知数,列向量方程,解方

程组的待定系数得结论, 体现了方程 思想的运用。

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? , 或 AM ? MC, BM ? MD ???? ? 1 ???? ???? ? 1 ??? ? AM ? AC , BM ? BD 。前一种方 2 2







法可以建立平面直角坐标系, 将向量用 坐标表示后即可; 后一种方法就是课本 提供的方法。 师生共同讨论交流,由教师给出证明过 程 例 3:已知正方形 ABCD(图 2-57) , 问题 5 如何证明?能否用坐标法完 P 为 对 角 线 AC 上 任 意 一 点 , 成?学生思考,回答 PE ? AB 于点 E, PF ? BC 于点 老师点评学生思路:要证明 两条直线(段)互相垂直,可以证明两 F,连接 DP,EF。求证 DP ? EF。 向量数量积为 0。将向量用坐标表示后 进行向量的数量积运算即可。 师生共同讨论交流, 由教师指导学 小结: 结合图形特点, 选定正交基底, 生给出证明过程 用坐标表示向量进行运算解决几何 问题,体现几何问题代数化的特点, 数形结合的数学思想体现的淋漓尽 致。 向量作为桥梁工具使得运算简练 标致, 又体现了数学的美。 有关长方 形、正方形、直角三角形等平行、垂 直等问题常用此法。 练习 1. 求证:平行四边形两条对 由向量的数量积的性质, 线段的长的平 角线的平方和等于四条边的平方和. 方可看做相应向量自身的内积

本题 所用方法比 较特 殊,学生不易想到,教师在 分析学生提供的思路的基 础上,点出方法,又不直接 说怎么做, 引导学生再去探 索, 让学生体验思路的形成 过程,学会分析问题的方 法。

本题用坐标法。 用向量 坐标法证明比较简单, 可见 选定方法是关键, 学生可从 中体会,形成思维习惯。

进一步巩固所学知识, 归纳 方法

堂 练习 2。在平行四边形 ABCD 中, 猜想:AR 、 RT 、TC 之间的关系? 点 E、F 分别是 AD 、 DC 边的中点, 利用平面向量基本定理以及向量的运 BE 、 BF 分别与 AC 交于 R 、 T 两 算证明 点,你能发现 AR 、 RT 、TC 之间的 关系吗?



习 本节主要研究了用向量知识解决平 师生交流共同完成 面几何问题;掌握向量法和坐标法, 以及用向量解决平面几何问题的步 骤 练习:课本 108 B 组第 5 题 学生独立完成 作业:习题 帮助学生总结知识, 归 纳方法

归纳 小结 布置 作业

巩固所学方法, 规范解 题步骤


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