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衡水中学2012—2013学年度小学期一调考试高三理科数学试题+答案


衡水中学 2012~2013 学年度小学期一调考试 高三年级数学试卷
命题人 郑立新
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

减函数,则在命题 q 1 : p 1 ? p 2 , q 2 : p 1 ? p 2 ; q 3 : ( p 1 ) ? p 2 ; q 4 : p1 ?( p 2 )

; 其中为真命题的是: ( A. q 1 和 q 3 ) C、 q 1 和 q 4 D、 q 2 和 q 4

?

?

B. q 2 和 q 3

8.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( A. y ? 4 sin(4 x ? )

? ? ,直线 x ? 是其图 2 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

?
6

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填 涂在答题卡上) 1.已知集合 M ? {y | y ? x A. [?1,??)
2 2

) )?2
x ?x

B. y ? 2 sin(2 x ?

?
3

)?2 )?2

C. y ? 2 sin(4 x ?

?
3

D. y ? 2 sin(4 x ?

?
6

9 、 若 函 数 f ( x) ? ?k ? 1?a ? a

(a ? 0, a ? 1) 在 R 上 既 是 奇 函 数 , 也 是 减 函 数 , 则

? 1, x ? R } , N ? {x | y ? 2 ? x 2 } ,则 M ? N ? (
B. [?1, 2 ] C. [ 2 ,??) D. ? )



g ( x) ? log a ?x ? k ? 的图像是( )

2.命题“存在 x ? R , 使x ? ax ? 4a ? 0 为假命题”是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 3. 设复数 A. ?2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

a ? 3i ( a ?R, i 是虚数单位)是纯虚数,则 a 实数的值为( 1 ? 2i
B. 4 C.?6 D.2 )

4.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A.64 B.81 C.128 D.243

5. 已知向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ? 1 ,则向量 a , b 夹角的余弦值为( A.

) 10、 在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边.如果 a,b,c 成等差数列,∠B=30°, △ABC 的面积为
1? 3 2

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

3 ,那么 b=( 2

)
2? 3 2

6.设数列 ?a n ?是等比数列,其前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 3a3 ,则公比 q 的值为( ) A. ? 7

A.

B.1+ 3

C.

D.2+ 3

1 2

B.

1 2

C. 1或 x

1 2
?x

D. - 1或

1 2
x ?x

11.已知二次函数 在 R 上为

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f

'(0) ? 0 ,对于任意实数都有 f ( x) ? 0 ,

已知命题 p 1 :函数 y ? 2 ? 2

在 R 上为增函数, p 2 :函数 y ? 2 ? 2

高三数学理科试题 第1页(共 6 页)

高三数学理科试题 第2页(共 6 页)



f (1) 的最小值为( f '(0)
A.2 B.
2

18、 (本题满分 12 分) ) 已知函数 f ( x) ? 2sin

5 2

C.3

D.

3 2

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(1)求函数 f ( x) 的最大值,并写出相应的 x 取值集合; (2)令 f (? ?

12、若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域的一个子区间 ?k ? 1, k ? 1? 上不是单调函数,则实数 k 的取 值范围( A. 1, ? ? ) B. ? ??, ? ?

?
3

)?

10 ,且 ? ? (0, ? ) ,求 tan 2? 的值. 5

? 3? ? 2?

? ?

1? 2?

C. ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

D. ? , ?

? 1 3? ?2 2?
19. (本题满分 12 分) 等 比 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 对 任 意 的 n ? N
*

第Ⅱ卷(非选择题

共90分)

二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

, 点 ?n, S n ? , 均 在 函 数

? 2e x ?1 x ?2 13. 设 f ( x ) ? ? ,则不等式 f (x ) ? 2 的解集为 2 ?log 3 (x ? 1) x ? 2
14、已知函数 f (x ) ? a log 2 x ? b log 3 x ? 2 ,且 f (

y ? b x ? r ?b ? 0且b ? 1, b , r均为常数? 的图像上。
(1)求 r 的值; . (2)当 b ? 2 时,记 b n ?

1 ) ? 4 ,则 f (2012) 的值为_ 2012

n ?1 n ?N 4a n

?

*

? ,求数列 ?b ?的前 n 项和T
n

n



15、已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x ? 4) ? ?f (x ) ,且在区间 ?0,2? 是增函数,若方程

f ?x ? ? m (m ? 0) ,在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , 则 x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ?
16.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,若 s ,
t t 满足不等式 f (s 2 ? 2s) ≤ ? f (2t ? t 2 ) ,则当 1≤ s ≤ 4 时, 的取值范围是___________. s

20、(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (lg a ? 2) x ? lg b 满足 f (?1) ? ?2 , 且对于任意 x ? R
2

恒有 f ( x) ? 2 x 成立。 (1) 求实数 a, b 的值; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x, 若存在实数 t ,当 x ? ?1, m? 时, g ( x ? t ) ? x 恒成立,求实数 m 的最大值。

三、解答题(共 6 个小题,前 5 个题 12 分,三选一 10 分,共 70 分) 17. (本题满分 12 分)已知集合 A ? y | y

?

2

? (a ? a ? 1) y ? a (a ? 1) ? 0 ,
2 2

?

1 5 ? ? B ? ? y | y ? x 2 ? x ? ,0 ? x ? 3? 2 2 ? ?
(1) 若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围; (2) 当 a 取使不等式 x
2

?1 ? ax 恒成立的最小值时,求 ?C R A ? ? B

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高三数学理科试题 第4页(共 6 页)

21、(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? 方程为 16 x ? y ? 20 ? 0 . (1)求实数 a 、 b 的值;

?? x 3 ? ax 2 ? bx,??( x ? 1) ?c ln x,??( x ≥ 1)

的图像在点 (?2, f (?2)) 处的切线

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 从极点 O 作射线,交直线 ? cos ? ? 3 于点 M,P 为射线 OM 上的点,且|OM|·|OP|=12,若有 且只有一个点 P 在直线 ? sin ? ? ? cos ? ? m 上,求实数 m 的值.

(2)求函数 f ( x) 在区间 [?1, 2] 上的最大值; (3)曲线 y ? f ( x) 上存在两点 M 、 N ,使得△ MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三角形, 且斜边 MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 定义 min{a, b} ? ? 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,∠C=90°,以 AB 上一点 O 为圆心,OA 长为半径的圆与 BC 相切于点 D, 分别交 AC、AB 于点 E、F. (I)若 AC=6,AB=10,求⊙O 的半径; (Ⅱ)连接 OE、ED、DF、EF.若四边形 BDEF 是平行四边形,试判断四边形 OFDE 的形状,并说明 理由.

? a, a ? b , 求函数f ( x) ? min{| x ? 2 | ? | 2 x ? 1 |, ? x 2 ? 3 x ? 3} 的最大值。 b, a ? b ?

高三数学理科试题 第5页(共 6 页)

高三数学理科试题 第6页(共 6 页)

2012-2013高三数学小学期一调考试卷答案 BACAB CCDAB AA
? 1 ?? 2 , ? ? 1? ?.

2 ? 1 2 t ? 1? ?? , ? 1 ≤ ≤1 s ? 2 s 故 2 ? s ≤ t ≤ s ,从而 s ,等号可以取到,而 ? 1 ?? 2 , 【答案】 ? ? 1? ?.

t ? 1 ? 1? ? ? , s ? 2 ? ,故 ?

? 1? ?.

13. ?1,2? ? ( 10 ,??)

14. 0

15.

-8

16.

10、 【答案】B【解析】解:∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 平方得 a +c =4b -2ac.又△ABC 的面积为 3 2 ,且∠B=30°,故由 S△=1 /2 acsinB=1 /2 ac? sin30° =1/ 4 ac=3 /2 得 ac=6,∴a +c =4b -12.由余弦定理 cosB=
2 2 2 2 2 2

17.

3 ,b=1+ 3 2

11、 答 案 】 A【 解 析 】 ? f '(0) ? 0 , f ?( x) ? 2ax ? b,? f ?(0) ? b ? 0 ,? f ( x) ? 0 对于 x ? R 恒 【 成立,? a ? 0且? ? b ? 4ac ? 0,? b ? 4ac ,?c ? 0 ,?
2 2

f (1) a ? b ? c a c ? ? ? ?1 f ?(0) b b b

?2

ac 1 ?1 ? 2? ?1 ? 2 . 2 b 4

12、 【解析】解:解:求导函数,f′(x)=4x-1/ x 当 k=1 时, (k-1,k+1)为(0,2) ,函数在(0,1/ 2 )上单调减,在(1 /2 ,2)上单调增,满足题意; 当 k≠1 时,∵函数 f(x)=2x -lnx 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数 ∴f′(x)在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内有正也有负 ∴f′(k-1)f′(k+1)<0 ∴(4k-4-1/( k-1) )(4k+4-1/( k+1) )<0 ∴4k -8k+3 /(k-1) ×4k +8k+3/( k+1 )<0 ∴(2k-3)(2k-1)(2k+3)(2k+1)/ (k-1)(k+1) <0 ∵k-1>0 ∴k+1>0, ,2k+1>0,2k+3>0,∴(2k-3) (2k-1)><0,解得 1<k<3/ 2 综上知,1≤k<3 /2 故选 D. 16.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,若 s ,t
t f (s ? 2s) ≤ ? f (2t ? t ) ,则当 1≤ s ≤ 4 时, s 的取值范围是___ ________. 满足不等式
2 2
2 2 2

18、17. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 4 4 4

x ? sin ? 3(1 ? 2sin 2 x) ?????????????2 分 2

x x x ? ? sin ? 3 cos ? 2sin( ? ). 2 2 2 3 ?????????4 分
因为, ?1 ? sin( ?

x ? ) ? 1 所以, f ( x) 的最大值为 2. 2 3
? ?

???????6 分

相应值的集合为 ? x | x ? 4k? ?

?

? ( k ? Z) ? 3 ?

????????7 分

【解析】由 f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 中心对称知 f ( x) 的图象关于 (0, 0) 中心对称,故 f ( x) 为奇 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,
2 2 2 2 函数得 f (s ? 2s) ≤ f (t ? 2t ) ,从而 t ? 2t ≤ s ? 2s ,化简得 (t ? s)(t ? s ? 2) ≤ 0 ,又 1≤ s ≤ 4 ,

? ? ?? ?? x ?1 ?1 f ( x ? ) ? 2sin ? ( x ? ) ? ? ? 2sin ? x ? ? ? 2 cos . 3 3 3? 2? 2 ?2 ?2

高三数学理科试题 第7页(共 6 页)

高三数学理科试题 第8页(共 6 页)

2 cos

?
2

?

10 ? 10 ? 4 , 所以 cos ? . cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? ? . 5 2 10 2 5

??10 分

即 ( x ? t ? 1) ? x 恒成立.
2

又因为 ? ? (0, ? ) 所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

3 sin ? 3 . tan ? ? ?? . 5 cos ? 4
???????????13 分

? ?t ? R, ? x ? x ? t ? 1 ? x ? ? x ? x ? t ? 1 ? x ? x ( x ? ?1, m? )恒成立.


x ? u ,则 ?u ? u 2 ? t ? 1 ? u ? u 2 m ?m

tan 2? ?
19.

2 tan ? 24 ?? . 2 1 ? tan ? 7

∴ (?u ? u 2 ) max ? t ? 1 ? (u ? u 2 ) min ,即 ?t ? R, t ? 1 ? ?2 ,且 t ? 1 ?

?2 ? m ? m ? 1 ? m ? 4 ,∴实数 m 的最大值是 4。
21、解:⑴当 x ? 1时, f ?( x) ? ?3x ? 2ax ? b .
2

因为函数图像在点 (?2, f (?2)) 处的切线方程为 16 x ? y ? 20 ? 0 . 所以切点坐标为 (?2,12) ,并且 ? 解得 a ? 1, b ? 0 . ⑵由⑴得,当 x ? 1时, f ( x) ? ? x ? x ,
3 2

? f (?2) ? 8 ? 4a ? 2b ? 12, ? f ?(?2) ? ?12 ? 4a ? b ? ?16,
(4 分)

令 f ?( x) ? ?3x ? 2 x ? 0 可得 x ? 0 或 x ?
2

2 , 3

2 2 f ( x) 在 (?1,0) 和 ( ,1) 上单调递减,在 (0, ) 上单调递增, 3 3
对于 x ? 1部分: f ( x) 的最大值为 max{ f (?1), f ( )} ? f (?1) ? 2 ; 当 1 ≤ x ≤ 2 时, f ( x) ? c ? ln x , 当 c ≤ 0 时, c ? ln x ≤ 0 恒成立, f ( x) ≤ 0 ? 2 , 此时 f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 ; 当 c ? 0 时, f ( x) ? c ? ln x 在 [1, 2] 上单调递增,且 f (2) ? c ? ln 2 . 令 c? ln 2 ? 2 ,则 c ? 20、 (1)由 f(-1)=-2 知,lgb-lga+1=0①,所以 a b =10②.又 f(x)≥2x 恒成立,f(x)-2x ≥0 恒成立,则有 x2+x? lga+lgb≥0 恒成立,故△=(lga)2-4lgb≤0,将①式代入上式得: (lgb) 2-2lgb+1≤0,即(lgb-1)2≤0,故 lgb=1 即 b=10,代入②得,a=100; (2) g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ,∵存在实数 t ,当 x ? ?1, m? 时, g ( x ? t ) ? x 恒成立;
2 2

2 3

2 2 ,所以当 c ? 时, ln 2 ln 2

f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (2) ? c ? ln 2 ;
当0 ? c≤

2 时, f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 . ln 2 2 时, f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 2 ; ln 2

综上可知,当 c ≤

高三数学理科试题 第9页(共 6 页)

高三数学理科试题 第10页(共 6 页)

当c ?

2 时, f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 c ? ln 2 . ln 2
?? x3 ? x 2 ,??( x ? 1) ?c ln x,??( x ≥ 1)

(8 分)

23 . 解 : 设 P( ? , ? ) , 则 由 | OM | ? | OP |? 12 得 M (

12

?

,? ) , 所 以

12

?

cos? ? 3 , 即

⑶ f ( x) ? ?

,根据条件 M , N 的横坐标互为相反数,不妨设 M (?t , t ? t ) ,
3 2

? ? 4 cos? ( ? ? 0) ,???4 分
化为平面直角坐标系的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4( x ? 0) ,?????????5 分
2 2

N (t , f (t )) , (t ? 0) .
若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,
3 2

? sin? ? ? cos? ? m 化为平面直角坐标系的方程为 y ? x ? m ? 0 ,??????????6
分 因 为 有 且 只 有 一 个 点 P 在 直 线 ? sin ? ? ? cos? ? m 上 , 所 以 y ? x ? m ? 0 和 (10 分)
?

???? ???? ? 2 3 2 3 2 由 ?MON 是直角得, OM ? ON ? 0 ,即 ?t ? (t ? t )(?t ? t ) ? 0 ,
即 t ? t ? 1 ? 0 .此时无解;
4 2

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4( x ? 0) 相切,
即m = - 2

若 t ≥ 1 ,则 f ( ) ?c ? t . 由于 MN 的中点在 y 轴上,且 ?MON ? 90 ,所以 N 点不可能在 x t ln 轴上,即 t ? 1. 同理有 OM ? ON ? 0 ,即 ?t ? (t ? t ) ? c ln t ? 0 , c ?
2 3 2

2 2 ?????????????????? 8 分

???? ???? ?

1 或过原点,即 m ? 0 .?????????????????10 分 . 由于函数 (t ? 1) ln t 24.解:
(12 分)

g (t ) ?

1 (t ? 1) 的值域是 (0, ??) ,实数 c 的取值 (t ? 1) ln t

范围是 (0, ??) 即为所求.

22. (Ⅰ)解:连接 O

D. 设⊙O 的半径为 r. ∵BC 切⊙O 于点 D,∴OD⊥B C.

C.

∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴△OBD∽△AB

? ? 3 x ? 1, x ? 2 ? 1 ? | x ? 2 | ? | 2 x ? 1 |? ? x ? 3,? ? x ? 2 ????????????3 分 2 ? ? ? 3 x ? 1, x ? ? 1 ? 2 ?
当 x ? 2 时, ? x ? 3x ? 3 ? (3x ? 1) ? ? x ? 4 ? 0 恒成立;
2 2

OD OB r 10-r 15 ∴ = ,即 = . 解得 r = , AC AB 6 10 4
∴⊙O 的 半 径 为
C E D

当?

1 1 ? x ? 2 时, ? x 2 ? 3x ? 3 ? ( x ? 3) ? ? x 2 ? 2 x ? 0 在 (? ,0) 恒成立; 2 2 1 2 2 时, ? x ? 3x ? 3 ? (?3x ? 1) ? ? x ? 6 x ? 2 ? 0 恒成立; 2

15 . ??????????????????????4 分 4 ( Ⅱ ) 结 论 : 四 边 形

当x ? ?
F B

OFDE





A

O

形. ????????????5 分 证明:∵四边形 BDEF 是平行四边形, 1 1 ∴∠DEF=∠B.∵∠DEF= ∠DOB,∴∠B= ∠DO 2 2 ∵∠ODB=90°,∴∠DOB+∠B=90°,∴∠DOB=60°. ∵DE∥AB,∴∠ODE=60°.∵OD=OE,∴△ODE 是等边三角形. ∴OD=DE.∵OD=OF,∴DE=OF.∴四边形 OFDE 是平行四边形. ∵OE=OF,∴平行四边形 OFDE 是菱形. ????????????10 分
高三数学理科试题 第11页(共 6 页)

?? x 2 ? 3x ? 3, x ? 0 ? 所以 f ( x) ? ? x ? 3,0 ? x ? 2 ,??????????????????6 分 ?? x 2 ? 3x ? 3, x ? 2 ?
当 x ? 0 时, f ( x) ? 3 ;当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? 5 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 5 . 综上: f (x) 最大值为 5. ?????????????????10 分

B.

高三数学理科试题 第12页(共 6 页)


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