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2015秋高中数学 2.2.2对数函数及其性质(第3课时)学案设计 新人教A版必修1


第二章

基本初等函数(Ⅰ) 对数函数

2.2 2.2.2

对数函数及其性质(第三课时)

学习目标 ①了解反函数的概念,加深对函数思想的理解; ②加深对对数函数和指数函数的性质的理解及函数图象变化规律的理解,培养学生的数 学交流能力; ③培养学生用辩证的观点观察问题、分析问题、解决问题的能力. 合作学习 一、设计问题,创设情境 我们知道,物体做匀速直线运动的位移 s 是时间 t 的函数,即 s=vt,其中速度 v 是常量, 定义域 t≥0,值域 s≥0;反过来,也可以由位移 s 和速度 v(常量)确定物体做匀速直线运动的 时间,即 t=,这时,位移 s 是自变量,时间 t 是位移 s 的函数,定义域 s≥0,值域 t≥0. 问题 1:函数 s=vt 的定义域、值域分别是什么?

问题 2:函数 t=中,谁是谁的函数?

问题 3:函数 s=vt 与函数 t=之间有什么关系?

二、自主探索,尝试解决 x 问题 4:在指数函数 y=2 中,x 为自变量,y 为因变量.如果把 y 当成自变量,x 当成因变量, 那么 x 是 y 的函数吗?如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由.

问题 5:请同学仿照解决问题 4 的过程,探讨函数 x=logay(a>0,且 a≠1)是否为指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的反函数?
x

三、信息交流,揭示规律 x 问题 6:由问题 5,我们总结了函数 x=logay(y∈(0,+∞))是函数 y=a (x∈R)的反函数,但 是总感觉函数 x=logay(y∈(0,+∞))有些怪怪的,不舒服,到底是哪里的问题呢?又怎样解决 呢?

问题 7:由问题 6 知对数函数 y=logax(x∈(0,+∞))是指数函数 y=a (x∈R)的反函数,那 x 么反过来,指数函数 y=a (x∈R)是否也是对数函数 y=logax(x∈(0,+∞))的反函数呢?

x

(1)反函数概念: x 指数函数 y=a (x∈R)与对数函数 y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数 与对数函数互为反函数. 问题 8:通过前面的学习,我们知道研究一个新函数其过程往往是:定义—解析式—图象 —性质.反函数的定义与解析式都研究完了,那么,互为反函数的两个函数的图象具有怎样的 特点呢?

问题 9:根据问题 8,我们是否能说互为反函数的两个函数都关于直线 y=x 对称呢?

通过几何画板我们发现有如下规律: (2)反函数的性质: 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称. 四、运用规律,解决问题 【例 1】求下列函数的反函数. x x x (1)y=4 (x ∈ R);(2)y=0.25 (x ∈ R);(3)y=() (x R);(5)y=lgx(x>0);(6)y=2log4x(x>0). 【例 2】函数 y=3 的图象与函数 y=log3x 的图象关于(
x



R);(4)y=() (x

x



)

A.y 轴对称 B.x 轴对称 C.原点对称 D.直线 y=x 对称 【例 3】若点(1,2)既在函数 y=的图象上,又在其反函数的图象上,求 m,n 的值.

五、反思小结,观点提炼 1. ; 2. ; 3. . 六、作业精选,巩固提高 阅读课本 P73. 参考答案 一、设计问题,创设情境 问题 1:定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞). 问题 2:时间 t 是位移 s 的函数. 问题 3:一个解析式的两种不同形式,都是函数解析式,自变量和函数值恰好互换. 二、自主探索,尝试解决 x 问题 4:指数函数 y=2 中,x 是自变量,y 是 x 的函数,定义域为 x∈R,值域为 y∈(0,+∞). 由指数式与对数式的互化有:x=log2y 对于 y 在(0,+∞)中任何一个值,通过式子 x=log2y,x 在 R 中都有唯一的值和它对应.因此,它也确定了一个函数:x=log2y,y 为自变量,x 为 y 的函数, 定义域是 y∈(0,+∞),值域是 x∈R. x 由于函数 x=log2y 与函数 y=2 是一个解析式的两种不同形式,都是函数解析式,而且自变

量与函数值恰好相反,故我们引入一个新的概念,称函数 x=log2y(y∈(0,+∞))是函数 y=2 (x ∈R)的反函数. x 问题 5:指数函数 y=a 中,x 是自变量,y 是 x 的函数,定义域为 x∈R,值域为 y∈(0,+∞). 由指数式与对数式的互化有:x=logay 对于 y 在(0,+∞)中任何一个值,通过式子 x=logay,x 在 R 中都有唯一的值和它对应.因此,它也确定了一个函数:x=logay,y 为自变量,x 为 y 的函数, 定义域是 y∈(0,+∞),值域是 x∈R. x 由于,函数 x=logay 与函数 y=a 是一个解析式的两种不同形式,都是函数解析式,而且自 变量与函数值恰好相反 , 故我们引入一个新的概念 , 称函数 x=logay(y ∈ (0,+∞)) 是函数 y=ax(x∈R)的反函数. 三、信息交流,揭示规律 问题 6:在函数 x=logay 中,y 是自变量,x 是函数.但习惯上,我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数.为此,我们常常对调函数 x=logay 中的字母 x,y,把它写成 y=logax.这样,对数函数 y=logax(x∈(0,+∞))是指数函数 y=ax(x∈R)的反函数. x 问题 7:由上述讨论可知,对数函数 y=logax(x∈(0,+∞))是指数函数 y=a (x∈R)的反函 x 数;同时,指数函数 y=a (x∈R)也是对数函数 y=logax(x∈(0,+∞))的反函数.因此,指数函数 y=ax(x∈R)与对数函数 y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数. x x 问题 8:利用几何画板在同一个坐标系中依次画出函数 y=2 ,y=log2x,y=3 ,y=log3x 的图 x x 象.发现,y=2 与 y=log2x 的图象关于直线 y=x 对称,y=3 与 y=log3x 的图象也关于直线 y=x 对 称. x 问题 9: 利用几何画板在同一个坐标系中依次画出指数函数 y=a (x ∈ R) 与对数函数 y=logax(x∈(0,+∞))的图象,并观察,两图象关于直线 y=x 对称. 四、运用规律,解决问题 【例 1】解:(1)所求反函数为 y=log4x(x>0);(2)所求反函数为 y=log0.25x(x>0);(3)所求 x 反函数为 y=lox(x>0);(4)所求反函数为 y=lox(x>0);(5)所求反函数为 y=10 (x∈R);(6)所 x 求反函数为 y==2 (x∈R). 【例 2】D 【例 3】解:由已知得:故 m,n 的值分别是-3,7. 五、反思小结,观点提炼 1.反函数的定义 2.掌握同底的指数函数与对数函数互为反函数 3.互为反函数的函数图象关于直线 y=x 对称

x


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