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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件双曲线部分(完整)


成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

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·选修2-1

第二章
2. 3 双曲线

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
第 1 课时 双曲线及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程

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课前自主预习
课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业

方法规律总结

第二章

2.3

第1课时

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课程目标解读

第二章

2.3

第1课时

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1.了解双曲线的定义,并能根据双曲线定义恰当地选择 坐标系,建立及推导双曲线的标准方程. 2.通过与椭圆的类比、对照,了解双曲线的标准方程, 并培养学生分析、归纳、推理等能力. 3.掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的 a、b、c;能 根据条件确定双曲线的标准方程.

第二章

2.3

第1课时

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课前自主预习

第二章

2.3

第1课时

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1.在平面内到两个定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于定 值 2a(大于 0 且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做______ . 这两个定点 双曲线

焦距 . 叫做双曲线的_____ 焦点 ,两焦点之间的距离叫做双曲线的_____
2.在双曲线的定义中,条件 0<2a<|F1F2|不应忽视,若 2a

两条射线 ;若 2a>|F1F2|则动点的 =|F1F2|,则动点的轨迹是___________
轨迹_________ 不存在 .

第二章

2.3

第1课时

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绝对值 ”,若去掉定 3.双曲线定义中应注意关键词“________
绝对值 ”三个字,动点轨迹只能是____________ 双曲线一支 . 义中“________ x2 y2 4.焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 a2-b2=1(a>0, 2 2 y x b>0) ,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0, _____ a b b>0) . _____
2 2 2 a + b = c 5.在双曲线的标准方程中 a、b、c 的关系为_________.

第二章

2.3

第1课时

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6.对比是学习数学中常用的有效的学习方法,应用对比 的学习方法常能起到巩固旧知识,深化对新知识的理解的作 用,也能有效的解决知识的混淆.在学习双曲线知识时,要时 时留意与椭圆进行对比. 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.

第二章

2.3

第1课时

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椭圆 定义|MF1|+|MF2|=2a 因为 a>c>0, 所以令 a2-c2=b2(b>0) x2 y2 y2 x2 a2+b2=1 或a2+b2=1 (a>b>0)

双曲线 定义|MF1|-|MF2|=± 2a 因为 0<a<c, 所以令 c2-a2=b2(b>0) x2 y2 y2 x2 a2-b2=1 或a2-b2=1 (a>0,b>0,a 不一定大于 b)

第二章

2.3

第1课时

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7.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1) 双曲线的一个焦点坐标是 (0 ,- 6) ,经过点 A( - 5 , 6).________ x2 y2 (2)与椭圆16+25=1 共焦点, 且过点(-2, 10). ________ x2 y2 (3) 与 双 曲 线 - = 1 有 公 共 焦 点 , 且 过 点 (3 2 , 16 4 2).________

第二章

2.3

第1课时

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[分析]

(1)由焦点坐标可知 c,结合 a、b、c 的关系及经

过点 A(-5,6)可列出关于 a、b 的方程组求解. (2)由椭圆方程可求焦点,可知与(1)解法同. (3)可先求出双曲线焦点,以下与(1)解法同;也可先由共焦 点的双曲线特征设出双曲线方程,代入已知点求出待定系数.

第二章

2.3

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[解析]

(1)解法一:由已知得,c=6,且焦点在 y 轴上,

则另一焦点坐标是(0,6). 因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以点 A 与两焦点的距离的 差的绝对值是常数 2a,即 2a=| ?-5?2+?6+6?2- ?-5?2+?6-6?2| =|13-5|=8, 得 a=4,b2=c2-a2=62-42=20. y2 x2 因此,所求的双曲线标准方程是16-20=1.

第二章

2.3

第1课时

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解法二:由焦点坐标知 c=6,∴a2+b2=36, y2 x2 ∴双曲线方程为 2- =1. a 36-a2 ∵双曲线过点 A(-5,6), 36 25 ∴ a2 - =1, 36-a2 ∴a2=16,b2=20. y2 x2 双曲线方程为16-20=1.

第二章

2.3

第1课时

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x2 y2 (2)由 + =1 知焦点为 F1(0,-3),F2(0,3). 16 25 y2 x2 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则有 a b 10 4 ? ? 2 - 2=1, ?a b 2 2 ? ?a +b =9. ∴a2=5,b2=4. y2 x2 ∴所求的双曲线的方程为 5 - 4 =1.

第二章

2.3

第1课时

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(3)依题意,设所求的双曲线的方程为 x2 y2 - =1 (-4<k<16), 16-k 4+k 将(3 2,2)代入得 k=4. x2 y2 ∴所求的双曲线的方程为12- 8 =1.
[答案] y2 x2 y2 x2 (1)16-20=1 (2) 5 - 4 =1

x2 y2 (3)12- 8 =1

第二章

2.3

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重点难点展示

第二章

2.3

第1课时

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重点:双曲线的定义及其标准方程. 难点:双曲线标准方程的推导.

第二章

2.3

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学习要点点拨

第二章

2.3

第1课时

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1 .在理解双曲线的定义时,要注意到对“定值”的限 定.即定值大于零且小于 |F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情 况,即:“当定值等于|F1F2|时,轨迹是两条射线;当定值大于 |F1F2|时,点不存在.” 2.类比椭圆标准方程的推导方法,建立适当坐标系,推 导出双曲线的标准方程,但要注意在椭圆标准方程推导中,是 令 b2=a2-c2,而在双曲线标准方程的推导过程中,是令 b2= c2-a2.

第二章

2.3

第1课时

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3.利用待定系数法求双曲线的标准方程时,应先判断焦 点所在位置,不能确定时应分类讨论. 4.已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题,往往 利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式. 5.当利用双曲线的定义求解轨迹方程问题时,要注意应 用数形结合的思想方法. 6.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤

第二章

2.3

第1课时

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(1)判断焦点位置确定方程的形式: 根据条件判定双曲线的 焦点在 x 轴上还是在 y 轴上,还是两坐标轴都有可能. x2 y2 y2 x2 根据上述判断设方程为a2-b2=1 或a2-b2=1(a>0,b>0). (2)确立参数的关系式:根据已知条件列出关于 a、b、c 的 方程组. (3)解方程组:定形式,解上述方程组,得到参数 a、b、c 的值,代入所设方程即为所求.

第二章

2.3

第1课时

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注意:方程 mx2+ny2=1(mn<0)表示的曲线为双曲线,它 包含焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情形,当 m>0,n<0 时,方 x2 y2 程为 - =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,此时 a= 1 1 - m n = 1 -n ; 1 ,b m

第二章

2.3

第1课时

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y2 x2 当 m<0,n>0 时,方程为 - =1 表示焦点在 y 轴上的 1 1 n -m 双曲线,此时 a= 1 ,b= n 1 - . m

在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考 虑上述设法.

第二章

2.3

第1课时

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课堂典例讲练

第二章

2.3

第1课时

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命题方向

思路方法技巧 双曲线的定义

[例 1]

已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2

=9,动圆 M 同时与圆 C1 与圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的 轨迹方程.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于

点 A 和 B,根据两圆外切的充要条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. ∵|MA|=|MB|, ∴|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, ∴|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.

第二章

2.3

第1课时

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这表明动点 M 与两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2.根据 双曲线的定义,动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的 距离大,与 C1 的距离小). 这里 a=1,c=3,则 b2=8,设点 M 的坐标为(x,y),
2 y 则其轨迹方程为 x2- 8 =1(x<0).

第二章

2.3

第1课时

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[点评]

本题是用定义法求动点的轨迹方程,由于动点 M

到两定点 C2、 C1 的距离的差为常数, 而不是差的绝对值为常数, 因此,其轨迹只能是双曲线的一支.这时可直接依据条件求出 a、b 写出其标准方程,而无需用距离公式写出方程,再通过复 杂的运算进行化简.

第二章

2.3

第1课时

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x2 y2 设点 P 是双曲线 9 -16=1 上任意一点, F1、 F2 分别是左、 右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|=________.

[答案] 4 或 16

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

由双曲线方程,得 a=3,b=4,c=5.

当点 P 在双曲线的左支上时, 由双曲线定义, 得|PF2|-|PF1| =6,所以|PF2|=|PF1|+6=10+6=16; 当点 P 在双曲线的右支上时, 由双曲线定义, 得|PF1|-|PF2| =6,所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4. 故|PF2|=4 或|PF2|=16.

第二章

2.3

第1课时

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[点评]

本题主要考查双曲线的定义,注意本题中的点 P

既可能在双曲线的左支上,也可能在双曲线的右支上,从而可 得|PF2|有两个值.但还要注意不能盲目地认为点 P 在任何情况 下都可能在双曲线的两支上,如本题中若给定|PF1|=5,那么 点 P 就只能在双曲线的左支上了.

第二章

2.3

第1课时

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命题方向

双曲线的标准方程

[例 2]

求适合下列条件的双曲线的标准方程:

(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点 与两焦点的距离之差的绝对值等于 8; (2)焦点在 x 轴上,经过点 P(4,-2)和点 Q(2 6,2 2).

第二章

2.3

第1课时

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[分析] b.

(1)依据双曲线的定义直接由条件求出 a、c,再求

x2 y2 (2)∵焦点在 x 轴上,故可设其标准方程为 2- 2=1(a>0, a b b>0),代入点的坐标,解方程组求出 a2、b2,也可以直接设方 程 Ax2+By2=1(A>0,B<0).

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

(1)由已知得,c=5,2a=8,即 a=4.

∵c2=a2+b2,∴b2=c2-a2=52-42=9. ∵焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴所求的双曲线标准方程是16- 9 =1.

第二章

2.3

第1课时

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(2)设双曲线方程为 mx2+ny2=1(m>0,n<0),则 1 ? ? ?m=8 ?16m+4n=1 ? ,∴? ? ?24m+8n=1 ?n=-1 4 ? x2 y2 ∴双曲线方程为 8 - 4 =1.



第二章

2.3

第1课时

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(1)焦点在 x 轴上, c= 6且经过点(-5,2)的双曲线的标准 方程为________. (2)已知双曲线上两点 P1、P2 的坐标分别为(3,-4 2)、 9 (4,5),则双曲线的标准方程为________.

[答案]

x2 2 y2 x2 (1) 5 -y =1 (2)16- 9 =1

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

x2 y2 (1)设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),由题意

25 4 ? ? 2 - 2=1, 得? a b 2 2 ? ?a +b =6. 解之得 a2=5,b2=1, x2 2 故所求双曲线方程为 5 -y =1.

第二章

2.3

第1课时

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(2)解法一:若曲线的焦点在 y 轴上,设所求双曲线的标准 y2 x2 方程为: 2- 2=1(a>0,b>0) a b ?32 9 ? a2 -b2=1, 依题意得? 81 ?25 2- 2=1. a 16 b ? 32m-9n=1, ? ? 1 1 令 m= 2,n= 2,则方程组化为:? 81 a b 25m-16n=1. ? ?

第二章

2.3

第1课时

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1 ? ?m=16, 解这个方程组得? ?n=1. 9 ? 即 a2=16,b2=9,所以所求双曲线的标准方程为 y2 x2 16- 9 =1. x2 y2 若焦点在 x 轴上, 设所求双曲线方程为a2-b2=1(a>0, b>0),

第二章

2.3

第1课时

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? 9 32 ?a2- b2 =1, 依题意得? ? 81 2-25 2 =1. 16 a b ?

此时无解.

y2 x2 综上所得,所求双曲线的标准方程为16- 9 =1.

第二章

2.3

第1课时

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解法二:设所求曲线方程为 Ax2-By2=1(AB>0), 1 ? 9A-32B=1, ? ?A=-9, ? 依题意得?81 解得? 1 A-25B=1. ? ? 16 B=-16. ? ? x2 y2 y2 x2 故所求双曲线方程为- 9 +16=1 即16- 9 =1.

第二章

2.3

第1课时

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[点评]

(1)利用待定系数法求双曲线的方程,先定型,再

定量,不能确定焦点在哪个轴上时,可分类讨论,也可设方程 为 mx2+ny2=1(mn<0). x2 y2 x2 (2)与双曲线a2-b2=1 共焦点的双曲线方程可设为 2 - a -k y2 2 2 = 1( - b < k < a ). b2+k

第二章

2.3

第1课时

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建模应用引路

命题方向

双曲线的实际应用

[例 3]

相距 2000m 的两个哨所 A、B,听到远处传来的

炮弹爆炸声.已知当时的声速是 330m/s,在 A 哨所听到爆炸 声的时间比在 B 哨所听到时间迟 4s,试判断爆炸点在什么样 的曲线上,并求出曲线的方程. [分析] B 的“距离差”等于声速乘以 爆炸点与哨所 A、

两哨所听到爆炸声的“时间差”,且爆炸点距 B 哨所较近.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

设爆炸点为 P,由已知可得

|PA|-|PB|=330×4=1320>0. 因为|AB|=2000>1320,所以点 P 在以 A、B 为焦点的双曲 线的靠近 B 处的那一支上. 建立如图平面直角坐标系,使 A、B 两点在 x 轴上,线段 AB 的中点为坐标原点.

第二章

2.3

第1课时

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由 2a=1320,2c=2000 得, a=660,c=1000,b2=c2-a2=564400. 因此,点 P 所在曲线的方程是 x2 y2 435600-564400=1(x>0).
第二章 第1课时

2.3

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A、B、C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 正东 6 km,C 在 B 正北偏西 30° ,相距 4 km,P 为敌炮阵地,某时刻 A 处发现敌 炮阵地的某种信号,由于 B、C 两地比 A 距 P 地远,因此经过 1s 后, B、 C 才同时发现这一信号, 此信号的传播速度为 4km/s, A 若炮击 P 地,求 A 阵地炮击的方向角.

第二章

2.3

第1课时

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[分析] 点 P 到 B、C 距离相等,因此点 P 在线段 BC 的 垂直平分线上,又|PB|-|PA|=4,因此 P 在以 B、A 为焦点的 双曲线的右支上.由交轨法可求 P 的坐标,进而求炮击的方向 角.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

如图,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y

轴建立坐标系,则 B(-3,0)、A(3,0)、C(-5,2 3).

因为|PB|=|PC|,所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.

第二章

2.3

第1课时

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因为 kBC=- 3,BC 中点 D(-4, 3),所以直线 1 PD:y- 3= (x+4).① 3 又|PB|-|PA|=4,故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上. x2 y2 设 P(x,y),则双曲线方程为 - =1(x≥0)② 4 5 联立①、②式,得 x=8,y=5 3,所以 P(8,5 3). 因此 kPA= 3. 故 A 阵地炮击的方向角为北偏东 30° .

第二章

2.3

第1课时

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探索延拓创新

命题方向

焦点三角形问题

[例 4]

x2 y2 设双曲线 - =1,F1、F2 是其两个焦点,点 P 4 9

在双曲线右支上. (1)若∠F1PF2=90° ,求△F1PF2 的面积; (2) 若∠ F1PF2 = 60° 时,△ F1PF2 的面积是多少?若∠ F1PF2=120° 时,△F1PF2 的面积又是多少?

第二章

2.3

第1课时

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[分析]

1 由于三角形面积 S△F1PF2=2|PF1|· |PF2|· sinθ, 所

以只要求出|PF1|· |PF2|即可.因此可考虑用双曲线定义及余弦 定理求出|PF1|· |PF2|.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

(1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13,

设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),

如图所示.由双曲线定义,有 r1-r2=2a=4,

第二章

2.3

第1课时

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2 两边平方得 r2 1+r2-2r1r2=16.

∵∠F1PF2=90° ,
2 2 2 ∴r2 + r = 4 c = 4 × ( 13) =52. 1 2

∴2r1r2=52-16=36, 1 ∴S△F1PF2=2r1r2=9.

第二章

2.3

第1课时

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(2)若∠F1PF2=60° ,
2 在△F1PF2 中,由余弦定理得 |F1F2|2=r 2 1+ r 2 - 2r1r2cos60°

=(r1-r2)2+r1r2, 而 r1-r2=4,|F1F2|=2 13,∴r1r2=36. 1 1 3 于是 S△F1PF2=2r1r2sin60° =2×36× 2 =9 3. 同理可求得若∠F1PF2=120° 时,S△F1PF2=3 3.

第二章

2.3

第1课时

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[点评]

由双曲线上一点 P 与双曲线的两个焦点 F1,F2 构

成的三角形称为焦点三角形. 在△F1PF2 中, |PF1|-|PF2|=± 2a, |F1F2|=2c,而 a 与 c 都是双曲线的重要参数.解决与这个三角 形有关的问题,常常利用双曲线的定义以及正、余弦定理联合 解决.

第二章

2.3

第1课时

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[例 5] 的值. [ 错解]

名师辨误作答 已知双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3),求 k

x2 y2 将双曲线方程化为标准方程 1 - 8 = 1. 因为焦点 k k
2

8 2 1 在 y 轴上,所以 a =k,b =k,所以 c= a2-b2= 7 7 即k=9,所以 k=9.

8 1 k - k=3,

第二章

2.3

第1课时

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[辨析]
2

上述解法有两处错误:一是 a2、b2 确定错误,应

8 2 1 该是 a =- ,b =- ;二是 a、b、c 的关系式用错了.在双 k k 曲线中应为 c2=a2+b2.

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

[正解]

2 2 k x y 将双曲线方程化为 kx2- y2=1, 即 - =1.因为 8 1 8 k k 2

8 2 一个焦点是(0,3),所以焦点在 y 轴上,所以 c=3,a =-k,b 1 8 1 2 2 2 =- ,所以 a +b =- - =c =9.所以 k=-1. k k k

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

方法规律总结

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

1.判断椭圆焦点在哪个轴上,看 x2 与 y2 项分母的大小, 判断双曲线焦点在哪个轴上,看 x2 与 y2 项的系数的正负. 2.求双曲线的标准方程一般用待定系数法,特别的过两 定点的双曲线方程可设为 mx2+ny2=1(mn<0). 3.用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是哪一支, 还是全部曲线. 4.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.

第二章

2.3

第1课时

成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

第二章
圆锥曲线与方程

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

第二章
2. 3 双曲线

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

第二章
第 2 课时 双曲线的简单几何性质

第二章

2.3

第1课时

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课前自主预习
课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业

方法规律总结

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

课程目标解读

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

1.通过双曲线的方程和几何图形,了解双曲线的对称性、 范围、顶点、离心率等简单几何性质. 2.了解双曲线的渐近线,并能用双曲线的简单几何性质解 决一些简单的问题.

第二章

2.3

第1课时

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课前自主预习

第二章

2.3

第1课时

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轴对称 图形;也是 1.双曲线是以 x 轴、y 轴为对称轴的_______
中心对称 图形,这个对称中心叫做 以原点为对称中心的 ___________

双曲线的中心 . ______________
顶点 , 2.双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的______
x2 y2 (± a,0),这两个顶点之间 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的顶点是______

实轴 ,它的长等于____. 的线段叫做双曲线的_____ 2a 同时在另一条对
称轴上作点 B1(0,-b),B2(0,b),线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴 __,

2b ,a、b 分别是双曲线的___________________ 实半轴长和虚半轴长. 它的长等于___

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

b x2 y2 y=± ax 3.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为_______. a b a y2 x2 y=± bx 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为__________. a b

4. 双曲线的半焦距 c 与实半轴 a 的比叫做双曲线的离心率 _____,

(1,+∞) . 其范围是___________

第二章

2.3

第1课时

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重点难点展示

第二章

2.3

第1课时

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重点:双曲线的几何性质,双曲线各元素之间的相互依存 关系,特别是双曲线的渐近线性质. 难点:有关双曲线的离心率、渐近线的问题,数形结合思 想、方程思想、等价转化思想的运用.

第二章

2.3

第1课时

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学习要点点拨

第二章

2.3

第1课时

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1.双曲线的渐近线 (1)对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线的特有性质,利用双 曲线的渐近线来画双曲线特别方便. (2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线, 过双曲线实轴的 两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线,它们围成 一个矩形,其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.

第二章

2.3

第1课时

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(3)要理解“渐近”两字的含义, 当双曲线的各支向外延伸 时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的. (4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法: 把标 x2 y2 准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程,即双曲线 a2-b2 x2 y2 b y2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 2- 2=0,即 y=± x;双曲线 2 a b a a x2 y2 x2 a -b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为a2-b2=0,即 y=± bx.

第二章

2.3

第1课时

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(5)根据双曲线的渐近线方程求双曲线方程的方法: 渐近线 n x2 y2 x2 为 y= x 的双曲线方程可设为: 2- 2=λ(λ≠0), 与双曲线 2- m m n a y2 x2 y2 这里 λ 是 b2=1 共渐近线的双曲线方程可设为a2-b2=λ(λ≠0), 待定系数,其值可由题目中的条件确定.

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

2.双曲线上两个重要的三角形 (1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形, 边长满足 c2=a2+b2,称为双曲线的特征三角形.

第二章

2.3

第1课时

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(2)焦点 F、过 F 作渐近线的垂线,垂足为 D,则|OF|=c, |FD|=b,|OD|=a,△OFD 亦是直角三角形,满足|OF|2=|FD|2 +|OD|2,也称为双曲线的特征三角形.

第二章

2.3

第1课时

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3.学习双曲线中应注意的几个问题: (1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线; (2)双曲线只有两个顶点,离心率 e>1; (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线,其离心率为 2, 实轴长与虚轴长相等,两条渐近线互相垂直; (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、 e 的不同.

第二章

2.3

第1课时

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课堂典例讲练

第二章

2.3

第1课时

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命题方向

思路方法技巧 已知双曲线的方程,研究其几何性质

[例 1]

焦点坐标、 求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、

实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图. [分析] 要将双曲线方程化成标准方程,然后由各个所

求量的定义作答.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

2 2 x y 将 9y2-4x2=-36 变形为 - =1, 9 4

x2 y2 即 2- 2=1, 3 2 ∴a=3,b=2,c= 13, 因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为 F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4,

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

c 13 离心率 e= = , a 3 b 2 渐近线方程 y=± ax=± 3x. 作草图如图:

第二章

2.3

第1课时

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[点评]

由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤

x2 y2 y2 x2 是:先将双曲线方程化为标准形式 2- 2=1(或 2- 2=1),再 a b a b 根据它确定 a、b 的值(注意它们的分母分别为 a2、b2,而不是 a 、 b ,进而求出 c ,再对照双曲线的几何性质得到相应的答 案).画几何图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a、2b 为 两邻边的矩形对角线 )和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋 势,就可画出双曲线的草图.

第二章

2.3

第1课时

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x2 y2 求双曲线 3 - 4 =1 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点 坐标.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

由题意知 a2=3,b2=4,

所以 c2=a2+b2=3+4=7,解得 a= 3,b=2,c= 7. 因此,双曲线的实轴长 2a=2 3,虚轴长 2b=4. 顶点坐标为(- 3,0),( 3,0), 焦点坐标为(- 7,0),( 7,0).

第二章

2.3

第1课时

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命题方向

由双曲线的性质求双曲线的方程

[例 2]

实轴长与虚轴长 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,

之比为 2:3,且经过点 P( 6,2),求双曲线方程; 5 (2)已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为3,且经过点 M(-3,2 3),求双曲线方程; 且两顶点间的距 3y=0, (3)若双曲线的渐近线方程为 2x± 离是 6,求双曲线方程.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

y2 x2 (1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0).由题意 a b

a 2 4 6 知 = .又∵双曲线过点 P( 6,2),∴ 2- 2=1, b 3 a b ?a 2 ?b=3 依题意可得? ? 42- 62=1 ?a b 4 ? 2 ?a = 3 . ,解得? 2 ? ?b =3

3 2 1 2 故所求双曲线方程为4y -3x =1.

第二章

2.3

第1课时

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x2 y2 (2)设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b
2 2 2 2 a + b 5 c b 25 2 ∵e=3,∴e =a2= a2 =1+a2= 9 ,

b 4 ∴a=3. ?b 4 ?a=3 由题意得? ? 92-12 2 =1 ?a b 9 ? ?a2= 4 . ,解得? 2 ? ?b =4

x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 9 - 4 =1. 4
第二章 2.3 第1课时

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2 2 x y (3)设双曲线方程为 4x2-9y2=λ(λ≠0), 即 λ - λ =1(λ≠0), 4 9

由题意得 a=3. λ x2 y2 当 λ>0 时,4=9,λ=36,双曲线方程为 9 - 4 =1; -λ y2 4x2 当 λ<0 时, 9 =9,λ=-81,双曲线方程为 9 - 81 =1. x2 y2 y2 4x2 故所求双曲线方程为 9 - 4 =1 或 9 - 81 =1.

第二章

2.3

第1课时

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[点评]

根据双曲线的几何性质如渐近线、离心率等求双

曲线方程,与求椭圆的标准方程相同,一般都是采用待定系数 法,同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤.若已知双 曲线的渐近线方程求双曲线方程时,常常根据双曲线的标准方 程与相应渐近线的关系来设其标准方程,即若已知双曲线的渐 近线方程为 mx± ny=0,则可设所求的双曲线方程为 m2x2-n2y2 =λ(λ≠0), 其中 λ 为待定量, 再根据题设条件求出 λ 值即可. 这 样就避免了讨论,简化了计算.

第二章

2.3

第1课时

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x2 y2 与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双曲 16 4 线的标准方程为________.
x2 y2 12- 8 =1

[答案]

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

x2 y2 解法一:设双线方程为 a2-b2=1(a>b,b>0),由

题意,易求 c=2 5. ?3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ 2 - 2=1. a b 又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8. x2 y2 故所求双曲线方程为12- 8 =1.

第二章

2.3

第1课时

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x2 y2 解法二:设双曲线方程为 - =1, 16-k 4+k x2 y2 将点(3 2,2)代入得 k=4,故所求双曲线方程为12- 8 = 1.

第二章

2.3

第1课时

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建模应用引路

命题方向

双曲线的离心率

[例 3]

x2 y2 设双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l a b

3 过(a,0)、(0,b)两点,且原点到直线 l 的距离为 c,求双曲 4 线的离心率. [分析] 由截距式得直线 l 的方程,再由双曲线中 a、b、

c c 的关系及原点到直线 l 的距离建立等式,从而解出 的值. a

第二章

2.3

第1课时

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[解析] ab=0.

由 l 过两点(a,0),(0,b),得 l 的方程为 bx+ay-

3 ab 3 由原点到 l 的距离为 4 c 得, 2 2= 4 c. a +b 将 b= c2-a2代入平方后整理得, a2 2 a2 16(c2 ) -16· c2 +3=0. a2 a2 3 1 解关于c2 的一元二次方程得c2 =4或4. c 2 3 ∵e=a,∴e= 3 或 e=2.
第二章 2.3 第1课时

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a2+b2 c 因 0<a<b,故 e= = = a a

b2 1+ 2> 2, a

2 3 所以应舍去 e= 3 ,故所求离心率 e=2.

第二章

2.3

第1课时

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[点评]

2 3 此题易得出错误答案:e=2 或 e= . 3

其原因是未注意到题设条件 0<a<b,从而离心率 e> 2.而 2 3 3 < 2,故应舍去.

第二章

2.3

第1课时

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x2 y2 (2013· 北京理,6)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则 a b 其渐近线方程为( A.y=± 2x 1 C.y=± 2x
[答案] B

) B.y=± 2x 2 D.y=± 2 x

第二章

2.3

第1课时

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[解析] 质.

本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性

因为离心率 e= 3,所以 c= 3a,即 b= 2a,因为双曲 线的焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为 y=± 2x.选 B.

第二章

2.3

第1课时

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探索延拓创新

命题方向

最值问题

[例 4]

设双曲线中心是坐标原点,实轴在 y 轴上,离心

5 率为 ,已知点 P(0,5)到这双曲线上的点的最近距离是 2, 2 求双曲线方程.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

y2 x2 设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),因为离心

c 5 y2 2 率 e=a= 2 ,所以 a=2b,所以所求双曲线方程为 4 -x =b2. 设 Q(x,y)为双曲线上一点,依题意 |PQ|= x +?y-5? =
2 2

5 2 2 ? y - 4 ? + 5 - b , 4

其中 y≥2b,若 2b≤4,当 y=4 时,|PQ|最小=2. 从而,5-b2=4,即 b2=1, y2 2 双曲线方程为 -x =1. 4
第二章 2.3 第1课时

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5 若 2b>4,当 y=2b 时,|PQ|最小=2,从而4(2b-4)2+5-b2 7 3 =4,所以 b=2或 b=2(与 b>2 矛盾). y2 4x2 所以双曲线方程为49- 49 =1. y2 2 y2 4x2 故所求双曲线方程为 -x =1 或 - =1. 4 49 49

第二章

2.3

第1课时

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x2 y2 点 A、B 分别是椭圆 + =1 长轴的左、右端点,点 F 36 20 是椭圆的右焦点. 点 P 在椭圆上, 且位于 x 轴的上方, PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的点,M 到直线 AP 的距离等于 |MB|,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

第二章

2.3

第1课时

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[解析] 为(x,y),

(1)由已知可得点 A(-6,0)、F(4,0),设点 P 的坐标

→ → 则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y),
2 2 x y ? ? + =1 由已知得?36 20 , 2 ? ??x+6??x-4?+y =0

3 消去 y 得,2x +9x-18=0,∴x=2或 x=-6.
2

3 5 3 由于 y>0,只能 x= ,于是 y= . 2 2 ∴点 P
?3 5 3? ? 的坐标是? , ?2 ?. 2 ? ?
第二章 2.3 第1课时

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(2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0,设点 M 的坐标为 |m+6| |m+6| (m,0),则 M 到直线 AP 的距离是 ,于是 =|m-6|, 2 2 又-6≤m≤6,解得 m=2. 设椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离为 d, 4? 9?2 ∴d =(x-2) +y = ?x-2? +15, 9? ?
2 2 2

9 ∵-6≤x≤6,∴当 x=2时,d 取最小值 15.

第二章

2.3

第1课时

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名师辨误作答
[例 5] 已知⊙C1:(x+3)2+y2=1,⊙C2:(x-3)2+y2=9,

⊙P 与⊙C1、⊙C2 都相外切,求⊙P 的圆心 P 的轨迹方程. [错解] 由题设条件知,||PC2|-|PC1||=2,∴P 点在以 C1、

C2 为焦点的双曲线上,∴c=3,又 2a=2,∴a=1,∴b2=c2
2 y -a2=8,∴所求轨迹方程为 x2- =1. 8

第二章

2.3

第1课时

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[辨析]

∵⊙P 与⊙C1,⊙C2 都相外切,

∴|PC1|=R+1,|PC2|=R+3, ∴|PC2|-|PC1|=2,|PC1|-|PC2|≠2, 故所求轨迹应为双曲线的一支, 即靠近点 C1 的一支(左支).

第二章

2.3

第1课时

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[正解]

∵⊙P 与⊙C1 与⊙C2 都相外切,

∴|PC2|-|PC1|=2<|C1C2|, ∴P 点在以 C1、C2 为焦点的双曲线靠近 C1 的那一支上, ∵2a=2,∴a=1, 又 c=3,∴b2=c2-a2=8,
2 y ∴所求轨迹方程为 x2- =1(x≤-1). 8

第二章

2.3

第1课时

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方法规律总结

第二章

2.3

第1课时

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1.已知双曲线方程讨论其几何性质,应先将方程化为标 准形式,找出对应的 a,b,利用 c2=a2+b2 求出 c,再按定义 找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 2.已知双曲线的几何性质求标准方程一般用待定系数法; x2 y2 x2 y2 与双曲线 2- 2=1 共渐近线的双曲线方程为 2- 2=λ. a b a b

第二章

2.3

第1课时

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3.求双曲线的离心率,常常利用已知条件列出关于 a、b、 c 的等式,利用 a2+b2=c2 消去 b 化为关于 a、c 的齐次式,再 c 利用 e= 化为 e 的方程求解,若是求 e 的取值范围,则要结合 a 已知条件建立关于 a、c 的不等式,要特别注意 e 的限制条件.

第二章

2.3

第1课时

成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章

2.3

第1课时

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第二章
2. 3 双曲线

第二章

2.3

第1课时

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第二章
第 3 课时 直线与双曲线的位置关系

第二章

2.3

第1课时

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课前自主预习
课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业

方法规律总结

第二章

2.3

第1课时

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课程目标解读

第二章

2.3

第1课时

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1.了解直线与双曲线的位置关系及其判定方法. 2.会求直线与双曲线相交所得的弦长、弦中点等问题. 3.了解双曲线的实际应用背景,体会建立数学模型解决 实际问题的过程.

第二章

2.3

第1课时

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课前自主预习

第二章

2.3

第1课时

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1.直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线 l:y=kx+m(m≠0)① x2 y2 双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0) a b 把①代入②得 (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.

第二章

2.3

第1课时

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b (1)当 b -a k =0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近线 a
2 2 2

一点 . 平行 ,直线与双曲线 C 相交于________ ______
b (2)当 b -a k ≠0,即 k≠± 时, a
2 2 2

Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

Δ>0?直线与双曲线有______ 两个 公共点,此时称直线与双曲

相交 ; 线_______

一个 公共点,此时称直线与双曲 Δ=0?直线与双曲线有_____

相切 ; 线______

没有 公共点,此时称直线与双曲线 Δ<0?直线与双曲线______
相离 . _______

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

2.弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1,y1),B(x2, y2),则|AB|= 1+k2|x1-x2|
|x1-x2| = 1+k2________

= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 = = 1 1+k2|y1-y2| 1 1+ 2 ?y1+y2?2-4y1y2. k

第二章

2.3

第1课时

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重点难点展示

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

重点:双曲线的几何性质,直线与双曲线相交弦长问题. 难点:直线与双曲线相交弦长问题.

第二章

2.3

第1课时

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学习要点点拨

第二章

2.3

第1课时

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直线与双曲线的位置关系的判断方法: 1.方程思想:将直线与双曲线方程联立方程组,方程组 解的个数就是直线与曲线的交点的个数,要注意消去 x 或 y 后 的方程的解的讨论,不要漏解. 2.数形结合思想:判断直线与双曲线的交点情况,首先 要看直线是否过定点,再根据定点的位置和双曲线的渐近线的 斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.

第二章

2.3

第1课时

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课堂典例讲练

第二章

2.3

第1课时

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思路方法技巧

命题方向

直线与双曲线位置关系

[例 1]

已知双曲线 x2-y2=4,直线 l:y=k(x-1),在

下列条件下,求实数 k 的取值范围. (1)直线 l 与双曲线有两个公共点; (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线 l 与双曲线没有公共点. [分析] 要研究直线与双曲线的交点个数,通常需联立

直线与双曲线方程组成方程组,对方程解的个数进行讨论.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

2 2 ? ?x -y =4 ? ? ?y=k?x-1?

,消去 y 得,

(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*) (1)当 1-k2=0, 即 k=± 1 时, 直线 l 与双曲线渐近线平行, 方程化为 2x=5,故此方程(*)只有一个实数解,即直线与双曲 线相交,且只有一个公共点.

第二章

2.3

第1课时

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(2)当 1-k2≠0,即 k≠± 1 时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2- 4)=4(4-3k2).
2 ? ?4-3k >0 ①? 2 ? ?1-k ≠0

2 3 2 3 ,即- <k< ,且 k≠± 1 时,方程(*)有 3 3

两个不同的实数解,即直线与双曲线有两个公共点.
2 ? ?4-3k =0 ②? 2 ? ?1-k ≠0

2 3 ,即 k=± 3 时,方程(*)有两个相同的实

数解,即直线与双曲线有且仅有一个公共点.

第二章

2.3

第1课时

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2 ? 4 - 3 k <0 ? ③? 2 ? ?1-k ≠0

2 3 2 3 ,即 k<- 3 ,或 k> 3 时,方程(*)无实数

解,即直线与双曲线无公共点. 2 3 2 3 综上所述,当- 3 <k<-1,或-1<k<1,或 1<k< 3 时, 2 3 直线与双曲线有两个公共点;当 k=± 1,或 k=± 时,直线 3 2 3 2 3 与双曲线有且只有一个公共点;当 k<- ,或 k> 时,直 3 3 线与双曲线没有公共点.

第二章

2.3

第1课时

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2 π y 2 过双曲线 x - 3 =1 的左焦点 F1,作倾斜角为6的直线 l

与双曲线的交点为 A、B,则|AB|=________.
[答案] 3

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

双曲线焦点坐标为 F1(-2,0)、F2(2,0),直线 AB

3 的方程为 y= 3 (x+2),把该直线方程代入双曲线方程得,8x2 -4x-13=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 13 所以 x1+x2= ,x1x2=- . 2 8 |AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1 1+3×
?1? ? 13? 2 ? ? -4×?- ?=3. 8? ?2? ?

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

建模应用引路

命题方向

中点弦问题

[例 2]

2 y 已知双曲线的方程为 x2- =1. 2

试问:是否存在被点 B(1,1)平分的弦?如果存在,求出 弦所在的直线方程,如果不存在,请说明理由. [分析] 不妨假定符合题意的弦存在,那么弦的两个端

点应分别在双曲线的左右两支上,其所在直线的倾角也不可 . 能是 90°

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

解法一:设被 B(1,1)所平分的弦所在的直线方程

2 y 为 y=k(x-1)+1, 代入双曲线方程 x2- 2 =1, 得(k2-2)x2-2k(k

-1)x+k2-2k+3=0. ∴Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0. 2k?k-1? 3 解得 k<2,且 x1+x2= 2 . k -2 ∵B(1,1)是弦的中点, k?k-1? 3 ∴ 2 =1,∴k=2> . 2 k -2 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦.
第二章 2.3 第1课时

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解法二:设存在被点 B 平分的弦 MN,设 M(x1,y1)、N(x2, y2).
2 y ? 2 1 ?x1- 2 =1, 则 x1+x2=2,y1+y2=2,且? 2 y 2 ?x2 - =1. ? 2 2

① ②

1 ①-②得(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0. 2 y1-y2 ∴kMN= =2,故直线 MN:y-1=2(x-1). x1-x2

第二章

2.3

第1课时

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y-1=2?x-1? ? ? 由? 2 y2 消去 y 得,2x2-4x+3=0, x - =1 ? 2 ? Δ=-8<0. 这说明直线 MN 与双曲线不相交, 故被点 B 平分的弦不存 在.

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

x2 2 过点 P(4,1)的直线 l 与双曲线 -y =1 相交于 A、 B 两点, 4 且 P 为 AB 的中点,求 l 的方程.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

x2 1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 4 -y2 1=1,

x2 2 2 - y 2=1,两式相减得: 4 1 4(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0, ∵P 为 AB 中点, ∴x1+x2=8,y1+y2=2. y2-y1 ∴ =1,即所求直线 l 的斜率为 1, x2-x1 ∴l 方程为 y-1=x-4,即 x-y-3=0.
第二章 2.3 第1课时

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命题方向

探索延拓创新 综合应用问题

[例 3]

直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右

支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲 (2)是否存在实数 k, 线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理 由.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

(1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程

2x2-y2=1 后整理得, (k2-2)x2+2kx+2=0① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点, ?k2-2≠0 ? 2 2 ?Δ=?2k? -8?k -2?>0 ? 2k 故?- 2 >0 ? k -2 ? 2 ?k2-2>0 ?



解得 k 的取值范围为-2<k<- 2.
第二章 2.3 第1课时

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(2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由①式 得 ? ?x1+x2= 2k 2 2-k ? ? 2 ?x · 1 x2= 2 ? k -2 ?



假设存在实数 k, 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 6 的右焦点 F( ,0),则 FA⊥FB, 2

第二章

2.3

第1课时

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6 6 ∴(x1- )(x2- )+y1y2=0, 2 2 6 6 即(x1- )(x2- )+(kx1+1)(kx2+1)=0. 2 2 6 5 (1+k )x1x2+(k- )(x1+x2)+ =0, 2 2
2

2 6 2k 5 ∴(1+k )·2 +(k- )· 2+ =0, 2 2-k 2 k -2
2

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

化简得 5k2+2 6k-6=0. 6+ 6 6- 6 解得 k=- ,或 k= ?(-2,- 2)(舍去). 5 5 6+ 6 可知 k=- 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 5 的右焦点.

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l: y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A → → 和 B,且OA· OB>2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围.

第二章

2.3

第1课时

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[解析]

x2 y2 (1)设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0).

由已知得 a= 3,c=2,于是 a2+b2=22,b2=1, x2 2 故双曲线 C 的方程为 3 -y =1.

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

x2 2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y =1,得 3 (1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点,得
2 ? ?1-3k ≠0 ? 2 2 2 ? ?Δ=?6 2k? +36?1-3k ?=36?1-k ?>0



1 即 k ≠ 且 k2<1. 3
2

设 A(xA,yA),B(xB,yB),

第二章

2.3

第1课时

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-9 6 2k 则 xA+xB= ,x x = . 1-3k2 A B 1-3k2 → → 由OA· OB>2,得 xAxB+yAyB>2. xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2) =(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2
2 - 9 3 k +7 6 2 k 2 =(k +1) + 2k +2= 2 . 1-3k2 1-3k2 3k -1

第二章

2.3

第1课时

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3k2+7 -3k2+9 于是 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1 1 2 解得 <k <3,又∵k2<1, 3 1 2 ∴3<k <1, 3 3 故 k 的取值范围为(-1,- 3 )∪( 3 ,1).

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

名师辨误作答 2 y [例 4] 已知双曲线 x2- 4 =1, 过点 P(1,1)的直线 l 与双曲
线只有一个公共点,求直线 l 的斜率 k 的值. [错解] 设 l: y=k(x-1)+1, 代入双曲线方程, 得(4-k2)x2

- (2k - 2k2)x - k2 + 2k - 5 = 0. 由题意, Δ = (2k - 2k2)2 - 4(4 - 5 k )· (-k +2k-5)=0,所以 k= . 2
2 2

[辨析]

错因在于忽视了 4-k2=0,即 l 与双曲线的渐近

线平行时,l 与双曲线只有一个交点也符合题意.另外没有考 虑直线 l 斜率不存在的情况.
第二章 2.3 第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

[正解]

可分两种情况:(1)直线 l 斜率不存在时,l:x=1

与双曲线相切,符合题意;(2)直线 l 斜率存在时,设 l 方程为 y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2 +2k-5=0,当 4-k2=0 时,k=± 2,即 l 与双曲线的渐近线 平行时, l 与双曲线只有一个公共点; 当 4-k2≠0 时, 令 Δ=0, 5 5 所以 k= .综上,k= 或 k=± 2 或 k 不存在. 2 2

第二章

2.3

第1课时

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方法规律总结

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

1.判断已知直线与双曲线的位置关系,将直线与双曲线 方程联立,消去 y(或 x).则二次项系数为 0 时,直线与双曲线 的渐近线平行(或重合),直线与双曲线只有一个公共点(或无公 共点);二次项系数不等于 0 时,若 Δ>0 则直线与双曲线有两 个公共点,Δ=0 有一个公共点,Δ<0 无公共点.

第二章

2.3

第1课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

2.中点弦问题,(一)可以用联立方程组消元后,用判别式 和中点坐标公式求解; (二)可以用点差法和中点坐标公式求解. 3.已知直线与双曲线的位置关系求参数的值或取值范围 时,(一)联立方程消元后用判别式、根与系数关系求解; (二) 数形结合求解,注意平行于双曲线渐近线的直线与双曲线只有 一个公共点.

第二章

2.3

第1课时


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