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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则


1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则

基本初等函数的导数公式: ' = 1. 若f ( x ) c(c为常数),则 f ( x ) = 0;
2. 若f ( x ) = x(n ? Q ),则 f ( x ) = nx ; ' = 3. 若f ( x ) sin x,则 f ( x ) = cos x; 对基本初等


n
* '

n -1

式,除部分上 ' x x = = 5. 若f ( x ) a ,则 f ( x ) a ln a; 一节已经证明 ' x x 过,其他的只 = = 6. 若f ( x ) e ,则 f ( x ) e ; 需要熟记,会 1 ' 7. 若 f ( x ) = log a x,则 f ( x ) = ; 用即可.

' 函数的导数公 = = 4. 若f ( x ) cos x,则 f ( x ) sin x;

1 8. 若f ( x ) = ln x,则 f ( x ) = . x
'

x ln a

x 1 3 的导数. 思考:求函数 f ( x ) = ln x ? - 4 x , f ( x ) = x 2 x 2 -x

用公式求函数的导数是非常便捷的,但是这些函 数的导数却不能应用上面的公式求得,因此我们只 好应用导数的定义来计算了,这是比较麻烦的! 那么有没有简单一些的运算法则可以应用呢?这 正是我们要解决的问题——函数的和、差、积、商的 求导法则. 根据导数的定义,可以推出导数的运算法则 .

法则1:

[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
即两个函数的和(或差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(或差).

应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx (2)y=x4-x2-x+3.
和差导数可推广到任意有限个

法则2: 推论: [cf(x)]′=cf′(x)
' '

? f ( x) ? g ( x) ? = f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)
'

即两个函数积的导数,等于第一个函数的导 数乘上第二个函数,加上第一个函数乘上第 二个函数的导数.

应用2:求下列函数的导数

(1)y=(2x2+3)(3x-2)

(2)y=(1+x6)(2+sinx)

? ? f ( x) ? f ?( x ) g ( x ) - f ( x ) g ?(x ) ? g ( x) ? = 2 ? ? ? g ( x) ?
注意:商的导数分子中间是“-”,先子导再母导。

法则3:

应用3:求下列函数的导数

(1)y=tanx
x +3 (2)y = 2 x +3

导数的运算法则:
1. ? f ( x ) ? g( x )? = f ?( x ) ? g?( x ); ?

2. [ f ( x ) g( x )]? = f ?( x ) g( x ) ? f ( x ) g?( x );
特别地: [cf ( x )]? = c ' ff?( x ) ? c

f ?( x )

' ? f ( x ) ? f ?( x ) g( x ) - f ( x ) g ?( x ) ( g ( x ) ? 0). 3. ? = ? 2 g ( x) ? g( x ) ?

例1. (1)求函数f ( x ) = x ? sin x的导数; 3 2 3 (2)求函数g( x ) = x - x - 6 x ? 2的导数. 2 2 ? 解:(1) f ( x) = ( x ? sin x)?
2

= ( x )? ? (sin x )? = 2 x ? cos x . 3 2 3 (2) g?( x ) = ( x - x - 6 x )? 2 3 2 3 = ( x )? - ( x )? - (6 x )? 2 = 3 x 2 - 3 x - 6.
2

例2. (1)求函数h( x ) = x sin x的导数;

(2)求函数f ( x ) = 2 x ln x的导数;

(3) 求函数y = (2 x ? 3)(3 x - 2)的导数.
2

解:(1) h?( x ) = ( x sin x )? = x? sin x ? x(sin x )? = sin x ? x cos x . (2) f ?( x ) = (2 x ln x )?
= (2 x )? ln x ? (2 x )(ln x )?
= 2 ln x ? 2.

(3) 求函数y = (2 x ? 3)(3 x - 2)的导数.
2

解:y? = ( 2 x 2 ? 3)?( 3 x - 2) ? ( 2 x 2 ? 3)( 3 x - 2)?
= 4 x ( 3 x - 2) ? ( 2 x 2 ? 3) ? 3

= 18 x - 8 x ? 9.
2

2 3 2 法二: ? y = (2 x ? 3)(3 x - 2) = 6 x - 4 x ? 9 x - 6

? y ' = (6 x )'- (4 x )'? (9 x)'- (6)'
3 2

= 18 x - 8 x ? 9.
2

例3 求下列函数的导数. x2 3 x2 - x x ? 5 x - 9 (1) y = ;(2)y = tan x ; (3) y = . sin x x
2 2 ( x )' sin x x (sinx )' 解: (1) y' = sin2 x

2 x sin x - x 2 cos x = . 2 sin x

(2) y' = (tanx)' = ( sin x )' cos x (sin x )' cos x - sin x (cos x )' cos 2 x ? sin 2 x = = 2 cos x cos 2 x 1 = . 2 cos x

2 3 x x x ? 5 x 9 ( 3) y = x

解: 3 2 -1 x x 5 x 3 x 9 = 3x 2 - x ? 5 - 9x 2 ? y= ? x x x x
? y' = 9 x - 1 ? 0 ? 9 x 2 2 = 9 x (1 ? 12 ) - 1 . 2 x
1 2 -3 2

1.多项式的积的导数,通常先展开再求导更简便. 2.含根号的函数求导一般先化为分数指数幂,再求导.

练习1. 求下列函数的导数. x2 ? 1 x (1 - 2 cos2 x ) . ( 2 ) y = sin (1) y = ; 2 4 x 解:
( x ? 1)'? x - ( x ? 1) ? ( x )' (1) y ' = ( x )2 1 2 x 2 - ( x 2 ? 1) x 2 - 1 = 1- 2 . = = 2 2 x x x
2 2

1 x2 ? 1 法 2: = x? ?y= x x 1 1 -1 1 -2 ? y ' = ( x ? )' = ( x )'? ( ( x )')'= 1 - x = 1 - 2 . x x x

练习1. 求下列函数的导数. x2 ? 1 x (1 - 2 cos2 x ) . ( 2 ) y = sin (1) y = ; 2 4 x
x 2 x 解: (2) y = - sin (1 - 2cos ) 2 4 x x 1 = sin cos = sin x , 2 2 2

? y' = ( 1 sinx )' = 1 cos x . 2 2

x?3 2. 求 y = 2 在点x = 3处的导数. x ?3 2 2 ( x ? 3)'? ( x ? 3) - ( x ? 3) ? ( x ? 3)' 解: y ' = 2 2 ( x ? 3)
1 ? ( x 2 ? 3) - ( x ? 3) ? 2 x - x 2 - 6 x ? 3 = = 2 2 2 2 ( x ? 3) ( x ? 3)

? 当x = 3时,
1 -3 - 6 ? 3 ? 3 =- . f ?(3) = 2 2 6 (3 ? 3)
2

例4:求曲线y=x3+3x-8在x=2处的切 线的方程. 解: f ?( x) = ( x 3 ? 3 x - 8)? = 3 x 2 ? 3
2 ? ? f (2) = 3 ? 2 ? 3 = 15.

又曲线过点(2, 6 ), ? 切线方程为 : y - 6 = 15( x - 2)

即 15 x - y - 24 = 0.

高考链接
(2008全国Ⅱ卷文)设曲线 y = ax 在点(1,
2

a ) 处的切线与直线 2 x - y - 6 = 0

平行,则
A.1
C. 1 2

a =( A )

1 B. 2

D.-1

导数的运算法则:
1. ? f ( x ) ? g( x )? = f ?( x ) ? g?( x ); ?

2. [ f ( x ) g( x )]? = f ?( x ) g( x ) ? f ( x ) g?( x );
特别地: [cf ( x )]? = c ' ff?( x ) ? c

f ?( x )

' ? f ( x ) ? f ?( x ) g( x ) - f ( x ) g ?( x ) ( g ( x ) ? 0). 3. ? = ? 2 g ( x) ? g( x ) ?


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