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4.7.3二倍角的正弦余弦正切


学习目标:
(1)进一步熟悉两角和与差、二倍角的正 弦、余弦、正切公式的内在联系. (2)培养综合运用公式的能力;较熟练运 用公式解决三角问题. 重点:熟练、灵活的“三用”公式.

难点:三角公式的综合应用.

熟悉两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式 的内在联系:

S 2? C 2?
相除



???

S (? ? ? ) 以 ? ? 代? S (? ? ? ) C (? ? ? ) C (? ? ? )
相除 相除

T2?

???

T(? ? ? ) 以 ? ? 代?

T(? ? ? )

(1)注意公式中和角 差角、 倍角是相对的 、 . ( 2)对公式要 三会".即会正用 会逆用 会变形用 " , , .

了解下列式子: 1 ? cos? 2 ?
si n cos
2

? ?
2

2

?

2 tan ? tan sin 2? ? ; 2 2 1 ? tan ? 2 1 ? tan ? ? sin? 1 ? cos? tan ? ? cos 2? ? ; 2 2 1 ? cos? sin? 1 ? tan ? 可以称为半角公式. tan 2? ? 2 tan ? . 2 1 ? tan ?
2

2 1 ? cos? ? ; 2 1 ? cos? ? . 1 ? cos?

;

可以称为万能公式.

了解下列式子:
1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]; 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]; 2 1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]; 可以称为积 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]. 化和差公式. 2 ? ?? ? ?? si n? ? si n? ? 2 si n cos ; 2 2 ? ?? ? ?? si n? ? si n? ? 2 cos si n ; 2 2 ? ?? ? ?? cos? ? cos? ? 2 cos cos ; 2 2 可以称为和 ? ?? ? ?? cos? ? cos? ? ?2 si n si n . 差化积公式. 2 2

2 例1.求证 : (cot ? tan ) ? (1 ? tan? tan ) ? 2 2 2 sin? ?
分析一: 从繁向易证统一为 角. , 2

?

?

?

分析二: 从繁向易证 "切化弦 法. , "

例2.已 知3 sin2 ? ? 2 sin2 ? ? 1,3 sin2? ? 2 sin2? ? 0, 求 证; cos( ? 2? ) ? 0. ? 分析 : cos(? ? 2? ) ? cos ? cos 2? ? sin ? sin 2? (1) 由条件得cos 2? ? 3 sin 2 ? ,3 sin 2? sin 2? ? 3 sin ? cos ? ,
代入(1)式即可证 .

变式. 已知?、 ? ? (0, )且3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1, 2 3 sin 2? ? 2 sin 2? ? 0,求? ? 2? 的值.

?

例3.已知 tan ? ? 3(1 ? m), tan(? ? ) ? 3(tan ? ? tan ? ? m) 又? , ? 都是钝角, 求? ? ?的值. 分析 : 两式作差, 得 : tan ? ? tan ? ? 3 (1 ? tan ? ? tan ? ) tan ? ? tan ? 即 ? 3 ? tan( ? ? ? ) ? 3 1 ? tan ? ? tan ? 4? 又? , ? 都是钝角? ? ? ? ? ? ? 2? ,? ? ? ? ? ,
例4.已知 tan ? , tan ? 是关于x的一元二次方程x ? px ? 2 ? 0 sin(? ? ? ) 的两实根, 求 的值. cos(? ? ? ) sin( ? ? ? ) sin ? cos ? ? cos ? sin ? 分析 : ? ? cos(? ? ? ) cos ? cos ? ? sin ? sin ?
2

3

tan ? ? tan ? ? , 再应用根与系数关系, 代入即可. 1 ? tan ? ? tan ?

3 ? 例5.已知 sin 2? ? , ? ? (0, ), 求 5 4
分析 : 原式 ?

2 cos

2

?
2

? sin ? ? 1

cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 分析二: 原式 ? ? ? ? . ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 2 2 sin(? ? ) 4

cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 4 ? ? ? ? 2 sin(? ? ) 2 sin(? ? ) 4 4 ? 1 ? cos( ? 2? ) ? 1 ? sin 2? 1 2 ? tan( ? ? ) ? ? ? . ? 4 cos 2? 2 sin( ? 2? ) 2

2 sin(? ? ) 4 ? ? 2 sin(? ? ) 2 sin(? ? )

?

的值.

4 ? 2 cos(? ? ) 4

2 tan ? 3 1 注 : sin 2? ? ? ? tan ? ? , tan ? ? 3(舍去). 2 3 1 ? tan ? 5

?

例6若0 ? ? ? 90 ,求?取何值时 Y ? tan ? ? cot ? , 的值最小?
? ?

2 分析: Y ? tan ? ? cot ? ? ,当sin 2? ? 1时,即? ? 45 ? 时Ymin ? 2. sin 2? sin3 x sin3 x ? cos 3 x cos3 x 例7.求 函 数 ? y ? sin2 x的 最 小 值 . 2 cos 2 x

分析 : sin 3 x sin 3 x ? cos 3 x cos 3 x ? sin 3 x sin x sin 2 x ? cos 3 x cos x cos 2 x ? sin 3 x sin x(1 ? cos 2 x ) ? cos 3 x cos x(1 ? sin 2 x ) ? (cos 3 x cos x ? sin 3 x sin x ) ? cos x sin x (sin 3 x cos x ? cos 3 x sin x ) 1 ? cos 2 x ? sin 2 x sin 4 x ? cos 2 x ? sin 2 2 x cos 2 x 2 ? cos 2 x (1 ? sin 2 2 x ) ? cos 3 2 x

sin3 x sin3 x ? cos 3 x cos3 x 例7.求 函 数 ? y ? sin2 x的 最 小 值 . 2 cos 2 x

分析二: sin 3 x sin 3 x ? cos 3 x cos 3 x 2 2 ? sin 3 x sin x sin x ? cos 3 x cos x cos x 1 1 2 ? ? (cos 4 x ? cos 2 x ) sin x ? (cos 4 x ? cos 2 x ) cos 2 x 2 2 1 1 2 2 ? cos 2 x(sin x ? cos x ) ? cos 4 x(cos 2 x ? sin 2 x ) 2 2 1 1 1 ? cos 2 x ? cos 4 x cos 2 x ? cos 2 x(1 ? cos 4 x ) ? cos 3 2 x 2 2 2


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