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南海一中周末高二文科数学基础进阶练习03 - 详细答案


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南海一中周末高二文科数学基础进阶练习 03(2013 年 4 月 13 日)
基础进阶练习 03 参考答案(教师版)
1-5、B D D A B;6-10、B C C A D 11.63. 12. [2,6] . 13.

5 .

3
3 2

14.
2

4 5 . 5

15. 2 .

16.解:(1) ? OM ? ON ? ? , ? sin

???? ? ????

? ? 2cos 2 ? ? ? ,

3 2

3 1 5 ? sin 2 ? ? 2(1 ? sin 2 ? ) ? ? , 解得 sin 2 ? ? , cos 2 ? ? 6 2 6 1 5 所以 M ( ,1) , N (1, ? ) ??????.6 分 3 6 1 5 5 (2)由(1)可知 M ( ,1) , N (1, ? ) ? tan ? ? 6 , tan ? ? ? ??.10 分 3 6 3 5 6? tan ? ? tan ? 13 3 ??.12 分 ? tan(? ? ? ) ? ? ? 5 33 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 6 ? (? ) 3
【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式, 以及向量的有关知识.考查了运算能力.

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 17.解:(1)由已知,得 ? (a ? 3) ? (a ? 4) ???3 分;解得 a2 ? 2 . 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
设数列 {an } 的公比为 q ,则 a1q ? 2 ,∴ a1 ?

2 ,a3 ? a1q 2 ? 2q . q

由 S3 ? 7 ,可知

2 ? 2 ? 2q ? 7 ,∴ 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 , q

解得 q1 ? 2,q2 ?

1 .由题意,得 q ? 1 , ?q ? 2 . 2
n ?1

???5 分

∴ a1 ? 1 .故数列 {an } 的通项为 an ? 2



?7 分

an 2n ?1 1 1 ? n ?1 (2)∵ bn ? , ????11 分 ? n ?1 ? n n (an ? 1)(an ?1 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
∴ Sn ? ?

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 2 ??? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n?1 ? n ? ? 1?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ?

?

1 1 1 1 1 ? n ? ? n ? .?????????????????14 分 1?1 2 ?1 2 2 ?1 2

【说明】 考查了等差数列、 等比数列的概念及其性质, 考查了数列求和的 “裂项相消法” ;

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考查了学生的运算能力和思维能力. 18.解:(1)? C 为圆周上一点,且 AB 为直径,??C ? 90?

? ?CAB ?

?

4

, ? AC ? BC, ∵ O 为 AB 中点,?CO ? AB ,

? AB ? 2,?CO ? 1 .∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB ,
∴ CO ? 平面 ABD ,?CO ? 平面 BOD . ∴ CO 就是点 C 到平面 BOD 的距离, 在 Rt ?ABD 中, S?BOD ?

1 1 1 3 , S?ABD ? ? ?1? 3 ? 2 2 2 4

1 1 3 3 . ???????????????4 分 ?VC ? BOD ? S?BOD ? CO ? ? ?1 ? 3 3 4 12
(2)在 ?AOD 中,? ?OAD ? 60?, OA ? OD, ??AOD 为正三角形, 又? E 为 OA 的中点,? DE ? AO , ∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB , ? DE ? 平面 ABC .∴ CB ? DE . ????9 分

? 的中点.证明如下:连接 OG, OF , FG ,∴ OG ? BD , (3)存在, G 为 BD
∵ AB 为⊙ O 的直径,∴ AD ? BD ∴ OG // AD , ? OG ? 平面 ACD , AD ? 平面 ACD ,∴ OG // 平面 ACD . 在 ?ABC 中, O, F 分别为 AB, BC 的中点,?OF // AC ,

OF ? 平面 ACD ,?OF // 平面 ACD ,? OG ? OF ? O, ∴平面 OFG // 平面 ACD ,
又 FG ? 平面 OFG ,? FG // 平面 ACD .???????14 分 19、解:(I)解: 当a ? 0时,f ( x) ? x e ,f ' ( x) ? ( x ? 2 x)e ,故f ' (1) ? 3e.
2 x 2 x

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为3e.
(II) 解:f ' ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ? 4a e .
2 2 x

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得x ? ?2a,或x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

?? ?, ? 2a ?
+ ↗

? 2a
0 极大值

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值

?a ? 2, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??, ? 2a), (a ? 2, ? ?)内是增函数,在(?2a,a ? 2)内是减函数.

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函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值f (?2a),且f (?2a) ? 3ae ?2a . 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a ?2 .
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

a?2
0 极大值

?a ? 2, ? 2a ?
— ↘

? 2a
0 极小值

?? 2a, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??,a ? 2), (?2a, ? ?)内是增函数,在(a ? 2, ? 2a)内是减函数。
函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a ?2 . 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值f (?2a),且f (?2a) ? 3ae ?2a .
20、解:(Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3x(ax ? 2) .
2

因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2a ? 2) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点. (Ⅱ)由题设, g ( x) ? ax ? 3(a ? 1) x ? 6 x . g (0) ? 0 当 g ( x) 在区间 [0, 2] 上的最大值
3 2

为 g (0) 时, ax ? 3(a ? 1) x ? 6 x ? 0 对一切 x ? ?0,2?都成立,
3 2

3x ? 6 3x ? 6 对一切 x ? ?0,2?都成立.令 ? ( x) ? 2 , x ? ?0,2?,则 2 x ? 3x x ? 3x ? 3( x ? 2) 2 ? 6 3x ? 6 a ? ?? ( x)?min 由 ? ?( x) ? 可知 ? ( x) ? 2 在 x ? ?0,2?上单调递减, ? 0, 2 2 ( x ? 3 x) x ? 3x 6 6? ? 所以 ?? ( x)?min ? ? (2) ? , 故 a 的取值范围是 ? ??, ? 5 5? ? 2 解法二:也即 ax ? 3(a ? 1) x ? 6 ? 0 对一切 x ? ?0,2?都成立, (1)当 a=0 时,-3x-6<0 在 x ? ?0,2?上成立; 3(a ? 1) 2 (2)当 a ? 0 时,抛物线 h( x) ? ax ? 3(a ? 1) x ? 6 的对称轴为 x ? ? , 2a 3(a ? 1) 当 a<0 时,? 有 h(0)= -6<0, 所以 h(x)在 (0,??) 上单调递减, h(x) <0 恒成立; ? 0, 2a 6 当 a>0 时,因为 h(0)= -6<0,,要使 h(x)≤0 在 x ? ?0,2?上恒成立,只需 h(2) ≤0 成立,解得 a≤ ; 5
解法一:即 a ? 综上, a 的取值范围为 ? ??, ?

? ?

6? 5?
1 ? (ln x ? a) x2
令 f ?( x) ? 0得x ? e
1? a

21、(Ⅰ) f ( x)的定义域为(0,??), f ?( x) ? 当 x ? (0, e
1? a

3分

)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是增函数,当 x ? (e1?a ,??)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是减函数

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f ( x)在x ? e1?a 处取得极大值, f ( x) 极大值 ? f (e1?a ) ? e a ?1
(Ⅱ) (i) 当 e1?a ? e 2 时,a ? ?1时 , 由 (Ⅰ) 知 f ( x)在(0, e 上是减函数. ? f ( x) mx ? f (e1?a ) ? e a ?1 又 当
1? a

6分

1? a 2 在 (e , e ] ) 上是增函数,

8分 时 ,

x ? e ? a时, f ( x) ? 0,当x ? (0, e ? a ]时f ( x) ? 0.当x ? (e ? a , e 2 ]

f ( x) ? (0.e a ?1 )
所以 f ( x)与图象g ( x) ? 1 的图象在 (0, e ] 上有公共点,等价于 e a ?1 ? 1
2

.解得 a ? 1, 又a ? ?1, 所以a ? 1 (ii)当 e ∴
1? a

11 分

? e 2即a ? ?1 时, f ( x)在(0, e 2 ] 上是增函数,
2?a e2
所 以 原 问 题 等 价 于

f ( x)在(0, e 2 ]上的最大值为f (e 2 ) ?

2?a ? 1, 解得a ? e 2 ? 2. 2 e

又? a ? ?1 ,∴无解 13 分
[来源:Z,xx,k.Com]

综合(i)(ii)得 a ? 1 .

14 分

22、(Ⅰ)由 a=0, f ( x) ? g ( x) 可得 ?m ln x ? ? x ,即 m ? 记? ?

x ┉┉┉2 分 ln x

x ,则 f ( x) ? g ( x) 在(1,+∞)上恒成立等价于 m ? ? ( x)min . ln x ln x ? 1 求得 ? '( x) ? ┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 ln 2 x
当 x ? (1, e) 时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 ┉┉┉┉┉┉┉┉5 分 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值,即 ? ( x)min ? ? (e) ? e ,故 m ? e . ┉┉┉7 分 (Ⅱ)函数 k ( x) ? f ( x) ? h( x) 在 ?1,3? 上恰有两个不同的零点等价于方程 x ? 2ln x ? a , 在 ?1,3? 上恰有两个相异实根.┉8 分。令 g ( x) ? x ? 2ln x ,则 g '( x) ? 1 ? 当 x ?[1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0

2 ┉10 分 x

? g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数.
故 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2ln 2 ┉┉┉┉┉┉┉┉12 分 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3;∵g(1)>g(3),∴只需 g(2)<a≤g(3), 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉14 分


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