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上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研(二模)数学理试题(WORD版)


上海市闵行区 2014 届高三下学期教育质量调研(二模)

数 学 试 卷(理科)
一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n 2 ? 3n ? 1 2x 1 2.关

于方程 ? 1 的解为 x 3 2 ?3
1. lim
n ??

. . . . . .

1 ? ? , 0 ? x ? 1? ,则 ? UP = x ? ? ? ? ? ? ? ? 4.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1) , b ? (1, ?2) ,且 a ? b ,则 | a ? b |?
3.已知全集 U ? R ,集合 P ? ? y | y ? 5.在 △ ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ?
? ?

? 6.在极坐标系中, ? ? 2? ? 1(0 ? ? ? 2? ) 与 ? = 的交点的极坐标为 2 7.用一平面去截球所得截面的面积为 3? cm2,已知球心到该截面
的距离为 1 cm,则该球的体积是 cm3.
2

8.复数 z ? a ? bi ( a、b ? R ,且 b ? 0 ),若 z ? 4bz 是实数,则 有序实数对 (a,b) 可以是 . (写出一个有序实数对即可) 9.已知关于 x 的不等式 ax2 ? 3ax ? a ? 2 ? 0 的解集为 R ,则实 第 7 题图 数 a 的取值范围 . 10 .设摩天轮逆时针方向匀速旋转, 24 分钟旋转一周,轮上观光箱所在圆的方程为

1 3 观光箱 A 的坐标为 ( , ) ,则当 0 ? t ? 24 时(单 x2 ? y 2 ? 1.已知时间 t ? 0 时, 2 2 位:分) ,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 的函数的单调递减区间是 . a 4 11. 若不等式 ( x ? y )( ? ) ? 16 对任意正实数 x、 y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 . x y
12. 计算机毕业考试分为理论与操作两部分, 每部分考试成绩只记 “合格” 与 “不合格” , 只有当两部分考试都“合格”者,才颁发计算机“合格证书” .甲、乙两人在理论考 试中“合格”的概率依次为 、 ,在操作考试中“合格”的概率依次为 、 ,所 有考试是否合格,相互之间没有影响.则甲、乙进行理论与操作两项考试后,恰有 1 人获得“合格证书”的概率 .
*

4 2 5 3

1 5 2 6

13.已知数列 ?an ? ,对任意的 k ? N ,当 n ? 3k 时, an ? a n ;当 n ? 3k 时, an ? n ,
3

那么该数列中的第 10 个 2 是该数列的第

项.

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?sin ? x, x ? ?0, 2 ? ? 14.对于函数 f ( x) ? ? 1 ,有下列 4 个命题: ? f ( x ? 2), x ? (2, ??) ?2
①任取 x1、x2 ??0, ??? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立; ② f ( x) ? 2kf ( x ? 2k ) (k ? N* ) ,对于一切 x ??0, ??? 恒成立; ③函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点; ④对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? 则其中所有真命题的序号是

k ?9 ? 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ? , ?? ? . x ?8 ?


二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.下列命题中,错误 的是( .. ) . (A)过平面 ? 外一点可以作无数条直线与平面 ? 平行 (B)与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行 (C)若直线 l 垂直平面 ? 内的两条相交直线,则直线 l 必垂直平面 ? (D)垂直于同一个平面的两条直线平行 16. 已知集合 A ? {x x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? ?x 的充分非必要条件,则 a 的取值范围是( (A) 0 ? a ? 1 (B) a ? 2

? x?a ? “ x ? A” 是 “x? B” ? 0, a ? 0? ,若 ? x?2 ?
) . (C) 1 ? a ? 2 ) .
2

(D) a ? 1

17.若曲线 f ( x, y) ? 0 上存在两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线的自公 切线,下列方程的曲线有自公切线的是( (A) x ? y ?1 ? 0
2

(B) x ? 4 ? y ? 1 ? 0 (D) 3x ? xy ? 1 ? 0
2

(C) x ? y ? x ? x ?1 ? 0
2 2

18 .已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,向量 OP ? ? n,

Sn ? ???? ? Sm ? 1 ? ? m, ?, ? , OP n ? ? m? ??? ? ??? ? ???? ???? ? S ? n、m、k 表 OP2 ? ? k , k ? ? n、m、k ? N* ? ,且 OP ? ? ? OP ? ? ? OP 1 2 ,则用 ? k ? 示? ? ( ) . ? ?
k ?m k ?n
(B)

??? ?

(A)

k ?n k ?m

(C)

n?m k ?m

(D)

n?m n?k

三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤.

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19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 5 分. 如图,在体积为 3 的正三棱锥 A ? BCD 中,

A

BD 长为 2 3 , E 为棱 BC 的中点,求
(1)异面直线 AE 与 CD 所成角的大小(结果用 反三角函数值表示) ; A (2)正三棱锥 ? BCD 的表面积.

B E C
第 19 题图

D

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 如图,点 A、B 是单位圆 O 上的两点,点 C 是圆 O 与 x 轴的正半轴的交点,将锐角

? ? 的终边 OA 按逆时针方向旋转 到 OB .
3
(1)若点 A 的坐标为 ? ,

B

y A C O

1 ? sin 2? ?3 4? ? ,求 1 ? cos 2? 的值; ?5 5?

x

(2)用 ? 表示 BC ,并求 BC 的取值范围.
第 20 题图

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 6 分. 为了寻找马航 MH370 残骸,我国 “雪龙号” 科考船于 2014 年 3 月 26 日从港口 O 出 发, 沿北偏东 ? 角的射线 OZ 方向航行, 而在港口北偏东 ? 角的方向上有一个给科考船

2 1 ,c o s ? ? .现指挥部需要紧 3 13 急征调位于港口 O 正东 m 海里的 B 处的补给船,速往小岛 A 装上补给物资供给科考 船.该船沿 BA 方向全速追赶科考船,并在 C 处相遇.经测算 当两船运行的航线与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积 北 Z C S 最小时,这种补给方案最优. · 东 ·A (1)求 S 关于 m 的函数关系式 S ( m) ;
a n ?? 补给物资的小岛 A ,OA ? 300 13 海里, 且t
(2)应征调位于港口正东多少海里处的补给船只,补给方 案最优? O
第 21 题图

· B

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22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)、(3)小题满分 各 6 分. 设椭圆 ?1 的中心和抛物线 ?2 的顶点均为原点 O , 过 ?2 ?2 的焦点均在 x 轴上, ?1 、 的焦点 F 作直线 l ,与 ?2 交于 A、B 两点,在 ?1 、 ?2 上各取两个点,将其坐标记录于 下表中: (1)求 ?1 , ?2 的标准方程; (2)若 l 与 ?1 交于 C、D 两点, F0 为 ?1 的左焦点, 求

x
y

3

?2

4
?4

3
? 3 2

?2 3

0

S △ F0 AB S △ F0CD

的最小值;

(3)点 P、Q 是 ?1 上的两点,且 OP ? OQ ,求证:

y

A C

1 OP
2

?

1 OQ
2

为定值;反之,当

1 OP
2

?

1 OQ
2

为此

定值时, OP ? OQ 是否成立?请说明理由.

F0 O

F B D
第 22 题图

x

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第 (3)小题满分 8 分. 已知曲线 C 的方程为 y ? 4 x ,过原点作斜率为 1 的直线和曲线 C 相交,另一个交
2

点记为 P 1 ,过 P 1 作斜率为 2 的直线与曲线 C 相交,另一个交点记为 P 2 ,过 P 2 作斜率为

4 的直线与曲线 C 相交,另一个交点记为 P3 ,??,如此下去,一般地,过点 Pn 作斜
率为 2 的直线与曲线 C 相交,另一个交点记为 Pn ?1 ,设点 Pn ( xn , yn ) ( n ? N ) .
n

*

(1)指出 y1 ,并求 yn ?1 与 yn 的关系式( n ? N ) ;
*

(2)求 ? y2n?1?( n ? N )的通项公式,并指出点列 P 1 ,P 3 ,?, P 2 n ?1 ,? 向哪一点
*

无限接近?说明理由; (3)令 an ? y2n?1 ? y2n?1 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,设 bn ? 的乘积 bi ? bj (1 ? i ? j ? n) 的和.

1 3 Sn ? 1 4

,求所有可能

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数学试卷(理科)参考答案与评分标准
一. 填空题 1. ; 2. 2; 3.? ??,1? ; 4. 10 ; 5.2 3 ; 6. (理)(? ? 1, 7.(理)

1 3

?
2

)、

32 ? 3

8.

? 2,1? 或满足 a ? 2b 的任意一对非零实数对;

9. (理)

23 ? 8 ? 9 (理) 4; 12. (理) ; 13. 39366 ( 2 ? 3 ) 14. (理) [2,14] ; 11. ? ? , 0 ? ; 10. 45 ? 5 ?
①③ 、 . 二. 选择题 15. B; 16. A; 17.C; 18. C 三.解答题 19. 解: (1) 过点 A 作 AO ? 平面 BCD , 垂足为 O , 则 O 为 △BCD 的中心,

1 3 2 由 ? ? 2 ? 3 ? AO= 3 得 AO ? 1 (理 1 分文 2 分) 3 4 又在正三角形 BCD 中得 OE =1 ,所以 AE ? 2

A

???????????(理 2 分文 4 分) E 取 BD 中点 F ,连结 AF 、 EF ,故 EF ∥ CD , 所以 ? AEF 就是异面直线 AE 与 CD 所成的角. (理 4 分文 6 分) 在△ AEF 中, AE ? AF ? 所以 cos ?AEF ?

B

F O C

D

2 , EF ? 3 ,???????(理 5 分文 8 分)

第 19 题图

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 .???????(理 6 分文 10 分) ? 2 ? AE ? EF 4 6 所以,异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小为 arccos .??(理 7 分文 12 分) 4 (2)由 AE ? 2 可得正三棱锥 A ? BCD 的侧面积为 1 3 S ? 3 ? ? BC ? AE ? ? 2 3 ? 2 ? 3 6 ???????(理 10 分) 2 2 所以正三棱锥 A ? BCD 的表面积为 3 S ?3 6? ? BC 2 ? 3 6 ? 3 3 . ??????????(理 12 分) 4 3 4 20.解: (1)由已知, cos ? ? ,sin ? ? . ???(2 分) 5 5 24 7 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? . ???(4 分) 25 25 24 1? 1 ? sin 2? 25 ? 49 .??????????????????(6 分) = 7 1 ? cos 2? 1 ? (? ) 18 25 ? (2)由单位圆可知: OC ? OB ? 1,?COB ? ? ? , ????????(8 分) 3 2 2 2 由余弦定理得: BC ? OC + OB -2 OC OB cos ?COB
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?? ?? ? ? ? 1 ? 1 ? 2cos ? ? ? ? ? 2 ? 2cos ? ? ? ? 3? 3? ? ?

?????????(10 分)

? ? ? 3 1? ? ? ? 5? ? ? ? ?? ? , ? ?? ? ? 0, ? ,?? ? ? ? , ? ,? cos ? ? ? ? ? ? ? ??(12 分) 3? ? 3 ?3 6 ? ? ? 2? ? 2 2? ? 6? 2? 2 ????????(14 分) ? BC ? 1, 2 ? 3 ,? BC ? ? 1, ? ? ?. 2 ? ?

?

?

21.(1)以 O 点为原点,正北的方向为 y 轴正方向建立直角坐标系,?(1 分) 则 直 线 OZ 的 方 程 为 y ? 3x , 设 点 A ( x0 , y0 ) , 则 x0 ? 300 13sin ? ? 900 , , ???????(3 分) y0 ? 300 13 cos ? ? 600 ,即 A(900,600) 600 ( x ? m) ,????(4 分) 又 B(m,0) ,则直线 AB 的方程为: y ? 900 ? m 200m 600m , ) ,?(6 分) 由此得到 C 点坐标为: ( 北 Z m ? 700 m ? 700 y C· 1 300m2 东 ? S (m) ? | OB | ? | yC |? (m ? 700) ?(8 分) ·A 2 m ? 700 300 m 2 300 ? (2) 由 (1)知 S (m) ? ? (10 分) · x B m ? 700 ? 700 ? 1 O 2 m m 第 21 题图 300 300 ???(12 分) ? 700 1 1 1 2 1 ? 2 ? ?700( ? ) ? m m m 1400 2800 1 1 所以当 ? ,即 m ? 1400 时, S ( m) 最小, m 1400 300m2 300(t ? 700) 2 7002 ? ? 300(t ? ? 1400) (或令 t ? m ? 700 ,则 S (m) ? m ? 700 t t ? 840000 ,当且仅当 m ? 1400 时, S ( m) 最小) ∴征调 m ? 1400 海里处的船只时,补给方案最优. ???????(14 分) 22.解: (1) ? -2, 0 ?, ? 3,

? ? ?

3? -2 3 , -4 ? 在抛物线上, ? 4, ? 在椭圆上, 3, 2 ? ?

?

?

x2 y 2 ??1: ? ? 1, 4 3

?2 : y 2 ? 4 x. ???????(4 分)
S △ F0 AB

1 d ? AB AB (2)(理) 设F0到直线l的距离为d, =2 . ? S △ F0CD 1 CD d CD 2 F(1, 0) 是抛物线的焦点,也是椭圆的右焦点,①当直线 l 的斜率存在时, 设 l : y ? k ( x ? 1) , 设 A(x1 , y1),B(x 2 , y2) , C(x3 , y3),D(x 4 , y4)

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联立方程 ?

? y2 ? 4x ? y ? k ( x ? 1)
2

, 得 k 2 x2 ? ( 2 k 2 ? 4) x? k2 ? 0 , k ? 0 时 ? ? 0 恒成立.
2 2

2 16 ? 16k 2 4 ?1 ? k ? AB ? ?1 ? k ? ? x2 ? x1 ? ? ?1 ? k ? ? k4 k2 4 ?1 ? k 2 ? (也可用焦半径公式得: AB ? x1 ? x2 ? 2 ? )??????(5 分) k2 ? x2 y 2 ?1 ? ? 联立方程 ? 4 ,得 (3+4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , ? ? 0 恒成立. 3 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 12 ?1 ? k 2 ? 2 2 2 144 ? 144k CD ? ?1 ? k ? ? x3 ? x4 ? ? ?1 ? k ? ? , ??(6 分) (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2

?

S △ F0 AB S △ F0CD

=

3 ? 4k 2 1 4 4 k2 ? ? 2? ? . 3k 2 k 3 3 12 ?1 ? k 2 ? 3 ? 4k 2

4 ?1 ? k 2 ?

??????(8 分)

②当直线 l 的斜率不存在时, l : x ? 1 , 此时, AB ? 4 , CD ? 3 , 所以,

S △ F0 AB S △ F0CD

=

4 .???????????(9 分) 3
???????????(10 分)

S △ F0 AB S △ F0CD

的最小值为

4 . 3

(3) (理)证明:①若 P、Q 分别为长轴和短轴的端点,则 ②若 P、Q 都不为长轴和短轴的端点, 设 OP : y ? kx; 那么OQ : y ? ?

1 OP
2

?

1 OQ
2

=

7 .(11 分) 12

1 x. P(x P , yP),Q(xQ , yQ) k

? x2 y 2 12 12k 2 ?1 ? ? 2 2 , y ? 联立方程 ? 4 ,解得 xP ? ; ?????(12 分) 3 P 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? y ? kx ? ? x2 y2 ? ?1 ? 12k 2 12 ?4 3 2 2 , yQ ? 2 同理,联立方程 ? ,解得 xQ ? 2 ; 3k ? 4 3k ? 4 ?y ? ? 1 x ? k ? 1 1 1 1 7k 2 ? 7 7 ? ? ? ? ? ? (13 分) 2 2 2 2 2 12 12k 12k 12 12k ? 12 12 OP OQ ? ? 2 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3k ? 4 3k ? 4

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反之,对于 ?1 上的任意两点 P、Q ,当 设 OP : y ? k1 x , OQ : y ? k2 x ,易得
2 xP ?

1 OP
2

?

1 OQ
2

?

7 时, 12

12k12 12k2 2 12 12 2 2 2 ; , , y ? x ? , y ? P Q Q 4k12 ? 3 4k12 ? 3 4k22 ? 3 4k22 ? 3
2



1 OP

?

1 OQ
2

?

4k12 ? 3 4k2 2 ? 3 7 7 得 ? ? , 2 2 12 12k1 ? 12 12k2 ? 12 12
7 时, OP ? OQ 不成立 12

即 8k12k22 ? 7k12 ? 7k22 ? 6 ? 7(k12k22 ? k12 ? k 22 ? 1) ,亦即 k1k2 ? ?1,?(15 分) 所以当

1 OP
2

?

1 OQ
2

为定值

?????(16 分)

“反之”的方法二:如果有 OP ? OQ ,且 OQ 不在坐标轴上,作 OQ 关于坐标轴对称
' 的射线与 ?1 交于 Q' , OQ ? OQ ,显然, OP ? OQ 与 OP ? OQ' 不可能同时成立

23. 解: (1) y1 ? 4 .

?????????????(16 分) ??????????????????????(1 分)

? ? y 2 ? 4x n n ? ? 2 y n ?1 ? 4xn ?1 . ????(2 分) 设P n ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) ,由题意得 ? n ( xn , yn ) , P ?y ? y ? n ?1 n ? 2n ? ? xn ?1 ? xn
1 ? yn ?1 ? yn ? 4 ? ( ) n 2
???????(4 分)

1 ? y 2 n ? 2 ? y2 n ? 3 ? 4 ? ( ) 2 n ? 3 ? ? 2 (2)分别用 2n ? 3 、 2n ? 2 代换上式中的 n 得 ? 1 2n?2 ?y ? y 2 n ?1 2 n?2 ? 4 ? ( ) ? ? 2 1 1 ? y2 n ?1 ? y2 n ?3 ? ?2 ? ( ) 2n ?3 = ? ( ) n ?2 ( n ? 2 ) ??????(6 分) 2 4 8 4 1 又 y1 ? 4 ,? y2 n ?1 ? ? ( ) n ?1 ( n ? N* ) , ???????(8 分) 3 3 4 8 16 8 , ) 无限接近(10 分) 因 lim y2 n ?1 ? ,所以点列 P ,?, P2 n ?1 ,?向点 ( 1 ,P 3 n ??? 3 9 3 1 n ?1 4 ? 1 n? (3) (理)? an ? y2 n ?1 ? y2 n ?1 ? ?( ) ,? Sn ? ? ? ?1 ? ( ) ? . ??(11 分) 4 3 ? 4 ? b n ? 4n , bi ? bj ? 4i? j (1 ? i ? j ? n) . ???????(12 分)
将所得的积排成如下矩阵:

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? 41?1 ? ? A?? ? ? ? ?

41? 2 42? 2

41?3 ??? 41? n ? ? 42?3 ??? 42? n ? 43?3 ??? 43? n ? ,设矩阵 A 的各项和为 S . ? ??? ??? ? 4n ? n ? ? 41? 2 42 ? 2 43? 2 4n ? 2
n ?1

? 41?1 ? 2?1 ?4 在矩阵的左下方补上相应的数可得 B ? ? 43?1 ? ? ? 4n ?1 ?
矩阵 B 中第一行的各数和 s1 ? 4 ? 4 ? ? ? 4
2 3 3 4

41?3 ??? 41? n ? ? 42?3 ??? 42? n ? 43?3 ??? 43? n ? ? ??? ??? ? 4n ?3 4n ? n ? ?

?

矩阵 B 中第二行的各数和 s2 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ??? 矩阵 B 中第 n 行的各数和 sn ? 4
n ?1

n?2

16 n (4 ? 1) , 3 64 n ? (4 ? 1) , 3

? 4n ? 2 ? ? ? 4n ? n ?

4n?1 n (4 ? 1) ,???(15 分) 3

从而矩阵 B 中的所有数之和为 s1 ? s2 ? ? ? sn ? 所有可能的乘积 bi ? bj (1 ? i ? j ? n) 的和

16 n (4 ? 1) 2 . ??????(16 分) 9

s?

2 1 ?16 n ? 4 ? 1? ? ? 42 ? 44 ? ? ? 42 n ?? ? ? 42 ? 44 ? ? ? 42 n ? ? ? 2? 9 ? 2 n ?3 n?2 4 ? 5 ? 4 +16 ? . ??????????????????(18 分) 45

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