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圆锥曲线中的求轨迹题型大汇总(推荐)


一、直接法题型: 例 1 已知直角坐标系中,点 Q(2,0) ,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,动点 M 到圆 C 的切 线长与 MQ 的比等于常数 ? (? ? 0) ,求动点 M 的轨迹。 解:设 MN 切圆 C 于 N,则 MN
2

? MO ? ON 。设 M ( x, y) ,则
化简得 (?2 ? 1)(x 2

? y 2 ) ? 4?2 x ? (1 ? 4?2 ) ? 0

2

2

x 2 ? y 2 ? 1 ? ? ( x ? 2) 2 ? y 2

(1) 当 ? ? 1 时,方程为 x ?

5 ,表示一条直线。 4

(2) 当 ? ? 1 时,方程化为 ( x ?

2?2 2 1 ? 3?2 2 表示一个圆。 ) ? y ? ?2 ? 1 (?2 ? 1) 2

说明: 求轨迹方程一般只要求出方程即可, 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 变式: 如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1, O1O2 ? 4 ,过动点 P 分别作圆 O1 、圆 O2 的切 线 PM、PN(M、N 分别为切点) ,使得 PM ? 的轨迹方程.

2PN .试建立适当的坐标系,并求动点 P
P

解:以 O1O2 的中点 O 为原点, O1O2 所在的
M

直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 则 O1 (?2,0), O2 (2,0) 由已知 PM ?
O 1

N

O 2

2PN 可得: PM 2 ? 2 PN 2
2 2

因为两圆的半径均为 1,所以 PO1 ? 1 ? 2( PO2 ? 1) 设 P( x, y) ,则 ( x ? 2) ? 1 ? 2[(x ? 2) ? y ? 1] ,即 ( x ? 6) ? y ? 33
2 2 2 2 2

所以所求轨迹方程为: ( x ? 6) ? y ? 33 (或 x ? y ? 12x ? 3 ? 0 )
2 2 2 2

练习: (待定系数法题型)在 ?PMN 中, tan ?PMN ?

1 , tan ?MNP ? ?2 ,且 ?PMN 的 2

面积为 1,建立适当的坐标系,求以 M,N 为焦点,且过点 P 的椭圆方程。 二、定义法题型: 例 2 如图,某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑,挖出的土只能沿 0 AP、 BP 运到 P 处, 其中 AP=100m, BP=150m, ∠APB=60 , 问怎能样运才能最省工? 解:半圆上的点可分为三类:一是沿 AP 到 P 较近,二是沿 BP 到 P 较近,三 是沿 AP 或 BP 一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上,设 M 为分界

线上的任一点,则有

MA ? AP ? MB ? BP

,即

MA ? MB ? PB ? PA ? 50 ? AB ? 50 7 ,故 M 在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上。
建立如图直角坐标系,得边界的方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? 25) ,故运土时为了省工,在双 625 3750

曲线弧左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土沿 BP 运到 P 处,在曲线上面的土两边都可运。 说明:利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。 2 2 练习: 已知圆 O 的方程为 x +y =100,点 A 的坐标为(-6,0) ,M 为圆 O 上任一点,AM 的垂 直平分线交 OM 于点 P,求点 P 的方程。 解:由中垂线知, PA ? PM 故 PA ? PO ? PM ? PO ? OM ? 10 ,即 P 点的轨迹为 以 A 、 O 为 焦 点 的 椭 圆 , 中 心 为 ( -3 , 0 ) ,故 P 点的方程为

( x ? 3) 2 y 2 ? ?1 2 5 25 16
三、代入法题型: 2 2 例3 如图,从双曲线 x -y =1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N。求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程。 解:设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1) 则 N( 2x-x1,2y-y1)代入 x+y=2,得 2x-x1+2y-y1=2 ① 又 PQ 垂 直于直线 x+y=2,故

y ? y1 ? 1 ,即 x-y+y1-x1=0 x ? x1



由①②解方程组得 x1 ?
2 2

3 1 1 3 x ? y ? 1, y1 ? x ? y ? 1 , 代入双曲线方程即可得 P 点的轨 2 2 2 2

迹方程是 2x -2y -2x+2y-1=0 练习: 已知曲线方程 f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点, 关于 x 轴, 关于 y 轴, 关于直线 y=x, 关 于 直 线 y=-x , 关 于 直 线 y=3 对 称 的 曲 线 方 程 。 (f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0,f(x,6-y)=0) 四、参数法与点差法题型: 2 例 4 经过抛物线 y =2p(x+2p)(p>0)的顶点 A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于 B、C 两 点,求线段 BC 的中点 M 轨迹方程。 解:A(-2p,0),设直线 AB 的方程为 y=k(x+2p)(k ? 0).与抛物线方程联立方程组可解得 B 点的坐标为 (

2p 2p 1 ? 2 p, ) ,由于 AC 与 AB 垂直,则 AC 的方程为 y ? ? ( x ? 2 p) ,与抛 2 k k k
2

物线方程联立方程组可解得 C 点的坐标为 (2k p ? 2 p,?2kp) , 又 M 为 BC 中点, 设M (x,y) ,

p ? 2 ?x ? k 2 ? k p ? 2 p 2 则? ,消去 k 得 y =px,即点 M 的轨迹是抛物线。 p ? y ? ? kp k ?
五、交轨法与几何法题型

例 5 抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB,求抛物线的顶点 O 在直
2

线 AB 上的射影 M 的轨迹。 (考例 5) 解 1(交轨法) :点 A、B 在抛物线 y 2 ? 4 px( p ? 0) 上,设 A(
2 yB yA , yB ) 所 , y A ) ,B( 4p 4p

2

以 kOA=

4p 4p kOB= ,由 OA 垂直 OB 得 kOA kOB = -1,得 yAyB= -16p2 ,又 AB 方程可求得 yA yB
2 y A ? yB yA ( x ? ) ,即(yA+yB)y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p2 代入得 AB 方程 2 2 4p yA yB ? 4p 4p

y ? yA ?

(yA+yB)y--4px+16p2 =0



又 OM 的方程为 y ?

y A ? yB x ? 4P
2



由①②消去得 yA+yB 即得 x 2 ? y 2 ? 4 px ? 0 ,

即得 ( x ? 2 p)

? y2 ? 4 p2 。

所以点 M 的轨迹方程为 ( x ? 2 p) 2 ? y 2 ? 4 p 2 , 其轨迹是以 (2 p,0) 为圆心, 半径为 2 p 的圆, 除去点(0,0) 。 说明:用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得到交 点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。 解 2(几何法) :由解 1 中 AB 方程(yA+yB)y--4px+16p2 =0 可得 AB 过定点(4p,0)而 OM 垂直 AB,所以由圆的几法性质可知:M 点的轨迹是以 (2 p,0) 为圆心,半径为 2 p 的圆。所 以方程为 ( x ? 2 p) ? y ? 4 p ,除去点(0,0) 。
2 2 2

六、点差法: 例 6(2004 年福建,22)如图,P 是抛物线 C: y ?

1 2 x 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 2

C 交于另一点 Q。若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程。 (图见教 材 P129 页例 2) 。 解:设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ),依题意知, x1 ? 0, y1 ? 0, y2 ? 0 由y?
/

1 2 x 2

(1)

得 y ? x ,? 过点 P 的切线的斜率 k 切=x1 ,

? 直线 l 的斜率 k l ? ?

1 1 1 1 ? ? ,? 直线 l 的方程为 y ? x12 ? ? ( x ? x1 ) x1 x1 2 x1
2

(2)

方法一、 (利用韦达定理、中点坐标公式)联立(1) (2)消去 y 得, x ?

2 x ? x12 ? 2 ? 0 x1

x1 ? x 2 1 ? ? x0 ? 2 ? ? x ? 1 ? M 为 PQ 的中点,? ? . 1 1 2 ? y ? x ? (x ? x ) 0 1 0 1 ? 2 x1 ?
消去 x1 , 得y 0 ? x0 ?
2

1 ? 1( x0 ? 0). 2 2 x0
1 ? 1( x ? 0) 2x 2

? PQ 中点为 M 的轨迹方程为 y ? x 2 ?
方法二(点差法)由 y1 ? 得 y1 ? y 2 ? 则 x0 ?

x ? x2 1 2 1 2 x1 , y 2 ? x 2 , x0 ? 1 , 2 2 2

1 2 1 2 1 x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? x 0 ( x1 ? x 2 ) 2 2 2

y1 ? y2 1 1 ? kl ? ? ,? x1 ? ? 。 x1 ? x2 x1 x0
2

将上式代入(2)并整理,得 y 0 ? x0 ?

1 ? 1( x0 ? 0). 2 2 x0
2

?

PQ 中点为 M 的轨迹方程为 y ? x ?

1 ? 1( x ? 0) 2x 2

说明:本题主要考查了直线、抛物线的基础知识,以及求轨迹方程的常用方法,本题的关键 是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。 【小结】 一、求轨迹的一般方法: 1.直接法,2.定义法,3.代入法,4.参数法,5.交轨法,6.几何法,7.待定系数法, 8.点差法。

二、注意事项:
1.直接法是基本方法;定义法要充分联想定义、灵活动用定义;化入法要设法找到关系式 x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参;交轨法 要选择参数建立两曲线方程;几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2.要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后,要注意挖去或补上一些 点等。


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