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广东省珠海市2015届高三数学9月摸底考试试题 文


珠海市 2014 年 9 月高三摸底考试 文科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项。 1. 已知集合 A.

M ? ?2,3, 4?
B.



N ? ?0,2,3,4,5? 则

C N M ? ( ) C
C.

?2,3,4?

?0, 2,3, 4,5?

?0,5?

D.

?3,5?

2. 为了解 72 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 8 的样本,则分段 的间隔为( )A A.9 B.8 C.10 D.7 3. 在等比数列 A. ? 2

?an ? 中,有 a1a5 ? 4 ,则 a3 的值为(
B. ? 2 C. 2 D. 4 )D D. 1 ? i )B

)C

4. 已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2 ,则 z ? ( A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i

5. 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是(

?x A. y ? e

y?x B.

C. y ? ln x )D

y??
D.

1 x

6. 如右图为某几何体的三视图,则其体积为(

A. 2

B. 4

4 C. 3

2 D. 3
)B

7. 设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2, 且b ? 2 ”的( A. 充分条件 C. 充分必要条件 B. 必要条件 D. 既非充分又非必要条件
2

8. 对任意的 x ?[?2,1] 时, 不等式 x ? 2 x ? a ? 0 恒成立, 则实数 a 的 取值范围是( A. )D B. ?? ?,3? C. ?0,??? D. ?3,???

?? ?,0?

9.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2, BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )B

1

? A. 2
10. 设点 围是(

? B. 4

? C. 6

? D. 8

M ( x0 ,1) ,若在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上存在点 N,使得 ?OMN ? 30°,则 x0 的取值范
)A

A. ?

? ? 3, 3 ? ?

? 1 1? ?? , ? B. ? 2 2 ?

C.

??2, 2?

? 3 3? , ? ?? 3 3 ? ? D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,考生作答 4 小题,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

?x ? 2 y ? 8 ? ?0 ? x ? 4 ?0 ? y ? 3 11. 不等式组 ? 表示的平面区域的面积为______________。11
12.在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 ,

cos C ?

1 2 ,则 c ?

。 3

13. 若曲线 y ? x ln x上点P 处的切线平行于直线 x ? y ? 1 ? 0 , 则点 P 的坐标是 _______ 。 (1,0) (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题)

?x ? 1? t ? y ? ?1 ? 3t 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ?
( t 为参数)的普通方程为___________。 3x ? y ? 4 ? 0
B

15. (几何证明选讲选做题)如右图,已知 AB , BC 是圆O的两条弦,

3 AO ? BC , AB ? 3 , BC ? 2 2 ,则圆O的的半径等于________. 2

A

O

C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

? 5? 3 2 f ( x) ? A sin( x ? ), x ? R f( )? 3 2 16. (本题满分 12 分)已知函数 ,且 12
(1)求 A 的值;

? 5? ? ?3 4? P? , ? f? ?? ? ?。 (2)若角 ? 的终边与单位圆的交于点 ? 5 5 ? ,求 ? 12

2

f(
解: (1)

5? 5? ? 3? 3 2 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? 2 ? 3. 12 12 3 4 2 2 ?????4 分
sin ? ? 4 3 ? cos ? ? f ( x) ? 3 sin( x ? ) 5, 5 ,且由(1)得: 3 ??6分

(2)由题意可知

?f(

5? 5? ? 3? ? ? ) ? 3sin( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ) 12 12 3 4
3? 3? cos ? ? 3cos sin ? 4 4 ???????????????????10 分

? 3sin

?

21 2 10 ?????????????????????????????12 分

17. (本题满分 12 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 4 次 预赛成绩记录如下: 甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90 (1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (2)①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差,②若现要从中选派一人参加数学竞赛,根据你 的计算结果,你认为选派哪位学生参加合适? 17.解: (1)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到成绩为

y ,用数对 ? x, y ? 表示基本事件:

?82,95? , ?82, 75? , ?82,80 ? , ?82,90 ? , ?84,95? , ?84, 75? , ?84,80 ? , ?84,90 ? , ? 79,95? , ? 79, 75? , ? 79,80 ? , ? 79,90 ? , ? 95,95? , ? 95, 75? , ? 95,80 ? , ? 95,90 ? ,
基本事件总数 n ? 16 ????????3 分

记“甲的成绩比乙高”为事件 A,事件 A 包含的基本事件:

?82, 75? , ?82,80 ? , ?84, 75? , ?84,80 ? , ? 79, 75? , ? 95, 75? , ? 95,80 ? , ? 95,90 ? ,
事件 A 包含的基本事件数 m ? 8 ,所以

????????4 分

P ? A? ?

m 8 1 ? ? n 16 2

????????5 分

1 所以甲的成绩比乙高的概率为 2 ??????6 分

3

(2)①

? 1 x甲 ? (82 ? 84 ? 79 ? 95) ? 85 4 , ?

x乙 ?

1 (95 ? 75 ? 80 ? 90) ? 85 4 ??????7 分

1 2 S甲 ? [(79 ? 85) 2 ? (82 ? 85) 2 ? (84 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 36.5 4

??????9 分

1 2 S乙 ? [(75 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (90 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 62.5 4 ?????11 分
2 2 x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 ? ?



, ? 甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。????12 分

18. (本题满分 14 分)在如图所示的多面体中,四边形 为矩形。

ABB1 A1 和 ACC1 A1 都

A1 B1

C1

ACC1 A1 ; (1)若 AC ? BC ,证明:直线 BC ? 平面
(2)是否存在过

AC 1 的平面 ? ,使得直线 BC1 / /? 平行,若存在请作出平面 ?

A B

C

并证明,若不存在请说明理由。

ABB1 A1 和 ACC1 A1 都是矩形, 解: (Ⅰ)证明:因为四边形
所以

AA1 ? AB, AA1 ? AC ????????????????????2 分

因为 AB, AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以

AA1 ? 平面ABC ??????????????????????4 分
AA1 ? BC

因为直线 BC ? 平面 ABC ,所以 又由已知,

AC ? BC, AA1 , AC 为平面 ACC1 A1 内的两条相交直线,

ACC1 A1 ?????????????????????7 分 所以 BC ? 平面
(Ⅱ)存在?????????????8 分 连接

AC 1 ? AC1 ? D ,取线段 AB 的中点 M,连接 A 1 , AC1 ,设 AC 1M , MC 。 ACM 1 为为所求的平面 ? 。?????????????11分
AB、 AC1 的中点,
D
4

则平面

A1 B1

C1

由作图可知 M , D 分别为

A M B

C

MD / /
所以 又因为

1 BC1 2 ?????????????13 分

MD ? ? , BC1 ? ?

因此 MD / /? ?????????????14 分 19. (本题满分 14 分)已知 和。 (1)求

?an ?是首项为 1,公差为 2 的等差数列, S n 表示 ?an ?的前 n 项

an 及 S n ;

?1? n ? ? Tn ? S T n ? N n ? 1 成立。 ? 都有 (2) 设数列 ? n ? 的前 n 项和为 n ,求证:当
解: (1)∵ ∴

{an } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列,

an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ???????????????????3分
Sn ? 1 ? 3 ? ... ? (2n ? 1) ? n(a1 ? an ) n(1 ? 2n ? 1) ? ? n2 2 2 ??????6分 ? 1 n 2 ??????????????7 分



(2)由(Ⅰ)得,

Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 12 22 32 42

?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

?

1 n ? (n ? 1) ????????10 分
? 1 1 ? n n ? 1 ???????12 分

1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4 4 5 ? 1?

1 n ? n ? 1 n ? 1 ??????????14 分
2

x2 y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F F b 20. (本题满分 14 分)设 1 , 2 分别是椭圆 E : a 的左、右焦点,过


F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, | AF1 |? 3| BF1 | ,且 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16 | AF2 | ;

(1)求

(2)若直线 AB 的斜率为 1 ,求椭圆 E 的方程。 解:(1)由

| AF1 |? 3| F1B |,| AB |? 4 ,得:| AF1 |? 3,| F1B |? 1 ???????????1 分
5

因为 分 故

?ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a ? 16,| AF1 | ? | AF2 |? 2a ? 8 ????3

| AF2 |? 2a? | AF1 |? 8 ? 3 ? 5 ????????????????4 分

x2 y2 ? 2 ?1 2 (2)由(1)可设椭圆方程为 16 b , F1 (?c,0) ,其中 c ? 16 ? b
设直线 AB 的方程为 y ? x ? c ,即 x ? y ? c ,?????????????????5 分 代入椭圆方程得:

b 2 ? y ? c ? ? 16 y 2 ? 16b 2
2

????????????????6 分

整理得:

?b

2

? 16 ? y 2 ? 2b 2 cy ? b 4 ? 0

??????????????8 分

? ? 4b 4c 2 ? 4b 4 ? b 2 ? 16 ? ? 128b 4

2b 2 c ? 8b 2 2 y1 ? 2 ? b 2 ? 32 ?
由 得



2b 2 c ? 8b 2 2 y2 ? 2 ? b 2 ? 32 ?

????????????10 分

| AF1 |? 3| BF1 | 知 y1 ? ?3 y2 ,
2b2c ? 8b2 2 ? ?3 2b2c ? 8b2 2
2

?

? ????????12 分

2 又由于 c ? 16 ? b 解得 c ? 2 2 , b ? 8

x2 y 2 ? ?1 所以椭圆的方程为 16 8 ??????????????14 分
f ( x) ?
21. (本题满分 14 分)设函数 (1)求 f ( x ) 在的单调区间; (2)当 x ? [1,3] 时,求 f ( x ) 最小值及取得时的 x 的值。
2 ? 解: (1) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ?????????1 分

1 3 1 x ? (1 ? a) x 2 ? ax 3 2 ,其中 a ? 1

x ? 1, x2 ? a ? 令 f ( x) ? 0 ,得 1
? 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 ?????????????????????2 分 ? 令 f ( x) ? 0 ,得 1 ? x ? a ??????????????????????3 分
6

故 (??,1)和(a, ??) 为 f ( x ) 单调递增区间, (1, a ) 为 f ( x ) 单调递减区间。????5 分 (2)因为 x ? [1,3] ,所以 (ⅰ)当 a ? 3 时,由(1)知, f ( x ) 在[1,3]上单调递减,???????7 分 所以 f ( x ) 在 x ? 3 时取得最小值,???????????????8 分

f (3) ?
最小值为:

3a ? 15 2 ???????????????????9 分

(ⅱ)当 1 ? a ? 3 时, 由(Ⅰ)知, f ( x ) 在[0, a ]上单调递减,在 [ a ,3]上单调递增,????????11 分 所以 f ( x ) 在 x ? a 处取得最小值,最小值为:??????????12 分

f (a) ?


1 2 1 3 a ? a 2 6 ,???????????????????13 分 f (3) ? 9 ? 3a 2 ; 1 2 1 3 a ? a 2 6 。????14 分

所以当 a ? 3 时, f ( x ) 在 x ? 3 处取得最小值

当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 x ? a 处取得最小值

f (a) ?

7


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