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高中数学解题方法谈 三次函数与导数


三次函数与导数
高中教材增加导数及应用这一新内容后,高考试题中自然形成了新的知识热点,围绕三 次函数这一知识点来命题.主要有以下几类. 一、与三次函数图象上某点的切线相关的数学问题 例1 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为( B. y ? ?3x ? 2 D. y ? 4 x ? 5 ) .

A. y ? 3 x

? 4 C. y ? ?4 x ? 3

分析:先求此处的导数值,即切线的斜率,再由点斜式得出直线的方程.答案选 B. . 二、与三次函数有关的单调性问题 例2 若函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间(1,4)内为减函数,在区间 3 2

(6,+∞)上为增函数,试求实数 a 的取值范围. 分析: 本小题主要考查导数的概念、 应用导数研究函数单调性的基本方法及综合运用数学知 识解题的能力. 解:函数 f ( x ) 的导数 f ?( x) ? x2 ? ax ? a ?1 . 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x=1 或 x ? a ? 1 . 当 a ? 1 ≤ 1 ,即 a≤2 时,函数 f ( x ) 在(1,+∞)上是增函数,不合题意. 当 a ? 1 ? 1 ,即 a>2 时,函数 f ( x ) 在( ? ∞,1)上为增函数,在(1, a ? 1)内为减函 数,在( a ? 1,+∞)为增函数.

,, 4) f ?( x) ? 0 ; 依题意应有当 x ? (1 ? ?),f ?( x) ? 0 当 x ? (6,
则 4 ≤ a ?1≤ 6 . 解得 5≤a≤7. 所以 a 的取值范围是[5,7] . 三、与三次函数有关的极值、最值问题 例3 已知 a 为实数, f ( x) ? ( x ? 4)( x ? a) .
2

(1)求导数 f ?( x ) ; (2)若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x ) 在[ ? 2,2]上的最大值和最小值; (3)若 f ( x ) 在( ? ∞, ? 2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围. 解: (1)由原式,得 f ( x) ? x ? ax ? 4x ? 4a ,
3 2

1

∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 4 . (2)由 f ?(?1) ? 0 ,得

a?

1 . 2

此时有 f ( x) ? ( x 2 ? 4) ? x ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 又f?

? ?

1? 2 ?,f ?( x) ? 3x ? x ? 4 . 2?

4 或 x ? ?1 . 3

50 9 ?4? ? ? ? ,f (?1) ? ,f (?2) ? 0,f (2) ? 0 , 27 2 ?3?
9 50 ,最小值为 ? . 2 27

所以 f ( x ) 在[ ? 2,2]上的最大值为

(3)解法 1:因为 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 4 的图象是开口向上且过点(0, ? 4)的抛物线, 由条件,得 f ?(?2) ≥ 0,f ?(2) ≥ 0 ,即 ? 所以 ? 2≤a≤2. 所以 a 的取值范围为[ ? 2,2] . 解法 2:令 f ?( x) ? 0 ,即 3x ? 2ax ? 4 ? 0 ,
2

?4a ? 8 ≥ 0, . ?8 ? 4a ≥ 0.

由求根公式得 x1, 2 ?
2

a ? a 2 ? 12 ( x1 ? x2 ) , 3

所以 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4 在( ??,x1 ]和[ x2, ? ? )上非负. 由题意可知, x1 ≥ ?2 ,x2 ≤ 2 ,即 ? 解不等式组,得 ?2 ≤ a ≤ 2 . 2] 所以 a 的取值范围是[ ?2, . 四、不求导借助函数方程知识求解 值得注意的是,并非所有三次函数都必须用到导数.例 4 借助图形特征,用方程知识求 解更好! 例4 则( ) . 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象如图所示,
3 2

2 ? ? a ? 12 ≤ a ? 6,



? ? a ? 12 ≤ 6 ? a.
2

0) A. b ? (??, , 2) C. b ? (1

1) B. b ? (0, ? ?) D. b ? (2,

解析:观察图象,你能够看到什么?联想到什么?

2

①图象过原点,由 f (0) ? 0 ,可求得 d ? 0 ,f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? x(ax2 ? bx ? c) ; ②图象通过(1,0) 、 (2,0)两点, 显然有 ?

?a ? b ? c ? 0, ,即 6a ? 2b ? 0 , ?8a ? 4b ? 2c ? 0,

∴ b ? ?3a ; ③ a 是什么数?是正还是负?联想当 x ??? 时, f ( x ) →+∞,所以有 a>0.

0) ,故选 A. ∴ b ? 0,b ? (??,

3


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