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重庆市第一中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷


秘密★启用前

2015 重庆一中高 2017 级高一下期期末考试 数 学 试 题 卷
1.直线 3x - y +1 = 0 的倾斜角为( ) A. 2015.7

一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.)

5? 6

B.


2? 3

C.

? 3

D.

? 6

2.学校教务处要从某班级学号为 1 ? 60 的 60 名学生中用系统抽样方法抽取 6 名同学的作业进 行检查,则被抽到的学生的学号可能是( ) A. 5,10,15, 20, 25,30 B. 3,13, 23,33, 43,53 C. 1, 2,3, 4,5,6 D. 2, 4,8,16,32, 48

3.下列命题中错误的是( ) A.夹在两个平行平面间的平行线段相等 B.过直线 l 外一点 M 有且仅有一个平面 ? 与直线 l 垂直, C.垂直于同一条直线的两个平面平行 D.空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等 4.如右图,程序框图所进行的求和运算是 ( )

5.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角之和为( A. 90
0



B. 120

0

C. 135

0

D. 150

0

6.右图是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的表面积为( ) A. 4 + 7 + 3 B. 6 + 7 C. 4 + 7 D. 6 + 3 ) 2

正视图

侧视图

2

7. 已知 x ? 0, y ? 0 , 且 x +1 A. 4 B.5

(

)( y +1) =9
9 C. 2

, 则 x + y 的最小值是 (

11 D. 2

俯视图

8.

1 ?1 1? ?1 1 1? 1 ? ?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? +…… ? 10 ? 的值为( ) 2 ? 2 4? ? 2 4 8? 2 ? ?2 4
1 29
B. 9 +

A. 7 +

1 210

C. 11 +

1 211

D. 7 +

1 210

9. (原创)在 ?ABC 中 AC = BC = 3, AB = 2 , P 为三角形 ABC 内切圆圆周上一点,则

??? ? ??? ? PA· PB 的最大值与最小值之差为(
A. 4 B. 2 3

) C. 2 2 D. 2

10 (原创) . 已知底面为边长为 2 的正方形, 侧棱长为 1 的直四棱柱 ABCD - A 1B 1C1 D 1 中,P, Q 是面 A1B1C1D1 上的两个不同的动点.给出以下四个结论: ①若 DP = 3 ,则 DP 在该四棱柱六个面上的投影长度之和的最大值为 6 2 ; M 使得 MB1 ? BP ; ②若 P 在面对角线 AC 1 1 上,则在棱 DD 1 上存在一点 ③若 P, Q 均在面对角线 AC 1 1 上,且 PQ = 1 ,则四面体 BDPQ 的体积一定是定值; ④若 P, Q 均在面对角线 AC 1B 1C1 D 1 上的投影恒为 1 1 上,则四面体 BDPQ 在底面 ABCD - A 凸四边形的充要条件是 PQ > 2 ; 以上各结论中,正确结论的个数是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4

二、填空题: (每小题 5 分,共计 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 11.经过点 P(?2,?1), Q(3, a) 的直线与倾斜角为 45 ? 的直线垂直,则 a ? ________. 12.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a2 = 3, S5 = 25 ,则 S10 ? 13(原创).已知 B, C 是球 O 的一个小圆 O1 上的两点,且 BC = 2 3, ?BOC ? .

?
2

2? ?BO1C ? 则三棱锥 O - O1BC 的体积为______. 3 ,

14(原创)在星期天晚上的 6:30-8:10 之间,小明准备用连续的 40 分钟来完成数学作业,已 知他选择完成数学作业的时间是随机的, 则在 7:00 时, 小明正在做数学作业的概率是______.

?y ? x ? 15(原创) .已知 m ? 0 ,满足条件 ? x ? y ? 4 的目标函数 z = x + my 的最大值小于 2,则 m ? y ? mx ? m ?
的取值范围是______. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 13 分)某同学对本地 30,55 岁的爱 好阅读的人群随机抽取 n 人进行了一次调查,得到如 下年龄统计表,其中不超过 40 岁的共有 60 人。 (1)求出 n, a 的值; (2)从[45,55)岁年龄段爱好阅读的人中采用分层抽 a 样法抽取 6 人,然后从这 6 人之中选 2 人为社区阅读大 使,求选出的两人年龄均在[45,50)内的概率。 0.02 0.01 频率 组距 0.07 0.06

[

]

30

35

40

45

50

55

年龄

17.(本小题满分 13 分)已知直线 l1 : ? a ? 1? x ? y ? 2a ? 1 ? 0 , l2 : 2 x ? ay ?1 ? 0, a ? R , (1)若 l1 与 l2 平行,求 a 的值; (2) l1 过定点 A , l2 过定点 B, 求 A, B 的坐标,并求过 A, B 两点的直线方程。

18.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? a , g ( x) ? ?(a ? 4) x ? 4 ? a, a ? R (1) x ? R ,比较 f ( x ) 与 g ( x) 的大小; (2)当 x ? ? 0, ??? 时,解不等式 f ( x) ? 0 。 19(原创)(本小题满分 12 分).如图, ?PAD 为边长为 2 的等边三角形, ABCD 为菱形,

?DAB ? 600 , E 为 AD 的中点,平面 PAD ? 平面 ABCD , F 为棱 PC 上一点,
(1)证明:平面 PAD ? 平面 BEF ; (2)若 PA / / 平面 BEF ,求三棱锥 E ? BCF 的体积。

20 . ( 本小题满分 12 分 ) 在三角形 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知
2 sinC ? 2 sin

C C ? sin 2 2

(1)求 sin C 的值;
2 2 2 2 (2)若 a = 2 且 a ? b sin( A ? B ) ? a ? b sin( A ? B ) ,求 c 的值。

?

?

?

?

21.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足, a1 = a , n2 Sn?1 ? n2 ? Sn ? an ? ? an2 , n ? N ? , (1)若 {an } 为不恒为 0 的等差数列,求 a ; (2)若 a = , 证明:

1 3

n ? an ? 1 。 2n ? 1
命题人:梁 波 审题人:王中苏

2015 年重庆一中高 2017 级高一下期末考试数学试题答案
1-10:CBDCB,AABDC 11:-6 12:100; 13:

6 3 ,

14:

1 2

15: ?0,1?

16. 解答: (1)不超过 40 岁的所占比例为

?0.01? 0.07? ? 5 ? 0.4
所以 0.4n ? 60 ? n ? 150 : a = 0.04 (2)易知:[45,50)岁年龄段爱好阅读的人共有 30 人, [50,55)岁年龄段爱好阅读的人共有 15 人, 所以:分层抽样时,在[45,50)岁年龄段中抽取 4 人,在在[50,55)岁年龄段中抽取 2 人。 设 A 为选出的两人年龄均为[45,50) 总的选择方法数为 15,而事件 A 包含的事件数为 6 所以: P ( A) =

6 3 = 15 5

17 解答: (1) l1 与 l2 平行,则 a ? a ?1? ? 2 ? a ? 1 或者 a ? ?2 当 a ? 1 时, l1 与 l2 重合,故舍去 当 a ? ?2 时,满足条件 所以: a ? ?2 (2)易知: A(2, ?3), B ( , 0) ,所以 k AB ? ?2 直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ?2( x ? 2) ? 2 x ? y ? 1 ? 0 18. 解答: (1) f ( x) ? g ( x) ? x ? 3x ? 4 ? 0
2

1 2

所以当 x ? R 时 f ( x) ? g ( x) (2) f ( x) ? 0 ? ? x ?1? ( x ? a) ? 0 ①当 a ? 0 时, x ? ?1, ?? ? ②当 0 ? a ? 1 时, x ? (0, a) ? ?1, ??? ③当 a ? 1 时, x ? (0,1) ? ?1, ??? ④当 a ? 1 时, x ? (0,1) ? ? a, ???

0 19:解答: (1)? AB ? 2 AE ? 2 , ?DAB ? 60

??AEB ? 900 ? BE ? AD ? ? PAD ? ABCD, PAD ? ABCD ? AD ? ? BE ? PAD BE ? ABCD ? ?
? BEF ? PAD
(2)如图:连接 AC 交 BE 于 O ,连接 FO, PE 因为 PA / / 平面 BEF , PAC ? BEF ? FO , 所以

PA / / FO CF CO CB CF 2 ? ? ?2? ? 则 PF AO AE PC 3 ? 平面 PAD ? 平面 ABCD 又? AE ? AD ? PE ? ABCD 设 F 到平面 ABCD 的距离为 h
则h ?

2 2 3 PE ? 3 3

1 2 S BCE h ? 3 3 C C C C C C 2 ? sin ? 2sin cos ? 2sin 2 ? sin 20. 解答: (1) sin C ? 2sin 2 2 2 2 2 2
所以: VE ? BCF ? VF ? BCE ?

? sin

C? C C ? ? 2sin ? 2cos ? 1? ? 0 2? 2 2 ?
C C C C C 1 ? 0 ? 2sin ? 2 cos ? 1 ? 0 ? sin ? cos ? 2 2 2 2 2 2

在 ?ABC 中 sin

? sin C ?

3 4

(2) 已知得 a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]. ∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理,得 sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA. ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0. ∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2π, 得 2A=2B 或 2A=π-2B. 即 ?ABC 是等腰三角形或直角三角形.

由(1)知 C ?

?
2

,即 ?ABC 是等腰三角形

? sin

C C 1 C ? ?? C ?? ? ? ?? ? ? cos ? ? 0 ,且 ? ? 0, ? ? ? ? , ? ? C ? ? , ? ? 2 2 2 2 ? 2? 2 ?4 2? ?2 ?
2

所以 cos C ? ? 1 ? sin C ? ? 21.解答: (1)

7 ,所以 c ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 7 ?1 4

n2 Sn?1 ? n2 ? Sn ? an ? ? an2 ? n2 ? Sn?1 ? Sn ? ? n2an ? an2 ? n2an?1 ? n2an ? an2
? an ?1 ? an ? an 2 an =kn ? b,(k , b ? R) n 2 ,设
2

? kn ? b ? ? kn2 ? k 2n2 ? 2kbn ? b2 n ? N ? a2 an?1 ? an ? n2 ? k ? 对 恒成立 n n2
?k ? k 2 ?k ? 1 ?k =0 ?? ?? 或? (舍) ?b ? 0 ?b ? 0 ?b ? 0
所以 an =n ? a1 ? a ? 1 (2)证明:先证明: an <1

an 2 易知 an > 0 , an ?1 ? an ? n 2 ? 0 ? an ?1 ? an
所以 an +1 = an +

an 2 aa < an + n 2n +1 2 n n

两端同时除以 an+1an ,得 a ? a ? n 2 ? a ? a ? ? n 2 n n ?1 n ?1 n 当 n ? 2 时,

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 - >- 2 >>2 , 2 ,……, a2 a1 1 an an- 1 ( n - 1) an- 1 an- 2 ( n - 2)

?1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 2 2 迭加得到 a a1 1 2 n ? 1 ? ? ? ? n ? ?
又 n 2 < n(n - 1) = (n - 1) - n

1

1

1

1

?1 1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2? an a1 ? n ? 2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? ?1 1 2 ?1 2 ?
? 1 ? 1 ? ? ?2 ? ?2 ?? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 1 1 1 1 ? ? ?2? ? ? 1 ? 1 ? an ? 1 an a1 ? n ? 1? an ? n ? 1?
n 2n ? 1 1 1 显然 a1 ? 3 ? 2 ? 1
再证明 an ? 因为 an <1 ,所以 an ?1 ? an ?

an 2 an n2 ? a ? ? a ? an ?1 n n n2 n2 1 ? n2

所以: an ?1 ? an ?

an 2 an an n2 1 ? a ? ? a ? a ? ? a ? an ? an an ?1 n n n 2 2 2 2 n ?1 n n n 1? n 1 ? n2

两端同时除以 an+1an ,得 a ? a ? 1 ? n 2 ? a ? a ? ? 1 ? n 2 n n ?1 n ?1 n 当 n?2 时 ,

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 <<2 , 2 , … … , an an- 1 an- 1 an- 2 1 +( n - 1) 1 +( n - 2)

1 1 1 - <a2 a1 1 +12

? 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 迭加得到 a a1 1 ? 1 1 ? 2 1 ? n ? 1 ? ? ? ? n ? ?
又 1 + n 2 > n 2 + n = n - (n +1)

1

1

1

1

? 1 ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? 2 2 2 所以 a a1 ? n ? 1? n ? 1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 2 2 ?1 ? 1 1 ? 2 ?

1 1 ? 1? 1 2n ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? 所以 a a1 ? n ? n n n
所以 an ?

n 2n ? 1

综上 2n ? 1 ? an ? 1

n


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