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2014《步步高》高考数学第一轮复习05 平面向量基本定理及坐标表示


§ 5.2
2014 高考会这样考 应用. 复习备考要这样做 进行向量运算.

平面向量基本定理及坐标表示
1.考查平面向量基本定理的应用; 2.考查向量的坐标表示和向量共线的

1.理解平面向量基本定理的意义、作用;2.运用定理表示向量,然后再

1. 平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面

内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且 只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2. 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
2 λa=(λx1,λy1),|a|= x1+y2. 1

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3. 平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b?x1y2-x2y1=0. [难点正本 疑点清源] 1. 基底的不唯一性 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意 向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1,e2 线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯 一的. 2. 向量坐标与点的坐标的区别 → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定,此 时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向 → 量 a=OA=(x,y).

→ → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变即O1A1=OA=(x,y),但O1A1的起点 O1 和 终点 A1 的坐标都发生了变化.

→ → → 1. 在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC=λAE+μAF,其中 λ, μ∈R,则 λ+μ=________. 答案 4 3

→ → → → → 1→ 解析 因为AC=AB+AD,又AE=AD+ AB, 2 → → 1→ AF=AB+ AD, 2 1 → 1 → → → → 所以AC=λAE+μAF=?λ+2μ?AD+?2λ+μ?AB, ? ? ? ? 1 1 4 得到 λ+ μ=1, λ+μ=1,两式相加得 λ+μ= . 2 2 3 → → → 2. 在?ABCD 中, 为一条对角线, =(2,4), =(1,3), AC AB AC 则向量BD的坐标为__________. 答案 (-3,-5)

→ → → → → → 解析 ∵AB+BC=AC,∴BC=AC-AB=(-1,-1), → → → → → ∴BD=AD-AB=BC-AB=(-3,-5). 3. 已知向量 a=(1,2),b=(-3,2),若 ka+b 与 b 平行,则 k=________. 答案 0 解析 由 ka+b 与 b 平行得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0. 4. 若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c 等于 A.3a+b C.-a+3b 答案 B 解析 由已知可设 c=xa+yb,
?4=x-y ?x=3 ? ? 则? ,∴? . ? ? ?2=x+y ?y=-1

(

)

B.3a-b D.a+3b

5. (2011· 广东)已知向量 a=(1,2), b=(1,0), c=(3,4). λ 为实数, 若 (a+λb)∥c, λ 等于( 则 1 A. 4 答案 B 1 B. 2 C.1 D.2

)

解析 a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),而 c=(3,4),由(a+λb)∥c 得 4(1+λ)-6=0,

1 解得 λ= . 2

题型一 平面向量基本定理的应用 例1 → 已知点 G 为△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点,且AM 1 1 → → → =xAB,AN=yAC,求 + 的值. x y → → 思维启迪:以AB,AC为基底来表示向量,建立 x,y 的关系. 解 根据题意知 G 为三角形的重心,

→ 1 → → 故AG= (AB+AC), 3 → → → 1 → → → MG=AG-AM= (AB+AC)-xAB 3 1 → 1→ =?3-x?AB+ AC, ? ? 3 → → → → → GN=AN-AG=yAC-AG → 1 → → =yAC- (AB+AC) 3 1 → 1→ =?y-3?AC- AB, ? ? 3 → → 由于MG与GN共线,根据共线向量定理知 1 → → → 1→ MG=λGN??3-x?AB+ AC ? ? 3 1 → 1→ =λ??y-3?AC-3AB?, ? ?

?

?

→ → ∵AB,AC不共线,

?3-x=-3λ ∴? 1 1 ?3=λ?y-3? ? ?
1 1 ?x+y-3xy=0,

1 1 -x 3 3 ? = 1 1 - y- 3 3

1 1 两边同除以 xy 得 + =3. x y 探究提高 利用基底表示未知向量, 实质就是利用向量的加、 减法及数乘进行线性运算; 向量的表示是向量应用的前提.

→ 1→ → 如图,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一点,若AP 3 → 2→ =mAB+ AC,则实数 m 的值为_____. 11 答案 3 11

→ → 解析 设|BP|=y,|PN|=x, x → → → → 1→ 则AP=AN+NP= AC- BN,① 4 x+y y → → → → → AP=AB+BP=AB+ BN,② x+y x → y → → ①×y+②×x 得AP= AB+ AC, x+y 4?x+y? 令 y 2 8 3 = ,得 y= x,代入得 m= . 3 11 4?x+y? 11

题型二 向量坐标的基本运算 例2 → → → → → 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN =-2b, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M、N 的坐标及向量MN的坐标. 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
?-6m+n=5, ?m=-1, ? ? ∴? 解得? ? ? ?-3m+8n=-5, ?n=-1.

→ → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). → → → ∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), → ∴N(9,2).∴MN=(9,-18). 探究提高 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两

端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运 算法则. 已知平行四边形的三个顶点分别是 A(4,2),B(5,7),C(-3,4),则第四个顶点 D 的坐标是__________________. 答案 (-4,-1)或(12,5)或(-2,9)

解析 设顶点 D(x,y). → 若平行四边形为 ABCD,则由AB=(1,5),
?-3-x=1, ?x=-4, ? ? → DC=(-3-x,4-y),得? 所以? ? ? ?4-y=5, ?y=-1;

→ 若平行四边形为 ACBD,则由AC=(-7,2),
?5-x=-7, ?x=12, ? ? → DB=(5-x,7-y),得? 所以? ? ? ?7-y=2, ?y=5;

→ 若平行四边形为 ABDC,则由AB=(1,5),
?x+3=1, ?x=-2, ? ? → CD=(x+3,y-4),得? 所以? ? ? ?y-4=5, ?y=9.

综上所述,第四个顶点 D 的坐标为(-4,-1)或(12,5)或(-2,9). 题型三 共线向量的坐标表示 例3 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题: (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d. 思维启迪:(1)向量相等对应坐标相等,列方程解之. (2)由两向量平行的条件列方程解之. (3)设出 d=(x,y),由平行关系列方程,由模为 5列方程,联立方程组求解. 解 (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),

?-m+4n=3 ? 所以? ,得 ? ?2m+n=2

?m=9 ? 8 ?n=9
5

.

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0, 16 ∴k=- . 13

(3)设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
?4?x-4?-2?y-1?=0 ? 由题意得? , 2 2 ? ??x-4? +?y-1? =5 ? ? ?x=3 ?x=5 解得? 或? , ?y=-1 ?y=3 ? ?

∴d=(3,-1)或 d=(5,3). 探究提高 (1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合.

(2)根据平行的条件建立方程求参数,是解决这类题目的常用方法,充分体现了方程思想 在向量中的应用. (2011· 北京)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3).若(a-2b)与 c 共线,则 k=________. 答案 1 解析 a-2b=( 3,1)-2(0,-1)=( 3,3), 又∵(a-2b)与 c 共线,∴(a-2b)∥c, ∴ 3× 3-3×k=0,解得 k=1.

忽视平面向量基本定理的使用条件致误

→ → → → → 典例:(12 分)已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设 t∈R,如果 3a=c,2b=d,e =t(a+b),那么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上? 易错分析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决,但在得出等式后根据平面 向量基本定理列式解决时,容易忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了 当 a,b 共线时,t 可为任意实数这个解. 规范解答 解 → → 由题设,知CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条直线

→ → 上的充要条件是存在实数 k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.[4 分] ①若 a,b 共线,则 t 可为任意实数;[7 分]
?t-3+3k=0, ? ②若 a,b 不共线,则有? ? ?2k-t=0,

6 解之得 t= .[10 分] 5 综上,可知 a,b 共线时,t 可为任意实数;

6 a,b 不共线时,t= .[12 分] 5 温馨提醒 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石, 在解题中有至关重要的作用, 在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件.

方法与技巧 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解. 2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运 算可将一些几何问题转化为代数问题处理, 从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关 问题. 3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用. 失误与防范 1. 要区分点的坐标和向量坐标的不同, 向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减始 点坐标;向量坐标中既有大小的信息,又有方向的信息. x1 y1 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等 x2 y2 于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 与向量 a=(12,5)平行的单位向量为 12 5 A.?13,-13? ? ? 12 5 B.?-13,-13? ? ? 12 5 12 5 C.?13,13?或?-13,-13? ? ? ? ? 12 5 D.?± ,± ? ? 13 13? 答案 C 解析 设 e 为所求的单位向量, a ?12 5 则 e=± =± 13,13?. ? ? |a| ( )

→ → → → 2. 如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=xOA+yOB,且BP → =2PA,则 2 1 A.x= ,y= 3 3 1 3 C.x= ,y= 4 4 答案 A 解析 → → → → → → → 2→ → 2 → → 2 由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+ BA=OB+ (OA-OB)= 3 3 3 1 2 B.x= ,y= 3 3 3 1 D.x= ,y= 4 4 ( )

2 1 → 1→ OA+ OB,所以 x= ,y= . 3 3 3 3. 已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 1 3 A.- a+ b 2 2 3 1 C.- a- b 2 2 答案 B 解析 设 c=λa+μb, ∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),
?-1=λ+μ ? ∴? ,∴ ? ?2=λ-μ

(

)

1 3 B. a- b 2 2 3 1 D.- a+ b 2 2

?λ=2 ? 3 ?μ=-2
1

1 3 ,∴c= a- b. 2 2

→ → → → 4. 在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5), → 则BC等于 A.(-2,7) C.(2,-7) 答案 B → → → → → → 解析 BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA =(6,30)-(12,9)=(-6,21). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 1 5. 若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则 + 的值为________. a b 答案 1 2 B.(-6,21) D.(6,-21) ( )

→ → 解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2),

依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以 + = . a b 2 6. 已知向量 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u∥v,则实数 x 的值为________. 答案 1 2

解析 因为 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b, 所以 u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4), v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3), 又因为 u∥v,所以 3(2x+1)-4(2-x)=0, 1 即 10x=5,解得 x= . 2 → |AC| → 2→ 1→ 7.在平面直角坐标系中, 为坐标原点, B、 三点满足OC= OA+ OB, O A、 C 则 =________. 3 3 → |AB| 答案 1 3

2→ 1→ 解析 ∵OC= OA+ OB, 3 3 1→ 1→ 1 → → → → ∴OC-OA=- OA+ OB= (OB-OA), 3 3 3 → |AC| 1 → 1→ ∴AC= AB,∴ = . 3 → 3 |AB| 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知 a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数 k,使得 ka+b 与 a-3b 共线,且方向 相反? 解 若存在实数 k,

则 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2). a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 1 若向量 ka+b 与向量 a-3b 共线,则必有(k-3)×(-4)-(2k+2)×10=0,解得 k=- . 3 10 4 1 这时 ka+b=?- 3 ,3?,所以 ka+b=- (a-3b). ? ? 3 即两个向量恰好方向相反,故题设的实数 k 存在. → → → 9. (12 分)如图所示,M 是△ABC 内一点,且满足条件AM+2BM+3CM=0, → → 延长 CM 交 AB 于 N,令CM=a,试用 a 表示CN. 解 → → → → → → 因为AM=AN+NM,BM=BN+NM,

→ → → 所以由AM+2BM+3CM=0,得 → → → → → (AN+NM)+2(BN+NM)+3CM=0, → → → → 所以AN+3NM+2BN+3CM=0. 又因为 A,N,B 三点共线,C,M,N 三点共线, → → → → 由平面向量基本定理,设AN=λBN,CM=μNM, → → → → 所以 λBN+3NM+2BN+3μNM=0. → → 所以(λ+2)BN+(3+3μ)NM=0. → → 由于BN和NM不共线,由平面向量基本定理,
? ? ?λ+2=0, ?λ=-2, 得? 所以? ? ? ?3+3μ=0, ?μ=-1.

→ → → → → → → 所以CM=-NM=MN,CN=CM+MN=2CM=2a. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180° ,且|b|=3 5,则 b 等于 A.(-3,6) C.(6,-3) 答案 A B.(3,-6) D.(-6,3) ( )

? x2+y2=3 5, ? 解析 方法一 设 b=(x,y),由已知条件? x-2y ? 5 x2+y2=-1, ?
?x2+y2=45, ? 整理得? ? ?x-2y=-15. ?x=-3, ? 解得? ? ?y=6,

∴b=(-3,6).

? x2+y2=3 5, 方法二 设 b=(x,y),由已知条件? ?y+2x=0,
?x=-3, ?x=3, ? ? 解得? 或? (舍去),∴b=(-3,6). ? ? ?y=6, ?y=-6,

1 2 1 方法三 ∵|a|= 5,∴ a=? ,- ?, |a| ? 5 5? 1 则 b=-3 5?|a|a?=(-3,6). ? ?

2. 已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b 等于 A.(-2,-4) C.(-4,-8) 答案 C B.(-3,-6) D.(-5,-10)

(

)

解析 由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,得 1×m=2×(-2)?m=-4,从而 b=(-2, -4),那么 2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). π 3. 已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|=2 2,且∠AOC= , 4 → → → 设OC= λOA+OB(λ∈R),则 λ 的值为 A.1 答案 D 解析 过 C 作 CE⊥x 轴于点 E(图略). π 由∠AOC= ,知|OE|=|CE|=2, 4 → → → → → 所以OC=OE+OB=λOA+OB, → → 即OE=λOA, 2 所以(-2,0)=λ(-3,0),故 λ= . 3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a), 且 p∥q,则角 C=________. 答案 60° 解析 因为 p∥q,则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0, a2+b2-c2 1 所以 a2+b2-c2=ab, = , 2ab 2 1 结合余弦定理知,cos C= , 2 又 0° <C<180° ,∴C=60° . 1 → → 5. 已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且AC=2CB,则实数 a=________. 2 答案 2 → → 解析 设 C(x,y),则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y),
? ? ?x-7=2?1-x? ?x=3 → → ∵AC=2CB,∴? ,解得? . ? ? ?y-1=2?4-y? ?y=3

( 2 D. 3

)

1 B. 3

1 C. 2

1 ∴C(3,3).又∵C 在直线 y= ax 上, 2 1 ∴3= a· 3,∴a=2. 2 → → → 6. 设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A、B、 1 2 C 三点共线,则 + 的最小值是________. a b 答案 8 → → 解析 据已知得AB∥AC, → → 又∵AB=(a-1,1),AC=(-b-1,2), ∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1, 1 2 2a+b 4a+2b ∴ + = + a b a b b 4a =4+ + ≥4+2 a b b 4a · =8, a b

b 4a 1 1 当且仅当 = ,即 a= ,b= 时取等号, a b 4 2 1 2 ∴ + 的最小值是 8. a b 三、解答题 → → → 7. (13 分)已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线; → → (3)若 t1=a2,求当OM⊥AB且△ABM 的面积为 12 时 a 的值. → → → (1)解 OM=t1OA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4) =(4t2,2t1+4t2).
?4t2<0, ? 当点 M 在第二或第三象限时,有? ? ?2t1+4t2≠0,

故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. → (2)证明 当 t1=1 时,由(1)知OM=(4t2,4t2+2). → → → ∵AB=OB-OA=(4,4), → → → → AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB, ∴A、B、M 三点共线. → (3)解 当 t1=a2 时,OM=(4t2,4t2+2a2).

→ → → 又AB=(4,4),OM⊥AB,∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0, 1 → ∴t2=- a2,故OM=(-a2,a2). 4 → 又|AB|=4 2,点 M 到直线 AB:x-y+2=0 的距离 |-a2-a2+2| d= = 2|a2-1|.∵S△ABM=12, 2 1 1 ∴ |AB|· ×4 2× 2|a2-1|=12, d= 2 2 解得 a=± 2,故所求 a 的值为± 2.


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