当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高考数学总复习 第2章 第10讲 导数的概念及运算课件 理 新人教A版


第10讲

导数的概念及运算

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1. 了解导数概念的实际背景. 2. 理解导数的几何意义. 1 3. 能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x ,y= 的导 x
2

数.

4. 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则



算法则求简单函数的导数.
5. 能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的 导数.

1个重要区别

求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切
线”的差异:过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一 定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.

2项必须防范 1. 利用公式求导时要特别注意,除法公式中分子的符号,

防止与乘法公式混淆.
2. 含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参 数,参数是常量,其导数为零.

3种必会方法 1. 连乘积的形式,先展开化为多项式形式,再求导.

2. 根式形式:先化为分数指数幂、再求导.
3. 复杂分式:通过分子上凑分母,化为简单分式的和、 差,再求导.

课前自主导学

1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率_______________ Δy =lim Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x Δx→0 Δy =x0,即f′(x0)=lim Δx=________________. Δx→0

(2)几何意义

函数f(x)在x=x0 处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)
上点(x0 ,f(x0))处的__________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时 间t的导数).相应地,切线方程为________________.

f′(x)与f′(x0)有何不同?

(1)函数y=x3-2x在点(2,4)处的切线的斜率为________. (2) 函 数 f(x) = lnx 的 图 象 在 点 (e , f(e)) 处 的 切 线 方 程 y = __________.

2.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax f(x)=ex 导函数 f′(x)=____ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________

f(x)=logax f(x)=lnx

f′(x)=____(a>0,且a≠1) f′(x)=________

(1)若y=

1 x ,则y′=________;y= 2 ,则y′= x

________;y=log3x,则y′=________. (2)已知f(x)=xm,若f′(-1)=-4,则m=________.

3.导数的运算法则 若y=f(x),y=g(x)的导数存在,则 (1)[f(x)± g(x)]′=________; (2)[f(x)· g(x)]′=____________; f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? (3)[ ]′= (g(x)≠0). g?x? [g?x?]2

(1)y=(x2-1)(3x+2),则y′=________; (2)若f(x)=xex,则f′(1)=________; x (3)y=sinx,则y′=__________.

4.复合函数的导数 设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x

的对应点u处有导数y′=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也
有导数y′x=f′u·u′x ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导 数的乘积.

(1)y= 2x的导数y′=________. (2)y=ln(1-x)的导数y′=________. (3)y=e-2x的导数是y′=________. π (4)y=cos(2x-6)的导数是y′=__________.

f?x0+Δx?-f?x0? 1. Δx→0 lim Δx 斜率 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)

f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx

切线的

想一想:提示:f′(x)是一个函数,f′(x0)是函数值, f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值. 填一填:(1)10

1 1 1 (2) x 提示:f′(x)= ,k=f′(e)= ,直线过点(e,1) e x e 1 所求方程为y= x. e 1 1 n -1 x x 2.0 nx cosx -sinx a lna(a>0) e xlna x 2 1 填一填:(1)- 3 x xln3 (2)4 =4. 3.f′(x)± g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 填一填:(1)9x2+4x-3 (2)2e 提示:f′(x)=mxm 1,∴m(-1)m 1=-4,则m
- -

sinx-xcosx (3) sin2x 1 4.填一填:(1) 2x π (4)-2sin(2x-6) 1 - (2) (3)-2· 2x e x-1

核心要点研究

1 例1 用导数的定义求函数y= 在x=1处的导数. x

Δy Δy [审题视点] 先求Δy,再求Δx,最后求lim Δx. Δx→0

[解]

1 记f(x)= , x

1 则Δy=f(1+Δx)-f(1)= -1 1+Δx 1- 1+Δx ?1- 1+Δx??1+ 1+Δx? = = 1+Δx 1+Δx?1+ 1+Δx? -Δx = , 1+Δx?1+ 1+Δx? Δy 1 =- , Δx 1+Δx?1+ 1+Δx? Δy ∴lim Δx=lim Δx→0 Δx→0 -1 1 =-2. 1+Δx?1+ 1+Δx?

根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处导数的方法 是 (1)求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)计算导数f′(x0)=lim Δx. Δx→0

[变式探究] 若函数y=f(x)在x=a处的导数为A,则 Δx→0 lim f?a+Δx?-f?a-Δx? 为( Δx A.A A C. 2 ) B.2A D.0

答案:B
解析:由于Δy=f(a+Δx)-f(a-Δx),其改变量对应 2Δx, f?a+Δx?-f?a-Δx? ∴lim Δx Δx→0 f?a+Δx?-f?a-Δx? =2lim 2Δx Δx→0 =2f′(a)=2A,故选B.

例2 求下列函数的导数 (1)y=2xlnx; (2)y=excosx; 1-x (3)y= +lnx; x sinx (4)y= 3 . x +1

[审题视点]

本题考查导数的有关计算,借助于导数的公

式及常见的初等函数的导数,可以容易求得. 1 x 1 x x [解] (1)y′=2 ln2lnx+x · =2 (ln2lnx+x) 2

(2)y′=(excosx)′=excosx-exsinx. 1-x 1 1 1 (3)y′=( x +lnx)′=(x -1+lnx)′=-x2+x. ?sinx?′?x3+1?-sinx?x3+1?′ sinx (4)y′=( 3 )′= = x +1 ?x3+1?2 cosx?x3+1?-3x2sinx . ?x3+1?2

(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的 和、差、积、商,再利用运算法则求导数.(2)在求导过程中,

要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,记准公式,预
防犯运算错误.

[变式探究] 求下列函数的导数. (1)y=exlnx; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); x+x5+sinx (3)y= ; x2 1 1 (4)y= + . 1- x 1+ x

1 x1 解:(1)y′=e lnx+e ·=e (x+lnx). x
x x

(2)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 1 5 x2+x +sinx 3 3 sinx (3)∵y= =x- +x + 2 , x2 2 x 3 - ∴y′=(x-2)′+(x3)′+(x 2sinx)′ 3 5 =-2x-2+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.

1+ x+1- x 2 (4)y= = , ?1- x??1+ x? 1-x 0-2?1-x?′ 2 2 ∴y′=( )′= = . 1-x ?1-x?2 ?1-x?2

例3

[2012·课标全国高考]曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的 对函数f(x)求导得f′(x),f′(1)为对应切线的斜

切线方程为________. [审题视点] 率,由点斜式得到切线方程.

[解析] -y-3=0.

因为y′=3lnx+4,故y′|x=1 =4,所以曲线在

点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),化为一般式方程为4x

[答案] 4x-y-3=0

奇思妙想:本例条件不变,问题改 为:求切线方程与直线 x=0 和 y=x 围 成的三角形的面积,该如何解答?

解:切线方程 4x-y-3=0 与 y=x 1 的交点坐标为(1,1), 结合图象可知 S△=2 3 ×3×1=2.

利用导数研究曲线的切线问题,一定要注意以下规律:

(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点
坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标. (2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有 其他的公共点.

[变式探究]

[2013· 河北质检]已知直线y=kx是曲线y= ) B.-e 1 D.- e

lnx的切线,则k的值是( A.e 1 C. e

答案:C

解析:依题意,设直线y=kx与曲线y=lnx切于点(x0, ?kx0=lnx0 ? 1 kx0),则有? ,由此得lnx0=1,x0=e,k=e,选C. 1 ?k=x0 ?

课课精彩无限

【选题· 热考秀】 [2013· 杭州模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y 15 =ax + x-9都相切,则a等于( 4
2

) 21 B.-1或 4 7 D.- 或7 4

25 A.-1或-64 7 25 C.- 或- 4 64

[规范解答] 设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,
3 2 3 x0),所以切线方程为y-x3=3x0(x-x0),即y=3x2x-2x0,又 0 0

3 (1,0)在切线上,则x0=0或x0= , 2 15 当x0=0时,由y=0与y=ax + x-9相切可得a=- 4
2

25 3 27 27 15 2 ,当x0= 时,由y= x- 与y=ax + x-9相切可得a 64 2 4 4 4 =-1,所以选A. [答案] A

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:易错分析

在解答本题时有两个易错点:
(1)审题不仔细,未对(1,0)的位置进行判断,误认为(1,0)是 切点;(2)当所给点不是切点时,不知所措,无法与导数的几何 意义联系.

No.2

角度关键词:备考建议

解决与导数的几何意义有关的问题时,要注意以下几点:

(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解的关键.
(2)正确区别“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的 含义,前者是指该点为切点,不要搞混. (3)求解切线问题时,无论是已知切线的斜率还是切线经过 某一点,切点坐标都是化解难点的关键所在.

经典演练提能

1 1.[2013· 豫南四校调研]已知曲线y1=2- x 与y2=x3-x2+ 2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为( A.-2 1 C. 2 B.2 D.1 )

答案:D
1 解析:由题知y′1= 2 ,y′2=3x2-2x+2,所以两曲 x 1 线在x=x0处切线的斜率分别为 x2 ,3x 0 3x2-2x0+2 0 =3,所以x0=1. 2 x0
2 0

-2x0+2,所以

2.[2011·江西高考]若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集 为( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)

C.(2,+∞)
答案:C

D.(-1,0)

4 2?x-2??x+1? 解析:f′(x)=2x-2-x = >0. x ∵x>0,∴x>2.

3.[精选题]曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y =0和y=x围成的三角形的面积为( 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 D.1 )

答案:A 解析:
∵y′=(-2x)′e
-2x

=-2e

-2x

,k=y′|x=0=

-2e0=-2,∴切线方程为y-2=-2(x-0),即y =-2x+2.如图,∵y=-2x+2与y=x的交点坐标 2 2 为( 3 , 3 ),y=-2x+2与x轴的交点坐标为(1,0), 图中阴影部分的面积即为所求的面积, 1 2 1 ∴S= ×1× = . 2 3 3

4.[2012·广东高考]曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方 程为________.

答案:2x-y+1=0
解析:y′=3x2 -1,∴k=2,∴y-3=2(x-1),2x-y+1 =0.

5.已知:f(x)=x2 +2f′(1)x,若f(x)>0,则x的取值范围 ________.

答案:(-∞,0)∪(4,+∞)
解析:∵f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=2+2f′(1), ∴f′(1)=-2,∴f(x)=x2-4x, ∴f(x)>0即x2-4x>0, ∴x>4或x<0.


相关文章:
第2章 第10讲(文) 导数的概念及运算(文)
第2章 第10讲(文) 导数的概念及运算(文)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二章一、选择题 第十讲(文) A 组 基础巩固 1 1.函数 y=ln 的导函数为...
第2章 第10讲(理) 导数的概念及运算(理)
第2章 第10讲() 导数的概念及运算()_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二章一、选择题 第十讲 A 组 基础巩固 1.下列各组函数中导函数相同的是 ...
2016届高考数学大一轮复习 第2章 第10节 导数的概念及其运算课时提升练 文 新人教版
2016届高考数学大一轮复习 第2章 第10导数的概念及其运算课时提升练 文 新人教版_数学_高中教育_教育专区。课时提升练(十三) 导数的概念及其运算一、选择题 ...
【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第讲 导数的概念及运算(理)习题-课件
【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第讲 导数的概念及运算()习题-课件_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第二章...
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第10课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第10课时)知识过关检测 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学()一轮复习知识...
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 . 导数的概念及运算练习 理-课件
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 . 导数的概念及运算练习 -课件_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算...
高中数学高考总复习导数的概念及运算习题及详解
高中数学高考总复习导数的概念及运算习题及详解_数学...+2. Δx Δx ) B.2x D.2+Δx2 ()次...(x)=a(x+ )2- ,顶点(-,- )在第三象限, ...
2014届高三数学(理)一轮总复习:第二篇 函数、导数及其应用 第10节导数的概念与计算 Word版含解析
2014届高三数学()一轮总复习:第二篇 函数、导数及其应用 第10导数的概念与计算 Word版含解析 隐藏>> 第 节 导数的概念与计算 【选题明细表】 知识点、方...
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第11...()28~29 页) 考情分析 ① 导数的概念及其运算是导数应用的基础, 是高考...
更多相关标签: