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高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题+答案


第二章 直线与平面的位置关系 测试题
一、选择题 1.设 ?,?为两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,且 l ? ?,m ? ? , 有如下的两个命题:①若??∥?,则 l∥m;②若 l⊥m,则??⊥?.那么 ( ). A.①是真命题,②是假命题 C.①②都是真命题 B.①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题 ).

2.如图,ABCD-A

1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 3.关于直线 m,n 与平面??,?,有下列四个命题: ①m∥?,n∥??且??∥?,则 m∥n; ?,则 m⊥n; ③m⊥?,n∥??且??∥?,则 m⊥n; ?,则 m∥n. 其中真命题的序号是( A.①② D.②③ 4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ). B.③④ C.①④

(第 2 题)

②m⊥?,n⊥??且??⊥

④m∥?,n⊥??且??⊥

③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行 ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是( . A.1 B.2 ). ). C.3 D.4

5.下列命题中正确的个数是(

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①若直线 l 上有无数个点不在平面???内,则 l∥? ②若直线 l 与平面???平行, 则 l 与平面???内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这 个平面平行 ④若直线 l 与平面???平行, 则 l 与平面???内的任意一条直线都没有 公共点 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ). D. 只有

6. 两直线 l1 与 l2 异面,过 l1 作平面与 l2 平行,这样的平面( A.不存在 两个 B.有唯一的一个 C.有无数个

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥 体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A.90° D.30° 8.下列说法中不正确的 是( .... ). B.60° ).

C.45°

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一 个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9.给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相 交,那么这条直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于 这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( A.4 B.3 ). C.2 D.1

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10.异面直线 a,b 所成的角 60°,直线 a⊥c,则直线 b 与 c 所成的角的范 围为( ). B.[60°,90°] C.[30°,60°]

A.[30°,90°] D.[30°,120°] 二、填空题

11.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且三个侧面 的面积分别为 S1,S2,S3,则这个三棱锥的体积为 .

12.P 是△ABC 所在平面???外一点,过 P 作 PO⊥平面??,垂足是 O, 连 PA,PB,PC. (1)若 PA=PB=PC,则 O 为△ABC 的 (2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则 O 是△ABC 的 (3)若点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等,则 O 是△ABC 的 (4)若 PA=PB=PC,∠C=90?,则 O 是 AB 边的 (5)若 PA=PB=PC,AB=AC,则点 O 在△ABC 的 13.如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为 各边的中点,G,H,I,J 分别为 AF,AD,BE,DE 的 中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为 .
(第 13 题)

心; 心; 心; 点; 线上.

J

14.直线 l 与平面 ??所成角为 30°,l∩?=A,直线 m∈?,则 m 与 l 所 成角的取值范围 是 . 15.棱长为 1 的正四面体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分 别为 d1,d2,d3,d4,则 d1+d2+d3+d4 的值为 .

16.直二面角??-l-??的棱上有一点 A,在平面??,??内各有一 条射线 AB,AC 与 l 成 45°,AB ? ?,AC ? ?,则∠BAC= .

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三、解答题 17.在四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3,求二面 角 A-BC-D 的正弦值; (3)设二面角 A-BC-D 的大小为 ?,猜想 ? ?为何值时,四面体 A-BCD 的体积最大.(不要 求证明)
(第 17 题)

18. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中 点,连结 ED,EC,EB 和 DB. (1)求证:平面 EDB⊥平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

(第 18 题)

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19*. 如图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC=90°,

SA⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= .
(1)求四棱锥 S—ABCD 的体积;? (2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是 所求二面角的棱.)

1 2

(第 19 题)

20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6, 求这个棱柱的体积. (提示: 在 AA1 上取一点 P, 过 P 作棱柱的截面, 使 AA1 垂 直于这个截面.)
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(第 20 题)

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系 参考答案

一、选择题 1.D 解析:命题②有反例,如图中平面∩平面=直线 n,

l ??,m ??,
且 l∥n,m⊥n,则 m⊥l,显然平面不垂直平面 ?,?????????? ????????(第 1 题) 故②是假命题;命题①显然也是假命题, 2.D 解析:异面直线 AD 与 CB1 角为 45°. 3.D 解析:在①、④的条件下,m,n 的位置关系不确定. 4.D 解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择 答案 D. 5.B 解析:学会用长方体模型分析问题,A1A 有 无数点在平面 ABCD 外,但 AA1 与平面 ABCD 相交,① 不正确;A1B1∥平面 ABCD,显然 A1B1 不平行于 BD,② 不正确; A1B1∥AB, A1B1∥平面 ABCD, 但 AB ?平面 ABCD 内,③不正确;l 与平面 α 平行,则 l 与???无 公共点,l 与平面???内的所有直线都没有公共点,④正确,应选 B. (第 5 题) 6.B 解析:设平面 ??过 l1,且 l2∥?,则 l1 上一定点 P 与 l2 确定一 平面 ??,??与 ??的交线 l3∥l2,且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的 直线只有一条, 即 l3 有唯一性, 所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的, 即过 l1 且 平行于 l2 的平面是唯一的. 7.C 解析:当三棱锥 D-ABC 体积最大时,平面 DAC⊥ABC,取 AC 的中点 O, 则△DBO 是等腰直角三角形,即∠DBO=45°. 8.D 解析:A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相 平行,因而共面;C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;D.把书本的书 脊垂直放在桌上就明确了.

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9.B 解析:因为①②④正确,故选 B. 10. A 解析: 异面直线 a ,b 所成的角为 60°, 直线 c ⊥ a , 过空间任一点 P, 作直线 a’∥a, b’∥b, c’∥c. 若 a’,b’,c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角,否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°,90°],所以直线 b 与 c 所成角的范围为[30°,90°] . 二、填空题 11. 则 ∴
1 3

2S1S 2 S3 .解析:设三条侧棱长为 a,b,c.

1 ab=S1, 1 bc=S2, 1 ca=S3 三式相乘: 2 2 2 1 2 2 2 a b c =S1S2S3, 8

∴ abc=2 2 S1S2 S3 . ∵ 三侧棱两两垂直, ∴ V= abc· =
1 3 1 2 1 3

2S1S 2 S3 .

12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分. 解析:(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心; (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的垂心; (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的内心; (4)由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点; (5)由(1)知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说 O 在∠BAC 的平分线上. 13.60°.解析:将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角 的度数为 60°. 14.[30°,90°].解析:直线 l 与平面???所成的 30°的角为 m 与 l 所成角的最小值,当 m 在???内适当旋转就可以得到 l⊥m,即 m 与 l 所成角 的的最大值为 90°. 15. =
6 . 3 6 1 3 1 3 .解析:作等积变换: ? ×(d1+d2+d3+d4)= ? ·h,而 h 3 3 4 3 4

16.60°或 120°.解析:不妨固定 AB,则 AC 有两种可能. 三、解答题
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17.证明:(1)取 BC 中点 O,连结 AO,DO. ∵△ABC,△BCD 都是边长为 4 的正三角形, ∴AO⊥BC,DO⊥BC,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD.又 AD ? 平面 AOD, ∴BC⊥AD. (第 17 题)

解:(2)由(1)知∠AOD 为二面角 A-BC-D 的平面角,设∠AOD=?,则过点

D 作 DE⊥AD,垂足为 E.
∵BC⊥平面 ADO,且 BC ? 平面 ABC, ∴平面 ADO⊥平面 ABC.又平面 ADO∩平面 ABC=AO, ∴DE⊥平面 ABC. ∴线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离,即 DE=3. 又 DO=
3 2

BD=2 3 ,

3 DE = , 2 DO 3 故二面角 A-BC-D 的正弦值为 . 2

在 Rt△DEO 中,sin ?=

(3)当 ?=90°时,四面体 ABCD 的体积最大. 18.证明:(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的 中点.∴△DD1E 为等腰直角三角形,∠D1ED=45°.同理∠C1EC= 45°.∴ ?DEC ? 90? ,即 DE⊥EC. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,BC⊥平面 D1DCC1 ,又 DE ? 平面 D1 DCC1 , ∴BC⊥DE. 又 EC ? BC ? C , ∴DE⊥平面 EBC. ∵平面 DEB 过 DE, ∴平面 DEB⊥ 平面 EBC. (2)解:如图,过 E 在平面 D1DCC1 中作

EO⊥DC 于 O.在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,∵面
ABCD⊥面 D1DCC1 ,∴EO⊥面 ABCD.过 O 在平面 DBC 中作 OF⊥DB 于 F, 连结 EF, ∴EF⊥BD. ∠EFO 为二面角 E-DB-C 的平面角.利用平面几何知识可得 OF=
1 , 5

(第 18

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题) 又 OE=1,所以,tan ? EFO= 5 .
1 1+ 3 1 19*.解:(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面= (BC+AD)? AB = 2 ?1= , 2 4 2

∴四棱锥 S—ABCD 的体积是 V= ·SA·M 底面= ×1× = . (2)如图,延长 BA,CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角的棱. ∵AD∥BC,BC=2AD, ∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB ∵SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是交线. 又 BC⊥EB,∴BC⊥面 SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影,? ∴CS⊥SE,∠BSC 是所求二面角的平面角. ∵SB= SA2+AB2 = 2 ,BC=1,BC⊥SB, ∴tan∠BSC=
BC 2 = , SB 2

1 3

1 3

3 4

1 4

(第 19 题)
2 . 2

即所求二面角的正切值为

20*. 解: 如图, 设斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BB1C1C 的面积为 10,A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6,在 AA1 上取一 点 P 作截面 PQR,使 AA1⊥截面 PQR,AA1∥CC1,∴截面

PQR⊥侧面 BB1C1C,过 P 作 PO⊥QR 于 O,则 PO⊥侧面 BB1C1C,且 PO=6.
1 ∴V 斜=S△PQR·AA1= ·QR·PO·AA1 2
(第 20 题)

= ·PO·QR·BB1 = ×10×6 =30.
1 2

1 2

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