当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


上海市闸北区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一.填空题(本大题共 8 题,每题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)函数 y=(a ﹣3a+1)?a 是指数函数,则 a 等于. 2. (5 分)已知 ab>0,下面四个等式中,正确的命题为. ①lg(ab)=lga+lgb; ②lg =lga﹣lgb; ③ lg( ) =lg ; ④lg(ab)=


2 2 x

3. (5 分)若函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+1 在区间(﹣2,﹣1)上恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是. 4. (5 分)已知函数 y=2|x|.若给出下列四个区间:①;②;③(0,+∞) ;④(﹣∞,0) ,则存在反函 数的区间是. (将所有符合的序号都填上) 5. (5 分)函数 y=log0.5(﹣x +6x﹣5)在区间(a,a+1)上递减,则实数 a 的取值范围是. 6. (5 分)若函数 f(x)= 的值域是,则函数 f (x)的值域为.
﹣1

2

2

7. (5 分)已知函数 f(x)=lg

, (x∈R 且 x≠0)有下列命题:

①y=f(x)的图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,当 x<0 时,y=f(x)是减函数; ③y=f(x)的最小值是 lg2. 其中正确的命题是. 8. (5 分)如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积 y(m )与时间 t(月)的关系 y=a ,有以下几种说法: ①这个指数函数的底数为 2; ②第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30m ; 2 2 ③浮萍从 4m 蔓延到 12m 需要经过 1.5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等. 其中正确的命题序号是.
2 2 t

二.解答题(本大题共 5 题,满分 60 分) , 9. (10 分)设集合 A={x|y=lg(x ﹣x﹣2)},集合 B={y|y=3﹣|x|}. (1)求 A∩B 和 A ∪B; (2)若 C={x|4x+p<0},C?A,求实数 p 的取值范围. 10. (10 分)若 2 +4 ﹣4=0,z=4 ﹣2?4 +5,求 z 的取值范围. 11. (12 分)已知函数 f(x)=|lgx|. (Ⅰ)画出函数 y=f(x)的草图,并根据草图求出满足 f(x)>1 的 x 的集合; (Ⅱ)若 0<a<b,且 f(a)>f(b) ,求证:ab<1. 12. (14 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成 正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1 万元时两类产品的收益分 别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) .
x y x y 2

(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收 益为多少万元?

13. (14 分)已知函数

(a>0,a≠1) .

(1)若 m=﹣1 时,判断函数 f(x)在 上的单调性,并说明理由; (2)若对于定义域内一切 x,f(1+x)+f(1﹣x)=0 恒成立,求实数 m 的值; (3)在(2)的条件下,当 时,f(x)的取值恰为 ,求实数 a,b 的值.

上海市闸北区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题共 8 题,每题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)函数 y=(a ﹣3a+1)?a 是指数函数,则 a 等于 3. 考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的定义是 y=a (a>0 且 a≠1) ,列出条件表达式,求出 a 的值. 解答: 解:根据题意,得;
x 2 x



解得 a=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了指数函数的概念与应用问题,解题时应利用指数函数的定义进行解答,是容易题. 2. (5 分)已知 ab>0,下面四个等式中,正确的命题为③. ①lg(ab)=lga+lgb; ②lg =lga﹣lgb; ③ lg( ) =lg ; ④lg(ab)= .
2

考点: 专题: 分析: 解答:

命题的真假判断与应用;对数的运算性质. 函数的性质及应用. 直接通过对数的基本性质判断 A、B、C 的正误;通过对数的换底公式判断 D 的正误即可. 解:对于①lg(ab)=lga+lgb,当 a>0、b>0 时成立,a<0、b<0 时不成立,所以①不正确;

对于②lg =lga﹣lgb,当 a>0、b>0 时成立,a<0、b<0 时不成立,所以②不正确; 对于③ lg( ) =lg ,当 >0 时成立, <0 时不成立,由 ab>0 可得: >0,所以③正确; 对于④当 ab≠1 时,lg(ab)= ,当 ab=1 时,不成立,所以④不正确.
2

故答案为:③ 点评: 本题以命题的真假的判断为载体, 考查对数的基本性质与换底公式的应用, 考查基本知识的应用. 3. (5 分)若函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+1 在区间(﹣2,﹣1)上恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是 ﹣ <a<﹣ .
2

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,分 a 的取值讨论,从而求 a 的取值范围.

解答: 解:①当 a=0 时,﹣2x+1=0,故 x= ; ②当 a<0 时,函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+1 的零点一正一负, 故 f(﹣2)?f(﹣1)=(6a+5) (2a+3)<0, 故﹣ <a<﹣ ; ③当 a>0 时,ax ﹣(a+2)x+1=0 的两根为正值, 2 故函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+1 在区间(﹣2,﹣1)上没有零点, 综上所述,﹣ <a<﹣ . 故答案为:﹣ <a<﹣ . 点评: 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用,属于基础题. 4. (5 分)已知函数 y=2|x|.若给出下列四个区间:①;②;③(0,+∞) ;④(﹣∞,0) ,则存在反函 数的区间是①③④. (将所有符合的序号都填上) 考点: 反函数. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由反函数的定义,结合函数 y=2|x|的性质求解. 解答: 解:由函数 y=2|x |的性质知, 其在上单调递增, 在上先减后增; 在(0,+∞)上单调递增; 在(﹣∞,0)上单调递减, 故存在反函数的区间是①③④; 故答案为:①③④. 点评: 本题考查了反函数存在的条件应用,属于基础题. 5. (5 分)函数 y=log0.5(﹣x +6x﹣5)在区间(a,a+1)上递减,则实数 a 的取值范围是. 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 设 t=﹣x +6x﹣5,根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论. 2 解答: 解:由﹣x +6x﹣5>0 解得 1<x<5,即函数的定义域为{x|1<x<5}, 2 设 t=﹣x +6x﹣5,则函数 y=log0.5t 为减函数, 根据复合函数单调性之间的关系可知函数 f(x)的单调递减区间, 2 即是函数 t=﹣x +6x﹣5 的递增区间, 2 ∵t=x ﹣6x﹣7,递减增间为(1,3], ∴函数 f(x)的递减区间为(1,3], 2 ∵函数 y=log0.5(﹣x +6x﹣5)在区间(a,a+1)上递减, ∴ ,
2 2 2

解得 1≤a≤2, 故答案为:

点评: 本题主要考查函数单调区间的求解,利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关 键. 6. (5 分)若函数 f(x)= 的值域是,则函数 f (x)的值域为.
﹣1

考点: 反函数. 专题: 计算题. 分析: 由已知中函数 f(x)= f(x)=

的解析式,我们可以判断出函数 f(x)的单调性,进而根据函数 的定义域,即函数 f (x)的值域.
﹣1

的值域是,我们可以确定函数 f(x)= 为减函数

解答: 解:∵函数 f(x)= 又∵函数 f(x)= ∴函数 f(x)=
﹣1

的值域是, 的定义域为

∴函数 f (x)的值域 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是反函数,其中求反函数的值域,即求原函数的定义域是解答本题的关键.另 外,判断出原函数的单调性,也很关键.

7. (5 分)已知函数 f(x)=lg

, (x∈R 且 x≠0)有下列命题:

①y=f(x)的图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,当 x<0 时,y=f(x)是减函数; ③y=f(x)的最小值是 lg2. 其中正确的命题是①③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断①;利用对勾函数的单调性判断②;由对勾函数的 最值及复合函数的最值结合函数奇偶性求得函数的最值判断③. 解答: 解:函数 f(x)=lg , (x∈R 且 x≠0) .

∵f(﹣x)= 确; 当 x>0 时,t(x)= ∴f(x)=lg

=f(x) ,∴函数 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,命题①正

,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上得到递增,

在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上得到递增,命题②错误;

由②知,f(x)=lg

在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上得到递增,f(x)在(0,+∞)上的最

小值为 f(1)=lg2, 由函数 f(x)为偶函数,则 f(x)在(﹣∞,0)上的最小值为 lg2,则 y=f(x)的最小值是 lg2,命题③ 正确. 故答案为:①③. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了函数奇偶性的性质,考查了复合函数的单调性,是中 档题. 8. (5 分)如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积 y(m )与时间 t(月)的关系 y=a ,有以下几种说法: ①这个指数函数的底数为 2; 2 ②第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30m ; 2 2 ③浮萍从 4m 蔓延到 12m 需要经过 1.5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等. 其中正确的命题序号是①②.
2 t

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由图象知:t=2 时,y=4,代入解析式求出 a,可判断①;令 t=5 代入解析式求解判断②;令 y=4、 y=12 分别求出 t,再求出差值判断③;根据图象得变化趋势判断增长速度越来越快,可判断④. 2 解答: 解:由图象知,t=2 时,y=4,∴a =4,故 a=2,①正确; 5 当 t=5 时,y=2 =32>30,②正确, 当 y=4 时,由 4=2t1 知, t1=2, 当 y=12 时,由 12=2t2 知,t2=log212=2+log2 3.t2﹣t1=log23≠1.5,故③错误; 浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误. 故答案为:①②. 点评: 本题考查指数函数的图象与性质,以及函数图象与解析式得关系,考查识图能力. 二.解答题(本大题共 5 题,满分 60 分) , 9. (10 分)设集合 A={x|y=lg(x ﹣x﹣2)},集合 B={y|y=3﹣|x|}. (1)求 A∩B 和 A∪B; (2)若 C={x|4x+p<0},C?A,求实数 p 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: (1)利用真数大于零、偶次根式的被开方数非负列不等式是解决本题的关键;准确求解一元二 次不等式、含绝对值的不等式是解决本题的前提. (2)用字母 p 表示出集合 C,借助数轴分析列出关于实数 p 的不等式是解决本题的关键. 2 解答: 解: (1)x ﹣x﹣2>0
2

∴(x﹣2) (x+1)>0 ∴x>2 或 x<﹣1 ∴A={x|x<﹣1 或 x>2}y=3﹣|x|≤3 ∴B={x|x≤3} ∴A∩B={x|x<﹣1 或 2<x≤3} A∪B=R. (2) ∵C≤A ∴ ∴p≥4 ∴p 的取值范围为 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 z=(2 +1) ﹣4,令 2 =t,则 z=(t+1) ﹣4.再根据 4 =4﹣2 >0,求得 0<t<2, 2 根据 z=(t+1) ﹣4 在(0,2)上单调递增,可得 z 的范围. x y x y x 2 x x 2 x x 2 解答: 解:∵2 +4 ﹣4=0,∴z=4 ﹣2?4 +5=(2 ) ﹣2(4﹣2 )+5=(2 ) +2?2 ﹣3=(2 +1) ﹣4. x 2 令 2 =t,则 z=(t+1) ﹣4. y x x 再根据 4 =4﹣2 >0,可得 0<2 <4,即 0<t<2. 2 根据 z=(t+1) ﹣4 在(0,2)上单调递增,可得﹣3<z<21. 点评: 本题主要考查指数函数的定义域和值域,二次函数的性质的应用,属于基础题. 11. (12 分)已知函数 f(x)=|lgx|. (Ⅰ)画出函数 y=f(x)的草图,并根据草图求出满足 f(x)>1 的 x 的集合; (Ⅱ)若 0<a<b,且 f(a)>f(b) ,求证:ab<1. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)画出函数 y=f(x)的草图,如图所示:令 f(x)=1,可得 x=10,或 x= .由此求得满
x 2 x 2 y x

足 f(x)>1 的 x 的集合. (Ⅱ)由条件可得|lga|>|lgb|,故有﹣lga>lgb,即 lga+lgb<0,化为 lgab<0,从而得到 0<ab<1. 解答: 解: (Ⅰ)画出函数 y=f(x)的草图,如图所示:令 f(x)=1,可得 x=10,或 x= 故满足 f(x)>1 的 x 的集合为(0, )∪(10,+∞) . .

(Ⅱ)证明:若 0<a<b,且 f(a)>f(b) ,可得|lga|>|lgb|,故有﹣lga>lgb, 即 lga+lgb<0,化为 lgab<0, ∴0<ab<1.

点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质应用,属于中档题. 12. (14 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成 正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1 万元时两类产品的收益分 别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) .

(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收 益为多少万元? 考点: 函数模型的选择与应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 应用题. 分析: (1)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额 的算术平方根成正比,结合函数图象,我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系; (2)由(1)的结论,我们设设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 20﹣x 万元.这时可以构造出一 个关于收益 y 的函数,然后利用求函数最大值的方法进行求解. 解答: 解: (1)f(x)=k1x, , (x≥0) (2)设:投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 20﹣x 万元. (0≤x≤20) , , (x≥0) ,



,则

=

=

所以当 t=2,即 x=16 万元时,收益最大,ymax=3 万元.

点评: 函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注意实际情况对 自变量 x 取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题,利用函数模型, 转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一.

13. (14 分)已知函数

(a>0,a≠1) .

(1)若 m=﹣1 时,判断函数 f(x)在 上的单调性,并说明理由; (2)若对于定义域内一切 x,f(1+x)+f(1﹣x)=0 恒成立,求实数 m 的值; (3)在(2)的条件下,当 时,f(x)的取值恰为 ,求实数 a,b 的值.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: (1)由于 ,单调递减,再由复合函数的单调性可得函数 ,在

上的单调性. (2)由 f(1+x)+f(1﹣x)=0 恒成立,可得 m=±1,经检验,m=﹣1 满足条件 (3)f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪ 种情况,根据 f(x)的取值恰为 解答: 解: (1) ,分(b,a)?(﹣∞,0)和(b,a)? ,求出实数 a,b 的值. ,任取 x 2>x1>2,记 , 2

∴ 当 a>1 时,f(x)在 当 0<a< 1 时,f(x)在

,∴?(x)单调递减. 单调递减, 单调递增.…(4 分) + =0,

(2)由 f(1+x)+f(1﹣x)=0 恒成立,可得 得﹣m x =﹣x ,m=±1.…(8 分) ∵当 m=1 时,f(x)=
2 2 2

无意义,∴m=﹣1,f(x)=

.…(10 分)

(3)由于 f( x)的定义域为(﹣∞,0)∪ , 若(b,a)?(﹣∞,0) ,与 a>0 矛盾,不合题意.…(12 分) 若(b,a)? 故值域 又 ,∴2≤b<a,由(1)知 f(x)为减函数. 即为 ,∴b=2…(15 分) ,得 a=3.…(16 分)

点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质,函数的恒成立问题,属于中档题.


相关文章:
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷_数学_高中教育_教育专区。上海市闸北区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷一.填空题(本大题共 8 题,每...
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析_高一数学_数学_高中教育_教育专区。上海市闸北区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷一.填空题...
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷_数学_高中教育_教育专区。上海市闸北区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷一.填空题(本大题共 8 题,每...
上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷_数学_高中教育_教育专区。上海市浦东新区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷一、填空题(本大题满分 36 ...
上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题
上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 ...
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末练习数学试题(B卷)
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末练习数学试题(B卷)_数学_高中教育_教育专区。上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末练习数学试题(B卷)2014...
上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析_高一数学_数学_高中教育_教育专区。上海市嘉定区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷一.填空题...
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末练习数学(B卷)试题 Word版含答案
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末练习数学(B卷)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2015上海一模2014 学年第一学期高一数学期末练习(2014.12) 答...
上海市宝山区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
上海市宝山区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得...
更多相关标签:
高一上学期期末试卷 | 高一上学期期末数学 | 高一上学期期末考试 | 上海市闸北区 | 上海市闸北区蛋糕店 | 上海市闸北区人民法院 | 上海市闸北区中医医院 | 上海市闸北区中心医院 |