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【新导学案】高中数学人教版必修一:1.1.2 《集合间的基本关系》


1.1.2

《集合间的基本关系》导学案

【学习目标】 1. 了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 2. 理解子集、真子集的概念; 3. 能利用 Venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用; 4. 了解空集的含义. 【重点难点】 重点:子集与空集的概念;能利用 Venn 图表达集合间的关系。 难点:弄清

属于与包含的关系。 【知识链接】 (预习教材 P6~ P7,找出疑惑之处) 复习 1:集合的表示方法有 、 、 . 请用适当的方法表示下列集合. (1)10 以内 3 的倍数; (2)1000 以内 3 的倍数.

复习 2:用适当的符号填空. (1) 0 N; 2 Q; -1.5 R. 2 (2)设集合 A ? {x | ( x ? 1) ( x ? 3) ? 0} , B ? {b} ,则 1

A;b

B; {1,3}

A.

思考:类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集 合间是否有类似的“大小”关系呢?

【学习过程】 ※ 学习探究 探究:比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: A ? {3,6,9} 与 B ? {x | x ? 3k , k ? N *且k ? 333} ;
C ? {东升高中学生} 与 D ? {东升高中高一学生} ; E ? {x | x( x ? 1)( x ? 2) ? 0} 与 F ? {0,1, 2} .

新知:子集、相等、真子集、空集的概念. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 A ? B(或B ? A) , B 的子集 (subset) , 记作: 读作: A 包含于 (is contained in) B, 或 B 包含(contains)A. 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ? B . ② 在数学中, 我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合, 这种图称为 Venn 图. 用 Venn 图表示两 个集合间的“包含”关系为: A ? B(或B ? A) . A B

③ 集合相等:若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样 的,因此 A ? B . ④ 真子集: 若集合 A ? B , 存在元素 x ? B且x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) , 记作:A B(或 B A) ,读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A). ⑤ 空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? . 并规定:空集是任何集合的子 集,是任何非空集合的真子集.

试试:用适当的符号填空. {a, b, c} , a (1) {a, b} (2) ? (3)N (4) {0}

[来源:学科网 ZXXK]

{a, b, c} ;

{x | x2 ? 3 ? 0} , ? {0,1} ,Q N;
{x | x 2 ? x ? 0}.

R;

[来源:学科网 ZXXK]

反思:思考下列问题. (1)符号“ a ? A ”与“ {a} ? A ”有什么区别?试举例说明.

(2)任何一个集合是它本身的子集吗?任何一个集合是它本身的真子集吗?试用符号表示结论.

(3)类比下列实数中的结论,你能在集合中得出什么结论? ① 若 a ? b, 且b ? a, 则a ? b ; ② 若 a ? b, 且b ? c, 则a ? c .

※ 典型例题 例 1 写出集合 {a, b, c} 的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集.

变式:写出集合 {0,1, 2} 的所有真子集组成的集合.
[来源:学.科.网]

例 2 判断下列集合间的关系: (1) A ? {x | x ? 3 ? 2} 与 B ? {x | 2 x ? 5 ? 0} ;
[来源:学科网 ZXXK]

(2)设集合 A={0,1},集合 B ? {x | x ? A} ,则 A 与 B 的关系如何?

变式:若集合 A ? {x | x ? a} , B ? {x | 2 x ? 5 ? 0} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

※ 动手试试 练 1. 已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,B={1,2}, C ? {x | x ? 8, x ? N} ,用适当符号填空: A B,A C,{2} C,2 C.
练 2. 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} ,B ? {x | x ? 2} , 且满足 A ? B , 则实数 a 的取值范围为 .

【学习反思】 ※ 学习小结 1. 子集 、真子集、空集、相等的概念及符号;Ven n 图图示;一些结论. 2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,特别要注 意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.

※ 知识拓展 如果一个集合含 有 n 个元素,那么它的子集有 2n 个,真子集有 2 n ? 1 个.
【基础达标】 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列结论正确的是( ). A. ? A B. ? ? {0} C. {1, 2} ? Z D. {0} ? {0,1} 2. 设 A ? ?x x ? 1?, B ? ?x x ? a? ,且 A ? B ,则实数 a 的取值范围为( A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1 2 3. 若 {1, 2} ? {x | x ? bx ? c ? 0} ,则( A. b ? ?3, c ? 2 C. b ? ?2, c ? 3 B. b ? 3, c ? ?2 D. b ? 2, c ? ?3 个. ).

).

4. 满足 {a, b} ? A ? {a, b, c, d } 的集合 A 有

5. 设 集 合 A ? {四边形}, B ? {平行四边形}, C ? {矩形} , D ? {正方形} , 则 它 们 之 间 的 关 系 是 ,并用 Venn 图表示.

[来源:Zxxk.Com]

【拓展提升】 1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格. 若用 A 表示合格产品的集合,B 表 示质量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成立? A ? B, B ? A, A ? C, C ? A 试用 Venn 图表示这 三个集合的关系.

2. 已知 A ? {x | x 2 ? px ? q ? 0} , B ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} 且 A ? B ,求实数 p、q 所满足的条件.


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