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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数应用(3)教学案


江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第 3 讲 基本初等函数、 函数与方 程及函数应用(3)教学案
复备栏 教学内容:基本初等函数、函数与方程及函数应用(3) 教学目标: 掌握基本初等函数的图象及性质。理解函数与方程的关系,掌握函数的应用。 教学重点: 二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数。 教学难点: 单调性、奇偶性、周期性等综合应用. 教学过程: 一、

基础训 练: 1.设 f(x)为偶函数,对于任意的 x>0,都有 f(2+x)=-2f(2-x),已知 f(-1)=4,那 么 f(-3)=________. 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(1)=f(-1)=4,f(-3)=f(3), 当 x=1 时,f(2+1)=(-2)· f(2-1),∴f(3)=(-2)×4=-8,∴f(-3)=-8. 2.对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的 ________条件. 解析 若函数 y=f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x).此时|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,因 此 y=|f(x)|是偶函数,其图象关于 y 轴对称,但当 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称时, 未必能推出 y=f(x)为奇函数,故“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数” 的必要不充分条件. 3.若 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是增函数,又 f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为 ________. 解析 因为 f(x)为奇函数,且 f(-2)=0,所以 f(2)=0 作出 f(x) 大致图象,如图所示,由图象可知: 当-2<x<0 时,f(x)>0,所以 xf(x)<0; 当 0<x<2 时, f(x)<0, 所以 xf(x)<0.故不等式 xf(x)<0 的解集为(- 2,0)∪(0,2). 1 4.已知函数 f(x)满足:f(1)=4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 014) = ________. 1 解析 令 x=1,y=0,由已知得 f(0)=2, 1 1 1 令 x=y=1,则 f(2)=4f2(1)-f(0)=4×(4)2-2=-4. 取 x=n,y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),① 同理 f(n+1)=f(n+2)+ f(n),②联立①②,得 f(n+2)=-f(n-1), 所以 f(n+3)=-f(n),f(n+6)=-f(n+3)=f(n),所以函数 f(x)的周期为 6, 1 1 f(2 014)=f(335×6+4)=f(4)=4f2(2)-f(0)=-4.故填-4.

1

二、例题教学: 例 1 已知函数 f(x)=(a+1)x+2+1(a>-1 且 a≠0)的图象过定点 A, 且点 A 在函数 g(x) =log3(x+a)的图象上. (1)求 a 的值; (2)若 g(x-12)+g(x-4)=f(-2),求 x 值的集合. 解: (1)∵f(x)=(a+1)x+2+1 过定点(-2,2),∴A(-2,2), ∵A 点在函数 g(x)=log3(x+a)的图象上,∴2=log3(-2+a ), ∴a-2=9,∴a=11. (2 )由(1)知 f(-2)=2,且 g(x)= log3(x+11),∵g(x-12)+g(x-4)=f(-2), ∴log3(x-1)+log3(x+7)=2,∴(x-1)(x+7)=9,即 x2+6x-16=0, 解得 x=2 或 x=-8.经检验 x=2 是原方程的根,x=-8 是增根, 故 x 的值的集合为{2}. 变式训练: 已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范 围. 解:(1)?x∈R,f(x)<bg(x)??x∈R,x2-bx+b<0?(-b)2-4b>0?b<0 或 b>4. 故 b 的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞). (2)F(x)=x2-mx+ 1-m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4. 2 5 2 5 ①当 Δ≤0,即- 5 ≤m≤ 5 时,

? ? 2 ≤0, 则必需? 2 5 2 5 ?- 5 ≤m≤ 5 ?
m

2 5 ?- 5 ≤m≤0.

2 5 2 5 ②当 Δ>0,即 m<- 5 或 m> 5 时,设方程 F(x)=0 的根为 x1, x2(x1<x2). m ? ? 2 ≥1, m 若 2 ≥1,则 x1≤0,即? ?m≥2; ? =1-m2≤0 ?F? 0? m ? ? 2 ≤0, m 2 5 若 2 ≤0,则 x2≤0,即? ?-1≤m<- 5 . ? =1-m2≥0 ?F? 0? 综上所述,m 的取值范围为[-1,0]∪[2,+∞). 例 2 (2014· 南师附中模拟)将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种 植 150 捆白杨树苗,B 组种植 200 捆沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植.

2

2 (1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时5小时,种植一捆沙棘树苗用时 1 2小时.应如何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? 2 (2)在按(1)分配的人数种植 1 小时后发现, 每名志愿者种植一捆白杨 树苗用时仍为5小 2 时,而每名志愿者种植一捆沙棘树 苗实际用时3小时,于是从 A 组抽调 6 名志愿者加 入 B 组继续种植,求植树活动所持续的时间. 解:(1)设 A 组人数为 x,且 0<x<52,x∈N*, 2 150×5 60 则 A 组活动所需时间 f(x)= x = x ; 1 200×2 100 B 组活动所需时间 g(x)= = . 52-x 52-x 60 100 39 令 f(x)=g(x),即 x = ,解得 x= 2 . 52-x 所以两组同时开始的植树活动所需时间

? x ,x≤19,x∈N* F(x)=? 100 ?52-x,x≥20,x∈N*
60

.

60 25 而 F(19)=19,F(20)= 8 ,故 F(19)>F(20). 所以当 A、B 两组人数分别为 20,32 时,使植树活动持续时间最短. 2 150×5-20×1 6 (2)A 组所需时间为 1+ =37(小时), 20-6 2 200×3-32×1 2 B 组所需时间为 1+ =33(小时), 32+6 6 所以植树活动所持续的时间为 37小时. 巩固练习: 5.已知函数 y=f(x)和 y=g(x)的定义域及值域均为[-a,a](常数 a>0),其图象如图所 示,则方程 f(g(x))=0 根的个数为________.

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解析 由 f(x)的图象可知方程 f(x)=0 有三个根,分别设为 x1,x2,x3,因为 f(g(x))= 0,所以 g(x)=x1,g(x)=x2 或 g(x)=x3,因为-a<x1<a,g(x)∈[-a,a],所以由 g(x) 的图象可知 y=x1 与 y=g(x)的图象有两个交点,即方程 g(x)=x1 有两个根,同理 g(x) =x2,g(x)=x3 各有两个根,所以方程 f(g(x))=0 有 6 个根 . 6.如图,偶函数 f(x)的图象如字母 M, 奇函数 g(x)的图象如字母 N, 若方程 f(f(x))=0, f(g(x))=0 的实根个数分别为 m,n,则 m+n=________.

解析 由图象可知偶函数 f(x)的 1 个零点是 0,另外 2 个零点分别在区间(-2,-1) 与(1,2)中,值域是[-1,1];奇函数 g(x)的 1 个零点是 0,另外 2 个零点分别在区间(- 1,0)与(0,1)中,值域是[-2,2].①只有当 f(x)=0 时,f(f(x))=0,故实根个数 m=3.② 存在 3 个实数 x,使 g(x)=0,f(g(x))=0;存在 3 个实数 x,使 g(x)∈(-2,-1),f(g(x)) =0;存在 3 个实数 x,使 g(x)∈(1,2),f(g(x))=0,故实根个数 n=9.从而 m+n=12. 7.若对于定义在 R 上的函数 f(x),存在常数 t(t∈R),使得 f(x+t)+tf(x)=0 对任意实 数 x 均成立,则称 f(x )是 t 阶回旋函数,则下列命题正确的是________.(填序号) 1 ①f(x)=2x 是-2阶回旋函数;②f(x)=sin(πx)是 1 阶回旋函数; ③f(x)=x2 是 1 阶回旋函数;④f(x)=logax 是 0 阶回旋函数. 解析 对于函数 f(x)=sin πx,由诱导公式可知当 t=1 时满足 f(x+1)+f(x)=sin π(x+ 1)+sin πx=0,故 f(x) =sin πx 是 1 阶回旋函数,②正确. 8.设 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数, 给出下列关于函数 y=f (x)的判断: ①y=f(x)是周期函数;②y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; 1 ③y =f(x)在[0,1]上是增函数;④f(2)=0.其中正确判断的序号是________. 解析 由 f(x+1)=-f(x)可得 f(x+2)=f(x),①正确;因为 y=f(x)是定义在 R 上的偶函 1 数,可知 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,②正确;显然③错误;由 f(-2+1)=- 1 1 1 1 f(-2)=-f(2)=f(2)得 f(2)=0,④正确. 课后反思:

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