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04第四章 几个初等函数的性质【讲义】


第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a ≠ 1)的函数叫做指数函数,其定义域为 R,值域为 (0,+∞) ,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点(0, 1) 。
1 m n

2.分数指数幂: a n =
<

br />a , a n = n a m , a ?n =

1 ?n ,a = an

m

1

n

3. 对数函数及其性质: 形如 y=logax(a>0, a ≠ 1)的函数叫做对数函数, 其定义域为 (0, +∞) , 值域为 R,图象过定点(1,0) 。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0) ; 1)ax=M ? x=logaM(a>0, a ≠ 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N; 3)loga(

am

M )= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M; , N log c b 1 5)loga n M = loga M;6)aloga M=M; 7) loga b= (a,b,c>0, a, c ≠ 1). n log c a a 的单调递增区间是 ? ∞,? a 和 a ,+∞ , 单调递减区间为 ? a ,0 5. 函数 y=x+ (a>0) x 和 0, a 。 (请读者自己用定义证明)

(

]

(

] [

)

[

)

6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上至少 有一个实根。 二、方法与例题 1.构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0, 所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0. b 则 例 2 (柯西不等式) a1, a2,…,an 是不全为 0 的实数, 1, b2,…,bn∈R, ( 若 · ( ∑ ai2 ) ∑ bi2 )
i =1 i =1 n n

≥(

∑a b
i =1 i

n

i

)2,等号当且仅当存在 ? ∈ R,使 ai= ?bi , i=1, 2, …, n 时成立。

【证明】 令 f(x)= (

∑ ai2 )x2-2( ∑ ai bi )x+ ∑ bi2 = ∑ (ai x ? bi ) 2 ,
i =1 i =1 i =1 i =1

n

n

n

n

因为

∑a
i =1

n

2 i

>0,且对任意 x∈R, f(x)≥0,
n n n

所以△=4(

∑ ai bi )-4( ∑ ai2 )( ∑ bi2 )≤0.
i =1 n i =1 i =1

展开得(

∑a
i =1

2 i

)(

∑b
i =1

n

2 i

)≥(

∑a b
i =1 i

n

i

)2。

等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在 ? ,使 ai= ?bi , i=1, 2, …, n。

1 ?? 1? ?? y + ? 的最小值。 ? x ?? y? ? x y 1 1 x y 1 ?? 1? ? ? 【解】u= ? x + ?? y + ? =xy+ + + ≥xy+ +2· ? ? y x xy xy y x x ?? y? ? 1 +2. =xy+ xy
例 3 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u= ? x +

? ?

( x + y) 2 c 2 1 c2 = ,设 f(t)=t+ ,0<t≤ . 4 4 t 4 ? c2 ? c2 因为 0<c≤2,所以 0< ≤1,所以 f(t)在 ? 0, ? 上单调递减。 ? 4 4 ? ?
令 xy=t,则 0<t=xy≤ 所以 f(t)min=f(

c2 c2 4 c2 4 )= + 2 ,所以 u≥ + +2. 4 4 c 4 c2 c c2 4 当 x=y= 时,等号成立. 所以 u 的最小值为 + +2. 2 4 c2 q 的值。 p

2.指数和对数的运算技巧。 例 4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求

【解】 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t,

?4? ?4? 所以 9 +12 =16 ,即 1+ ? ? = ? ? . ?3? ?3?
t t t

t

2t

记 x=

1± 5 q 12 t ? 4 ? = t = ? ? ,则 1+x=x2,解得 x = . 2 p 9 ?3? q q 1± 5 又 >0,所以 = . p p 2
t

例 5 对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w,且 证:a+b=c. 【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

1 1 1 1 + + = ,求 x y z w

1 1 1 1 1 1 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70, w x w y w z ?1 1 1? 1 1 1 1 1 相加得 (lga+lgb+lgc)= ? + + ? lg70,由题设 + + = , ?x y z? w x y z w ? ?
所以 所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1. 又 a≤b≤c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x ≠ 1, ac ≠ 1, a ≠ 1, c ≠ 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得

log a x 2 log a x = , log a c log a b 因为 ac>0, ac ≠ 1,所以 logab=logacc2,所以 c2=(ac)logab. log a x +

注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3.指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。 值得注意的是函数单调 性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为 ? ? + ? ? + ? ? =1。设 f(x)= ? ? + ? ? + ? ? , 则 f(x)在(∞,+∞)上是减函数,因为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3.

?1? ?2?

x

?2? ?3?

x

?5? ?6?

x

?1? ?2?

x

?2? ?3?

x

?5? ?6?

x

? x + y = y 12 ?x 例 8 解方程组: ? (其中 x, y∈R+). ? y x+ y = x 3 ?
【解】 两边取对数,则原方程组可化为 ?

?( x + y ) lg x = 12 lg y . ?( x + y ) lg y = 3 glx

①②

把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6, 代入①得 lgx=2lgy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0. 又 y>0,所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 ?

? x1 = 1 ? x 2 = 4 ? ? . ;? ? y1 = 1 ? y 2 = 2 ? ? 例 9 已知 a>0, a ≠ 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。 ?( x ? ak ) 2 = x 2 ? a 2 ? 【解】由对数性质知,原方程的解 x 应满足 ? x ? ak > 0 .①②③ ? 2 2 ?x ? a > 0
若①、②同时成立,则③必成立,

?( x ? ak ) 2 = x 2 ? a 2 故只需解 ? . ? x ? ak > 0
由①可得 2kx=a(1+k2), ④ 当 k=0 时,④无解;当 k ≠ 0 时,④的解是 x=

a (1 + k 2 ) 1+ k 2 ,代入②得 >k. 2k 2k

若 k<0,则 k2>1,所以 k<-1;若 k>0,则 k2<1,所以 0<k<1. 综上,当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。 三、基础训练题 1.命题 p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题 q:“x+y≥0”的_________条件。 2.如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根,x2 是方程 x+10x=27 的根,则 x1+x2=_________. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,点 A(-1,1) ,B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它 -1 的反函数,则不等式|f (log2x)|<1 的解集为_________。 4.若 log2a

1+ a2 <0,则 a 取值范围是_________。 1+ a a ? ? 5.命题 p: 函数 y=log2 ? x + ? 3 ? 在[2,+∞)上是增函数;命题 q: 函数 y=log2(ax2-4x+1) x ? ?
的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件。 6.若 0<b<1, a>0 且 a ≠ 1,比较大小:|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。

8.若 x=

1 1 log 1 3 2

+

1 1 log 1 3 5

,则与 x 最接近的整数是_________。

9.函数 y = log 1 ? 10.函数 f(x)=

1 ? ? 1 + ? 的单调递增区间是_________。 1? x 1+ x ? 2?
2

x ?1 ? ?3 ?? ? x ∈ ? ,2? ? 的值域为_________。 ? ? x ? 2x + 5 ? ?2 ??

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数, n≥2, a∈R.若 f(x)在 x∈(∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。 12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题 1.函数 f(x)=

lg 2 x =2 有一解,二解,无解? lg( x + a )

8 ? 1 +lg(x2-1)的定义域是_________. x
? ? 1? 2?

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈ ? 0, ? 时恒成立,则 m 的取值范围是_________. 3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是_________. 4. 若 f(x)=ln

1? x ? a+b ? ,则使 f(a)+f(b)= f ? ? _________. 1+ x ? 1 + ab ?

5. 命题 p: 函数 y=log2 ? x +

? ?

a ? ? 3 ? 在[2,+∞)上是增函数;命题 q:函数 y=log2(ax2-4x+1) x ?

的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件. 6.若 0<b<1, a>0 且 a ≠ 1,比较大小:|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________. 8.若 x=

1 1 log 1 3 2

+

1 1 log 1 3 5

,则与 x 最接近的整数是_________.

9.函数 y= log 1 ? 10.函数 f(x)=

1 ? ? 1 + ? 的单调递增区间是_________. 1? x 1+ x ? 2?

x ?1 ? ?3 ?? ? x ∈ ? ,2? ? 的值域为_________. ? ? x ? 2x + 5 ? ?2 ??
2

11. f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x· 其中 n 为给定正整数, 设 a], n≥2,a∈R。 f(x) 在 x∈(若 ∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。 12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题 1.函数 f(x)=

lg 2 x =2 有一解,二解,无解? lg( x + a )

8 ? 1 +lg(x2-1)的定义域是__________. x

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈ ? 0, ? 时恒成立,则 m 的取值范围是 ________. 3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是________.

? ?

1? 2?

4.若 f(x)=ln

1? x ? a+b ? ,则使 f(a)+f(b)= f ? ? 成立的 a, b 的取值范围是________. 1+ x ? 1 + ab ? 1023 1 q 5.已知 an=logn(n+1),设 ∑ = ,其中 p, q 为整数,且(p ,q)=1,则 p·q 的值 p n = 2 log a n 100

为_________. 6.已知 x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7.若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是________. 8.函数 f(x)= ?

?| lg | x ? 1 || ?0

x ≠1 x =1

的定义域为 R,若关于 x 的方程 f-2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个

不同的实数解,则 b, c 应满足的充要条件是________. (1)b<0 且 c>0; (2)b>0 且 c<0; (3)b<0 且 c=0; (4)b≥0 且 c=0。

1? ? 1 + ? x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t ≠ 0),则 F(x)是________函数(填奇偶性). x ? 2 ?1 2 ? ?1+ x ? ? a+b ? ? a?b ? 10.已知 f(x)=lg ? ? ,若 f ? ? =1, f ? ? =2,其中|a|<1, |b|<1,则 ?1? x ? ? 1 ? ab ? ? 1 ? ab ?
9.已知 f(x)= ? f(a)+f(b)=________. 11.设 a∈R,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。 12.设 f(x)=|lgx|,实数 a, b 满足 0<a<b, f(a)=f(b)=2f ? (1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0; (2)3<b<4. 13.设 a>0 且 a ≠ 1, f(x)=loga(x+ x ? 1 )(x≥1), (1)求 f(x)的反函数 f-1(x); (2)若
2

?a+b? ? ,求证: ? 2 ?

f-1(n)<

3n + 3?n (n∈N+),求 a 的取值范围。 2

五、联赛一试水平训练题 1.如果 log2[log 1 (log2x)]= log3[log 1 (log3x)]= log5[log 1 (log5z)]=0,那么将 x, y, z 从小到大排
2 3 5

列为___________. 2.设对任意实数 x0> x1> x2> x3>0,都有 log x 1993+ log x 1993+ log x 1993> klog x 1993 恒
0 10 2 0

x1

x2

x3

x3

成立,则 k 的最大值为___________. 3.实数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则

1 S max

+

1
的值为___________.

S min

4.已知 0<b<1, 00<α<450,则以下三个数:x=(sinα)logbsina, y=(cosα) logbsina, z=(sinα) logbsina 从小到大排列为___________. 5.用[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是___________. 6.设 a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记 a, b, c 中的最大数为 M, 则 M 的最小值为___________.
1

7. f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数, x∈[0,1]时, 若 当 f(x)= x 1998 , f ? 则 由小到大排列为___________. 8.不等式 log 2 x ? 1 +

? 98 ? ? 101 ? ? ,f ? ?, ? 19 ? ? 17 ?

? 104 ? f? ? ? 15 ?

1 log 1 x 2 +2>0 的解集为___________. 2 2

9.已知 a>1, b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,求 lg(a-1)+lg(b-1).

lg(6 ? x) + lg( x ? 2) + log 1 ( x ? 2)
10. (1)试画出由方程 (2)若函数 y=ax+
10

lg 2 y

=

1 所确定的函数 y=f(x)图象。 2

1 与 y=f(x)的图象恰有一个公共点,求 a 的取值范围。 2 11.对于任意 n∈N+(n>1),试证明:[ n ]+[ 3 n ]+…+[ n n ]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
+

六、联赛二试水平训练题

3x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z 1.设 x, y, z∈R 且 x+y+z=1,求 u= + + 的最小值。 1+ x2 1+ y2 1+ z2
2.当 a 为何值时,不等式 log 1 ( x + ax + 5 + 1) ·log5(x2+ax+6)+loga3≥0 有且只有一个
2 n

解(a>1 且 a ≠ 1) 。 3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何 x, y>1 及 u, v>0, f(x y )≤[f(x)] [f(y)] ①都成立,试确定所有这样的函数 f(x). 4. 求所有函数 f:R→R,使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5.设 m≥14 是一个整数,函数 f:N→N 定义如下:
u v

1 4u

1 4v

? ?n ? m + 14 f(n)= ? ? f ( f (n + m ? 13)) ?

n > m2 n ≤ m2

,

求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q. 7. 是否存在函数 f(n), 将自然数集 N 映为自身, 且对每个 n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。 8.设 p, q 是任意自然数,求证:存在这样的 f(x) ∈Z(x)(表示整系数多项式集合) ,使对 x 轴上的某个长为

1 1 p 的开区间中的每一个数 x, 有 f ( x ) ? < 2. q q q
? x? ?2? ?f ? ? ?2?

9.设α,β为实数,求所有 f: R+→R,使得对任意的 x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·f ? ? + x β f ? 成立。


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