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山东省莱钢高中2013高三数学4月模拟检测试题 理 新人教A版


莱钢高中高三模拟试题数学理科
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1、 .设 z ? 1 ? i (i 为虚数单位) ,则 z ?
2

A. ?1 ? i

B. ?1 ? i

2

) ?( z C. 1 ? i D. 1 ? i

2、设全集 U ? R , A ? {x | 2 x ( x ? 2) ? 1}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,则右图中阴影部分表示的集

合为(

) B. {x |1 ? x ? 2} ) C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 1}

A. {x | x ? 1}

3、下列判断错误的是(

A. am 2 ? bm 2 ”是“a < b”的充分不必要条件 “ B.命题“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ” C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高 D.若 p?q 为假命题,则 p,q 均为假命题 4、函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像关于直线 x ? 为 ? ,则函数 f (x) 图像的一个对称中心是 A. (

?
3

对称,它的最小正周期

?
12

,0 )

B. (

?
3

,1)

C. (

5? ,0) 12

D. (

?
12

,0)


5、已知向量 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? ,若向量 a ? kb 与 a ? b 垂直,则 k 的值为 ( A.

23 3

B.7

C. ?

11 5

D. ?

23 3


6. 若右边的程序框图输出的 S 是 254 , 则条件①可为 ( A. n ? 5 C. n ? 7 B. n ? 6 D. n ? 8

7、 2 ? x A.-1

?

? 展开式中不含 x ..
8

4

项的系数的和为( C. 0

) D.2

B. 1

1

8、 设函数 f ? x ? ? x sin x ? cos x 的图像在点 t , f ? t ? 处切线的斜率为 k , 则函数 k ? g ? t ? 的图像为( )

?

?

9、已知函数 f ( x) ? ?

?2? x ? 1( x ? 0) ? f ( x ? 1)( x ? 0)

, 若方程f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,

则实数 a 的取值范围为 A. (??, 0]
2

B. (??,1)
2

C. [0,1)

D. [0, ??)

10、

关于 x 的不等式 x ? 9? | x ? 3 x |? kx 在 x ? [1,5] 上恒成立, 则实数 k 的取值范围为 B.

A. ? ??, 6?

(??, 6)

C. ? 0, 6?

D. ? 6, ?? ?

x2 y 2 11、设 F1 、 F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在 a b
点 P ,满足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离 心率为 (A)

5 4

(B)

6 5

(C)

5 3

(D)

3 2

12.定义域为[a,b]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x) 图象上任 意 一 点 , 其 中 x ? ? a ? (1 ? ? )b ?[a, b] , 已 知 向 量 ON ? ? OA ? (1 ? ? )OB , 若 不 等 式

????

??? ?

??? ?

???? ? 1 | MN |? k 恒成立,则称函数 f ( x)在[a, b] 上“k 阶线性近似” 。若函数 y ? x ? 在[1,2] x
上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为 A. [0, ??) C. [ ? 2, ??)

3 2

1 , ??) 12 3 D. [ ? 2, ??) 2
B. [

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13、从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率

2





14、某几何体的三视图如图所示,则它的表面积是

?x ? y ? 2 ? 0 x2 ? y 2 ? 15、设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 u ? 的取值范 xy ?y ? 2 ? 0 ?
围是 16 、 已 知 O 为 锐 角 △ ABC 的 外 心 , AB ? 6, AC ? 10 若 AO = x AB + y AC , 且

2 x ? 10 y ? 5 ,则 cos ?BAC 的值是
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在 [ 量 x 的值. (3)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 f ( A) ? 小值. 18、(本小题满分 12 分)现有长分别为 1m 、 2m 、 3m 的钢管各 3 根(每根钢管质地均匀、 粗细相同且附有不同的编号) ,从中随机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等 的, 1 ? n ? 9 ) ,再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P( A) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求 ? 的分布列; ②令? ? ?? ? ? ? ? 1 , E (? ) ? 1 ,求实数 ? 的取值范围.
2

1 3 cos 2 x ? sin x cos x ? 1 , x ? R . 2 2

, ] 上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变 12 4 3 , b ? c ? 2. 求边 a 的最 2

? ?

3

19、(本小题满分 12 分)在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF ,

EF // BC , BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点. A
(Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ; (Ⅲ) 求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.

D

E

F

B

G

C

20、(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 为等差数列,且 a 5 ? 14 , a7 ? 20 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , b1 ?

2 且 3

3Sn ? Sn?1 ? 2 (n ? 2, n ? N ) ; ,
(Ⅰ)求数列 ? an ? , ?bn ? 的通项公式;

, ,2 , (Ⅱ) cn ?an ?bn n ? 1 ,3 若
求 m 的最小值.

? ,Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和. T n <m 对n ? N ? 恒成立 ,

21、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 焦点在坐标轴上, 且经过 A(?2, 0) 、

? 3? B(2,0) 、 C ? 1, ? 三点. ? 2?
(1)求椭圆 E 的方程: (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F (?1,0), H (1,0) ,当 ?DFH 内切圆 的面积最大时。求内切圆圆心的坐标; (3) 若直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与椭圆 E 交于 M 、N 两点, 证明直线 AM 与直线 BN 的 交点在定直线上并求该直线的方程. 22、 (本小题满分 13 分)设 f ( x) ?

e

x

? ax ? a

(Ⅰ)若 a ? 0, f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值.

a , x ,且 A(x1, y1), B( x 2 y 2)( x 1 ? 2) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两点, ex 若对任意的 a ? ?1 ,直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围;
(Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? (Ⅲ)求证: 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ?
n n n

e (2n) n (n ? N * ) . e ?1

4

一、选择题 DBDAA CCBBA CD 二、填空题 13

1 3

14、 24 ? ( 5 ? 1)?

15、 ?2, ? 3

? 10 ? ? ?
?

16、

1 3

f ( x) ?
17、

1 3 cos 2 x ? sin x cos x ? 1 2 2

1 3 5 cos 2 x ? sin 2 x ? 4 4 4

1 ? 5 ? sin(2 x ? ) ? 2 6 4

-------------------- --------------------3 分

(1) f ( x) 的最小正周期 T ? (2)? x ? [

2? ?? 2

------------------------4 分

, ] 12 4

? ?
?

? 2x ?

?

∴当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?

?
3

6

?

?
2

? 2? ?[ , ] 6 3 3
?
6
时, f ( x) max ?

,即 x ?

或 2x ?

?
6

?

2? ? ? 时,即 x ? 或 x ? 时, 3 12 4

1 5 7 ? ? ----------6 分 2 4 4

f ( x) min ?

5? 3 ----------------------------------------8 分 4

1 ? 5 3 ? 1 sin(2 A ? ) ? ? ? sin(2 A ? ) ? 2 6 4 2 6 2 ? ? 13? ? 5? ? 2A ? ? ( , ) ?2A ? ? 6 6 6 6 6
(3) f ( A) ?

?A?
∵b+c=2

?

3
2

-----------10 分

∴ a ? b ? c ? bc ? (b ? c) ? 3bc ? 4 ? 3bc ? 4 ? 3(
2 2 2

b?c 2 ) ?1 2

当且仅当 b=c 时取等号 ∴a 的最小值是 1 -------------------------12 分
1 1 C3C32C6 9 ? ?????????4 分 3 C9 14

18 解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件, P( A) ?

5

(Ⅱ)① ? 可能的取值为 2,3, 4,5,6

P(? ? 2) ?

C32 1 ? C92 12

P (? ? 3) ?

1 1 C3C3 1 ? C92 4

1 1 C32 ? C3C3 1 P(? ? 4) ? ? C92 3 1 1 C3C3 1 ? C92 4

P (? ? 5) ?

P(? ? 6) ?

C32 1 ? C92 12

∴ ? 的分布列为:

?
P

2

3

4

5

6

1 12

1 4

1 3

1 4

1 12

????????????????????9 分 ② E (? ) ? 2 ?

1 1 1 1 1 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 4 12 4 3 4 12

??????????10 分

?? ? ?? 2? ? ? ? 1 ,? E (? ) ? ?? 2 E (? ) ? ? ? 1 ? ?4? 2 ? ? ? 1

? E (? ) ? 1 ,??4? 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? ? ?
19、(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD / /BG ,

1 ??????????????12 分 4

A

D

∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ?????2 分

∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ) 解法 1
B
G C

???????4 分

E

H

F

6

解法 2 ∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB ,∴

z
A

D

EF ?AE , EF ? BE ,
又 AE ? EB , ∴ EB, EF , EA 两两垂直. ????????5 分
E

F y

以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴建立如图的空 间直角坐标系. 由已知得, A (0,0,2) B (2,0,0) , , , , , C (2,4,0) F (0,3,0) D (0,2,2)

x B

G

C

G (2,2,0).

??????????6 分

7

20、解:(Ⅰ) 数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 易得 a1 ? 2

1 (a7-a5 ) ? 3 , 2

所以 a n ? 3n ? 1 .????2 分

由 bn ? 2-2 S n ,令 n ? 1 ,则 b1 ? 2 ? 2 S1 ,又 S1 ? b1 ,所以.

b2 ? 2 ? 2(b1 ? b2 ) ,则 b2 ?
由 3S n ? S n ?1 ? 2

2 . 9

?????????????3 分

当 n ? 3 时,得 3S n ?1 ? S n ? 2 ? 2 ,

两式相减得. 3( S n ? S n ?1 ) ? S n ?1 ? S n ? 2 即 3bn ? bn ?1 .所以 ?bn ? 是以 b1 ? 于是 bn ? 2 ?

bn b 1 1 ? 又 2 ? b1 3 bn ?1 3

2 1 为首项, 为公比的等比数列, 3 3

1 .????????????????????????5 分 3n 1 (Ⅱ) c n ? a n ? bn ? 2(3n ? 1) ? n . ?????????????6 分 3 1 1 1 1 ∴ Tn ? 2[2 ? ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? ? (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3
1 1 1 1 ? ? 1 Tn ? 2?2 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n ?1 ? 3 3 3 3 ? ? 3

8

2 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n ?1 ] . ???8 分 3 3 3 3 3 3 3 7 7 1 n 所以 Tn ? ? ? n ? n ?1 ?????9 分 2 2 3 3 7 7 1 n 7 从而 Tn ? ? ? n ? n ?1 ? . ???????11 分 2 2 3 2 3 7 7 ? ∵ T n <m 对n ? N 恒成立 ∴ m ? ∴m 的最小值是 ---------12 分 2 2
两式相减得 Tn ? 2[3 ? 21、 【解析】(1)设椭圆方程为 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0) :
2 2

将 A(?2, 0) 、 B(2,0) 、 C (1, ) 代入椭圆 E 的方程,得

3 2

?4m ? 1, x2 y2 1 1 ? ? ? 1 (3 分) 解得 m ? , n ? .∴椭圆 E 的方程 ? 9 4 3 4 3 ?m ? 4 n ? 1 ?
(2) | FH |? 2 ,设 ? DFH 边上的高为 S? DFH ?

1 ? 2? h ? h 2

当点 D 在椭圆的短轴顶点

时, 最大为 3 , 所以 S? DFH 的最大值为 3 . ? DFH 的内切圆的半径为 R , 设 因为 ?DFH h 的周长为定值 6.所以

1 3 .所以内切圆圆心的坐标 R ? 6 ? S ?DFH ,所以 R 的最大值为 3 2

( ? 为 0,

,3 ) 3

-------------7 分

(3)将直线 l : y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 E 的方程

x2 y2 ? ? 1 并整理.得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 .设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,
由根系数的关系,得 x1 ? x 2 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) , x1 x 2 ? .-----------9 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

直线 AM 的方程为: y ?

y1 ( x ? 2) ,它与直线 x ? 4 的交点坐标为 x1 ? 2

p(4,

6 y1 2 y2 ), 同理可求得直线 BN 与直线 x ? 4 的交点坐标为 Q(4, ) .--11 分 x1 ? 2 x2 ? 2

下面证明 P 、 Q 两点重合,即证明 P 、 Q 两点的纵坐标相等:

? y1 ? k ( x1 ? 1), y2 ? k ( x2 ? 1)



9

?

6 y1 2 y2 6k ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 2) ? 2k ( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

? 8(k 2 ? 3) 40k 2 ? 2k ? ? ? 8? 2 2 3 ? 4k 2k[2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8] ? 3 ? 4k ? ?0 ? ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
因此结论成立.综上可知.直线 AM 与直线 BN 的交点住直线 x ? 4 上.------13 分 22.解:(Ⅰ)∵f(x)=e -a(x+1),∴f′(x)=e -a,??1 分 x ∵a>0,f′(x)=e -a=0 的解为 x=lna. ∴f(x)min=f(lna)=a-a(lna+1)=-alna, ??3 分 ∵f(x)≥0 对一切 x∈R 恒成立, ∴-alna≥0,∴alna≤0,∴amax=1. ??4 分 (II)设 x1、x2 是任意的两实数,且 x1 ? x2
x x

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m ,故 g ( x2 ) ? mx2 ? g ( x1 ) ? mx1 x 2 ? x1

??5 分

上单调递增, ? ?不妨令函数 F ( x) ? g ( x) ? mx ,则 F (x)在(- ?, ?)

? F ?( x) ? g ?( x) ? m ? 0恒成立

??6 分

? 对任意的a ? -1,x ? R , m ? g ?(x) 恒成立
g ?( x) ? e x ? a ?
故m?3
? i i ? e 2n (III)由(1) 知 e ≥x+1,取 x= ? , i ? 1,3,?2n ? 1, 得 12n 2n
x

a a ? 2 e x ? (? x ) ? a = ? a ? 2 ? a ? ( ? a ? 1) 2 ? 1 ? 3 x e e
??8 分
i

即( 累

i ? 2n ? i n ) ? e 2 ??10 分 2n


? ? 1 ? ? 3 ? ? 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?e ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? n n n 2 n ?1 2



?e

?

2 n ?3 2

??? e

?

1 2

e (1 ? e ?n ) e ? ? ?1 e ?1 1? e

1 ? 2

?1n ? 2 n ? 3 n ? ? ? ?2n ? 1? ?
n

e ( 2n) n e ?1

??13 分

10


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