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甘肃省兰州市西北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)


甘肃省兰州市西北师大附中 2015 届高三上学期期中数学试卷 (理 科)
一、单项选择题:每小题 5 分,共 60 分. 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,则 m 的值为() A.1 B . ﹣1 C.1 或﹣1 D.1 或﹣1 或 0 2. (5 分)不等式 ax +bx+2>0 的解集是 A.10 B.﹣10 C.14


2

,则 a+b 的值是() D.﹣14 的最小值为() D.12

3. (5 分)已知 a,b,c,是正实数,且 a+b+c=1,则 A.3 B. 6 C. 9

4. (5 分)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且对函数 y=ln(x+2)﹣x,当 x=b 时取到极大 值 c,则 ad 等于() A.﹣1 B. 0 C. 1 D.2

5. (5 分)已知函数 A.
3

,则 f(2+log23)的值为() B. C. D.

6. (5 分)曲线 y=x 与直线 y=x 所围成图形的面积为() A.2 B. 1
2

C.

D.

7. (5 分)设 f(x)=|2﹣x |,若 0<a<b,且 f(a)=f(b) ,则 ab 的取值范围是() A.(0,2) B.(0,2] C.(0,4] D.(0,4) 8. (5 分)若 x0 是方程 x+lgx=2 的解,则 x0 属于区间() A. B. C.(1,2) D.(2,3)

9. (5 分)下列命题中的假命题是() A.?x∈R,2 >0 ?x∈R,tanx=2
x﹣1

B.?x∈N , (x﹣1) >0 C.

*

2

?x∈R,lgx<1 D.

10. (5 分)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x) ,则 A.0 B. 的值是() C. 1 D.

11. (5 分)已知函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,且当 x∈(﹣∞,0)时,f(x) +xf′(x)<0 成立(其中 f′(x)是 f(x)的导函数) ,若 a=(3 )?f(3 ) ,b=(logπ3)?f (logπ3) ,c=(log3 )?f(log3 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b
0.3 0.3

12. (5 分)设函数 f(x)定义域为 D,若满足①f(x)在 D 内是单调函数;②存在[a,b]?D 使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么就称 y=f(x)为“成功函数”.若函数 g(x)=loga 2x (a +t) (a>0,a≠1)是定义域为 R 的“成功函数”,则 t 的取值范围为() A.(0,+∞) B.(﹣∞,0) C. D.

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)若 f(2x+1)=x +1,则 f(0)的值为. 14. (5 分)经过原点(0,0)做函数 f(x)=x +2x 的切线,则切线方程为. 15. (5 分)已知 t 为常数,函数 y=|x ﹣2x﹣t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=.
2 3 2 2

16. (5 分)已知定义在[1,+∞)上的函数 f(x)=

.给出下列结

论: ①函数 f(x)的值域为[0,4]; ②关于 x 的方程
n﹣1 n *

有 2n+4 个不相等的实数根;

③当 x∈[2 ,2 ](n∈N )时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=2; ④存在 x0∈[1,8],使得不等式 x0f(x0)>6 成立, 其中你认为正确的所有结论的序号为.

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 17. (12 分)已知全集 U=R,A={x|x +(a﹣1)x﹣a>0},B={x|(x+a)?(x+b)>0},a≠b, 2 M={x|x ﹣2x﹣3≤0}. (1)若?UB=M,求 a,b; (2)若﹣1<b<a<1,求 A∩B.

18. (14 分)已知函数 f(x)=lg[a +2(ab) ﹣b +1](a>0,b>0) ,求使 f(x)>0 成立 的 x 的取值范围. 19. (14 分)某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x、y(单位:m) 2 的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积 8m .问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m)时用料最省?

2x

x

2x

20. (14 分)设函数 f(x)=|x﹣a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1},求 a 的值. 21. (16 分)已知 a>0,函数 f(x)=lnx﹣ax ,x>0. (f(x)的图象连续不断) (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 时,证明:存在 x0∈(2,+∞) ,使 ; .
2

(Ⅲ) 若存在均属于区间[1, 3]的 α, β, 且 β﹣α≥1, 使f (α) =f (β) , 证明

甘肃省兰州市西北师大附中 2015 届高三上学期期中数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、单项选择题:每小题 5 分,共 60 分. 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,则 m 的值为() A.1 B . ﹣1 C.1 或﹣1 D.1 或﹣1 或 0 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 利用 A∪B=A?B?A,写出 A 的子集,求出各个子集对应的 m 的值. 解答: 解:∵A∪B=A∴B?A ∴B=?; B={﹣1}; B={1}

当 B=?时,m=0 当 B={﹣1}时,m=﹣1 当 B={1}时,m=1 故 m 的值是 0;1;﹣1 故选:D 点评: 本题考查等价转化的数学思想方法、分类讨论的数学思想方法、写出集合的子集.
2

2. (5 分)不等式 ax +bx+2>0 的解集是 A.10 B.﹣10 C.14

,则 a+b 的值是() D.﹣14

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 不等式 ax +bx+2>0 的解集是 , 把解代入方程求出 a、b 即可. 解答: 解:不等式 ax +bx+2>0 的解集是 即方程 ax +bx+2=0 的解为
2 2 2

,说明方程 ax +bx+2=0 的解为

2



a=﹣12b=﹣2∴

点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,一元二次不等式的解法,是基础 题.

3. (5 分)已知 a,b,c,是正实数,且 a+b+c=1,则 A.3 B. 6 C. 9

的最小值为() D.12

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用 a+b+c=1 求得 值. 解答: 解:∵a+b+c=1, ∴ =( ) (a+b+c)=3+ + + + + + ≥3+2+2+2=9 =( ) (a+b+c) ,展开后利用均值不等式求得最小

故选 C 点评: 本题主要考查了均值不等式在最值问题中的应用.考查了学生对均值不等式的灵活 运用.

4. (5 分)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且对函数 y=ln(x+2)﹣x,当 x=b 时取到极大 值 c,则 ad 等于() A.﹣1 B. 0 C. 1 D.2 考点: 数列与函数的综合. 专题: 计算题. 分析: 首先根据题意求出函数的导数为 f′(x)= ,再结合当 x=b 时函数取到极大值

c,进而求出 b 与 c 的数值,再利用等比数列的性质得到答案. 解答: 解:由题意可得:函数 y=ln(x+2)﹣x, 所以 f′(x)= .

因为当 x=b 时函数取到极大值 c, 所以有 且 ln(b+2)﹣b=c,

解得:b=﹣1,c=1.即 bc=﹣1. 因为实数 a,b,c,d 成等比数列, 所以 ad=bc=﹣1. 故选 A. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用,即求单调区间,求切线方程,以及求 函数的极值与最值等.

5. (5 分)已知函数 A. B. C.

,则 f(2+log23)的值为() D.

考点: 函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 分析: 先判断出 2+log23<4, 代入 ( f x+1) =f (3+log23) , 又因 3+log23>4 代入 ( f x) = 利用指数幂的运算性质求解. 解答: 解:∵1<log23<2,∴3<2+log23<4, ∴f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23) , ∵4<3+log23<5,∴f(3+log23)= = × = , ,

故选 A. 点评: 本题的考点是分段函数求函数值,先判断自变量的范围,再代入对应的关系式,根 据指数幂的运算性质进行化简求值. 6. (5 分)曲线 y=x 与直线 y=x 所围成图形的面积为()
3

A.2

B. 1

C.

D.

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为 0,积分上限为 1,从而利用定 积分表示出曲边梯形的面积, 最后用定积分的定义求出所求即可; 利用定积分的几何意义求定 积分 即可.
3

解答: 解:解:曲线 y=x 与 y=x 的交点坐标为(0,0) , (1,1) , (﹣1,﹣1) 3 曲线 y=x 与直线 y=x, 3 根据题意画出图形,两个图形的交点为: (0,0) , (1,1) , (﹣1,﹣1) ,直线 y=x 与曲线 y=x 所围成图形的面积为 2 故选 C. =2( x ﹣ x )|
2 4

= ;

点评: 本小题考查根据定积分的几何意义,以及会利用定积分求图形面积的能力,同时考 查了函数图象的对称性. 7. (5 分)设 f(x)=|2﹣x |,若 0<a<b,且 f(a)=f(b) ,则 ab 的取值范围是() A.(0,2) B.(0,2] C.(0,4] D.(0,4) 考点: 基本不等式;二次函数的性质. 专题: 计算题;解题方法. 2 2 2 2 分析: 由题意知,f(a)=2﹣a ,f(b)═b ﹣2,利用 f(a)=f(b) ,求出 a +b 的值, 再利用基本不等式,可得 ab 的取值范围 2 解答: 解:∵f(x)=|2﹣x |,当 0<a<b 时,f(a)=f(b) , 2 2 2 2 ∴2﹣a =b ﹣2,∴a +b =4>2ab,∴0<ab<2, 故选 A、 点评: 本题考查二次函数的性质及图象特征,利用基本不等式求式子的取值范围. 8. (5 分)若 x0 是方程 x+lgx=2 的解,则 x0 属于区间() A. B. C.(1,2) D.(2,3)
2

考点: 函数的零点.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数零点的判定定理即可得出. 解答: 解:令 f(x)=x+lgx﹣2,∵f(1)=1+lg1﹣2=﹣1<0,f(2)=2+lg2﹣2=lg2>0, ∴f(1)f(2)<0, 根据函数零点的判定定理可知:函数 f(x)在区间(1,2)内存在一个零点,即方程 x+lgx=2 的解 x0∈(1,2) . 故选 C. 点评: 正确理解函数零点的判定定理是解题的关键. 9. (5 分)下列命题中的假命题是() A.?x∈R,2 >0 ?x∈R,tanx=2
x﹣1

B.?x∈N , (x﹣1) >0 C.

*

2

?x∈R,lgx<1 D.

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的值域,得到 A 项正确;根据一个自然数的平方大于或等于 0,得到 B 项不正确;根据对数的定义与运算,得到 C 项正确;根据正弦函数 y=tanx 的值域,得 D 项正 确.由此可得本题的答案. t 解答: 解:∵指数函数 y=2 的值域为(0,+∞) x﹣1 ∴任意 x∈R,均可得到 2 >0 成立,故 A 项正确; * 2 ∵当 x∈N 时,x﹣1∈N,可得(x﹣1) ≥0,当且仅当 x=1 时等号 * 2 ∴存在 x∈N ,使(x﹣1) >0 不成立,故 B 项不正确; ∵当 x=1 时,lgx=0<1 ∴存在 x∈R,使得 lgx<1 成立,故 C 项正确; ∵正切函数 y=tanx 的值域为 R ∴存在锐角 x,使得 tanx=2 成立,故 D 项正确 综上所述,只有 B 项是假命题 故选:B 点评: 本题给出含有量词的几个命题,要求找出其中的假命题.着重考查了基本初等函数 的值域、对数的运算和不等式的性质等知识,属于基础题. 10. (5 分)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x) ,则 A.0 B. 的值是() C. 1 D.

考点: 函数的值;偶函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 从 xf (x+1) = (1+x) f (x) 结构来看, 要用递推的方法, 先用赋值法求得 再由 依此求解. ,

解答: 解:若 x≠0,则有

,取



则有:

∵f(x)是偶函数,则 由此得 于是,

故选 A. 点评: 本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值,这类问题关键是将条件和 结论有机地结合起来,作适当变形,把握递推的规律. 11. (5 分)已知函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,且当 x∈(﹣∞,0)时,f(x) +xf′(x)<0 成立(其中 f′(x)是 f(x)的导函数) ,若 a=(3 )?f(3 ) ,b=(logπ3)?f (logπ3) ,c=(log3 )?f(log3 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b
0.3 0.3

考点: 不等关系与不等式;奇偶性与单调性的综合. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由“当 x∈(﹣∞,0)时不等式 f(x)+xf′(x)<0 成立”知 xf(x)是减函数,要得 到 a,b,c 的大小关系,只要比较 3 ,
0.3



的大小即可.

解答: 解:∵当 x∈(﹣∞,0)时不等式 f(x)+xf′(x)<0 成立 即: (xf(x) )′<0, ∴xf(x)在 (﹣∞,0)上是减函数. 又∵函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称, ∴函数 y=f(x)的图象关于点(0,0)对称, ∴函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数 ∴xf(x)是定义在 R 上的偶函数 ∴xf(x)在 (0,+∞)上是增函数. 又∵3 >1>
0.3

>0>

=﹣2,

2=﹣

>3 >1>

0.3

>0.

∴(﹣

)?f(﹣

)>3 ?f(3 )>(

0.3

0.3

)?f(



即(

)?f(

)>3 ?f(3 )>(

0.3

0.3

)?f(



即:c>a>b 故选 C. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性以及函数的单调性,同时考查了分析问题的能力和运 算求解的能力,属于中档题. 12. (5 分)设函数 f(x)定义域为 D,若满足①f(x)在 D 内是单调函数;②存在[a,b]?D 使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么就称 y=f(x)为“成功函数”.若函数 g(x)=loga 2x (a +t) (a>0,a≠1)是定义域为 R 的“成功函数”,则 t 的取值范围为() A.(0,+∞) B.(﹣∞,0) C. D.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 解答: 解:依题意,函数 g(x)=loga(a +t) (a>0,a≠1)在定义域上为单调递增函数, 且 t≥0, 而 t=0 时,g(x)=2x 不满足条件②, ∴t>0.设存在[m,n],使得 g(x)在[m,n]上的值域为[m,n], ∴
x 2 2x

,即
x



∴m,n 是方程(a ) ﹣a +t=0 的两个不等实根, ∴△=1﹣4t>0, ∴ ,

故选 D. 点评: 准确把握“成功函数”的概念,合理运用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式. 二、填空题:每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)若 f(2x+1)=x +1,则 f(0)的值为 .
2

考点: 专题: 分析: 解答: ∴x=

函数的值. 计算题;换元法. 先用换元法求得函数 f(x)的解析式,再用为代换解析式中的自变量求解. 解:令 t=2x+1

∴f(t)=

∴f(0)= 故答案为: 点评: 本题主要考查用换元法求函数解析式和求函数值等问题. 14. (5 分)经过原点(0,0)做函数 f(x)=x +2x 的切线,则切线方程为 y=4x. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数的导数,利用导数的几何意义:切点处的导数值是切线的斜率,分原点是 切点和原点不是切点两类求. 解答: 解 f′(x)=3x +4.设切线的斜率为 k. (1)当切点是原点时 k=f′(0)=4, 所以所求曲线的切线方程为 y=4x. (2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0) , 3 2 2 则有 y0=x0 +2x0 ,k=f′(x0)=3x0 +4,① 又 k= =x0 +2x0,②
2 2 3 2

由①②得方程组无解,故曲线的切线方程是 y=4x; 故答案为:y=4x. 点评: 本题考查导数的几何意义: 切点处的导数值是切线的斜率; 注意“在点处的切线”与“过 点的切线”的区别. 15. (5 分)已知 t 为常数,函数 y=|x ﹣2x﹣t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=1. 考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 压轴题. 分析: 本题应先画出函数的大体图象,利用数形结合的方法寻找解题的思路.画出大体图 象后不难发现函数的最大值只能在 x=1 或 x=3 处取得,因此分情况讨论解决此题. 解答: 解:记 g(x)=x ﹣2x﹣t,x∈[0,3], 则 y=f(x)=|g(x)|,x∈[0,3] f(x)图象是把函数 g(x)图象在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方得到, 其对称轴为 x=1,则 f(x)最大值必定在 x=3 或 x=1 处取得 2 (1)当在 x=3 处取得最大值时 f(3)=|3 ﹣2×3﹣t|=2, 解得 t=1 或 5, 当 t=5 时,此时,f(0)=5>2 不符条件, 当 t=1 时,此时,f(0)=1,f(1)=2,符合条件. 2 (2)当最大值在 x=1 处取得时 f(1)=|1 ﹣2×1﹣t|=2,
2 2

解得 t=1 或﹣3, 当 t=﹣3 时,f(0)=3>2 不符条件, 当 t=1 此时,f(3)=2,f(1)=2,符合条件. 综上 t=1 时 故答案为:1. 点评: 本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化.

16. (5 分)已知定义在[1,+∞)上的函数 f(x)=

.给出下列结

论: ①函数 f(x)的值域为[0,4]; ②关于 x 的方程
n﹣1 n *

有 2n+4 个不相等的实数根;

③当 x∈[2 ,2 ](n∈N )时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=2; ④存在 x0∈[1,8],使得不等式 x0f(x0)>6 成立, 其中你认为正确的所有结论的序号为①③. 考点: 命题的真假判断与应用;函数的值域;分段函数的解析式求法及其图象的作法;根 的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将解析式进行整理,分别得到函数在 1≤x≤ 和 依此类推:当 2 ≤x≤3?2 时,f(x)=2 ﹣2n n 3﹣n (x﹣2 ) ,此时,0≤f(x)≤2 . 据此即可判断答案.
n﹣1 n﹣2 5﹣2n

时,进而得到 0≤f(x)≤4; ) ;当 3?2
n﹣2

(x﹣2

n﹣1

<x≤2 时,f(x)=﹣2

n

5

解答: 解:∵f(x)=



∴(1)当 1≤x≤ 时,f(x)=8x﹣8; 此时,0≤f(x)≤4; 当 时,f(x)=16﹣8x,

此时 0≤f(x)<4; (2)当 2<x≤3 时,则 此时 f(x)= 0≤f(x)≤2; 当 3<x≤4 时,则 , , =8× ﹣4=2x﹣4,

此时 f(x)= … 依此类推:当 2
n﹣1



=8﹣2x,0≤f(x)<2;

≤x≤3?2

n﹣2

时,f(x)=

(x﹣2

n﹣1

)=2

5﹣2n

(x﹣2

n﹣1

) ,

此时,0≤f(x)≤2 ; n﹣2 n 5﹣2n n 3﹣n 当 3?2 <x≤2 时,f(x)=﹣2 (x﹣2 ) ,此时,0≤f(x)≤2 . 故函数 f(x)的值域为[0,4],①正确; 当 n=1 时, 确; 当 x∈[2
n﹣1

3﹣n

,有且仅有 7 个不等实数根,不是 2×1+4=6 个不等实数根,故②不正

,2 ](n∈N )时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的面积 S= (2 ﹣2

n

*

n

n﹣1

)×2

3﹣n

=2,

故③正确; 由于 xf(x)>6,则 由 f(x)的图象可得到:当 x∈[2 f(x)≤f(3?2 可得:
n﹣2


n﹣1

,2 ](n∈N )时,

n

*

)=2

3﹣n

=

,故④不正确.

故答案为:①③.

点评: 本题综合考查了分类讨论思想方法、直线方程、函数的单调性、函数的交点与方程 的根、如何否定一个命题等基础知识与基本技能,考查了数形结合的方法与能力、类比推理能 力和计算能力. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 17. (12 分)已知全集 U=R,A={x|x +(a﹣1)x﹣a>0},B={x|(x+a)?(x+b)>0},a≠b, 2 M={x|x ﹣2x﹣3≤0}. (1)若?UB=M,求 a,b; (2)若﹣1<b<a<1,求 A∩B.

考点: 交集及其运算;补集及其运算. 专题: 不等式的解法及应用;集合. 分析: (1)求解二次不等式化简集合 M,然后分 a,b 的关系求解集合 B,由?UB=M 求得 a,b 的值; (2)由﹣1<b<a<1 求解集合 A,然后直接利用交集运算求解 A∩B. 2 解答: 解: (1)A={x|x +(a﹣1)x﹣a>0}={x|(x﹣1) (x+a)>0}, 2 M={x|x ﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}, 若 a<b,则 B={x|(x+a)?(x+b)>0}={x|x<﹣b 或 x>﹣a}, ∵U=R, ∴?UB={x|﹣b≤x≤﹣a}, ∵?UB=M, ∴{x|﹣b≤x≤﹣a}={x|﹣1≤x≤3}, 解得 a=﹣3,b=1; 若 a>b,则 B={x|(x+a)?(x+b)>0}={x|x<﹣a 或 x>﹣b}, ∵U=R, ∴?UB={x|﹣a≤x≤﹣b}, ∵?UB=M, ∴{x|﹣a≤x≤﹣b}={x|﹣1≤x≤3}, 解得 a=1,b=﹣3; (2)∵﹣1<b<a<1, ∴﹣1<﹣a<﹣b<1, 故 A={x|x<﹣a 或 x>1}, B={x|x<﹣a 或 x>﹣b }, 因此 A∩B={x|x<﹣a 或 x>1}. 点评: 本题考查了交集、补集及其运算,考查了分类讨论的数学思想方法,考查了不等式 的解法,是中档题. 18. (14 分)已知函数 f(x)=lg[a +2(ab) ﹣b +1](a>0,b>0) ,求使 f(x)>0 成立 的 x 的取值范围. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 2x x 2x 2x x 2x 2x 分析: 由已知 a +2(ab) ﹣b +1>1,即 a +2(ab) ﹣b >0,两边都除以 b 得, ,换元,分类讨论,即可求使 f(x)>0 成立的 x 的取值范围. 解答: 解:由已知 a +2(ab) ﹣b +1>1,即 a +2(ab) ﹣b >0(2 分) 两边都除以 b 得, 设 即 当 a>b 时, ,
2 2x 2x x 2x 2x x 2x 2x x 2x



,则 t>0,不等式可化为 t +2t﹣1>0,∴ (7 分) (8 分)

当 a<b 时,



(9 分)

当 a=b 时,

,x∈R(10 分)

点评: 本题考查函数与方程的综合运用,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题. 19. (14 分)某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x、y(单位:m) 2 的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积 8m .问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m)时用料最省?

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: 根据三角形和矩形面积公式得出 x 和 y 的关系式,进而表示出框架用料长度为根据 均值不等式求得 l 的最小值,求得此时的 x 和 y. 解答: 解:由题意得 xy+ x =8,
2

∴y=

=

(0<x<4

) .

框架用料长度为, l=2x+2y+2( 当( + )x= )=( + )x+ ≥4 .

,即 x=8﹣4

时等号成立.

此时,x≈2.343,y=2 ≈2.828. 故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时,用料最省. 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.注意取得最值时的条件是否成立. 20. (14 分)设函数 f(x)=|x﹣a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1},求 a 的值. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: (1)将 f(x)>3x+2 化简,解绝对值不等式; (2)解不等式 f(x)≤0 用 a 表示,同一个不等式的解集相等,得到 a. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=|x﹣1|+3x,>3x+2,可化为|x﹣1|>2. 由此可得 x>3 或 x<﹣1. 故不等式 f(x)>3x+2 的解集为{x|x>3 或 x<﹣1}. (Ⅱ) 由 f(x)≤0 得:|x﹣a|+3x≤0 此不等式化为不等式组: 或 .

即 a≤x≤ ,或 x≤﹣ ,因为 a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤﹣ },由题设可得﹣ =﹣1, 故 a=2 点评: 本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解. 21. (16 分)已知 a>0,函数 f(x)=lnx﹣ax ,x>0. (f(x)的图象连续不断) (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 时,证明:存在 x0∈(2,+∞) ,使 ; .
2

(Ⅲ) 若存在均属于区间[1, 3]的 α, β, 且 β﹣α≥1, 使f (α) =f (β) , 证明

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的零点;不等式的证明. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)求导数 fˊ(x) ;在函数 的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x)<0 确定函数 的单调区间,若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论. (II)由(I)知 f(x)在(0,2)内单调递增,在(2,+∞)内单调递减.令 .利用函数 f(x)在(0,2)内单调递增,得到

. 最后取 而得到结论; (III)先由 f(α)=f(β)及(I)的结论知

. 从

,从而 f(x)在[α,β]上的最小值

为 f(a) .再依 1≤α≤2≤β≤3 建立关于 a 的不等关系即可证得结论. 解答: 解: (I) 令 . ,

当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (0, ) 0 ﹣ ( ,+∞)

f′(x)+

f(x) 增

极大值

减 的单调递减区间是 . .

所以,f(x)的单调递增区间是 (II)证明:当 由(I)知 f(x)在(0,2)内单调递增, 在(2,+∞)内单调递减. 令 .

由于 f(x)在(0,2)内单调递增, 故 .

取 所以存在 x0∈(2,x') ,使 g(x0)=0, 即存在





(说明:x'的取法不唯一,只要满足 x'>2,且 g(x')<0 即可) (III)证明:由 f(α)=f(β)及(I)的结论知 从而 f(x)在[α,β]上的最小值为 f(a) . 又由 β﹣α≥1,α,β∈[1,3],知 1≤α≤2≤β≤3. 故 ,

从而



点评: 本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点 等基础知识,考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.


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