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概率


第十一章
第一节

概率

古典概型

A组 1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品 和丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽验一只是正品(甲级品)的概率为________. 解析:记抽验的产品是甲级品为事件 A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事件 C,这三 个事件彼此

互斥,因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%- 3%=92%=0.92.答案:0.92 2.某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别是 0.20,0.30,0.10,则此射手 在一次射击中不够 8 环的概率为________. 解析:射中 8 环及以上的概率为 0.20+0.30+0.10=0.60,故不够 8 环的概率为 1-0.60 =0.40.答案:0.40 3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为________. 解析:从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表的所有可能为:甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、 3 1 1 乙丁、丙丁,满足题意的有:甲乙、甲丙、甲丁,所以概率为 P= = .答案: 6 2 2 4.(2010 年佛山第二次质检)从一个信箱中任取一封信,记一封信的重量为 ξ(单位:克),如 果 P(ξ<10)=0.3,P(10≤ξ≤30)=0.4,则 P(ξ>30)=________. 解析:P(ξ>30)=1-P(ξ<10)-P(10≤ξ≤30)=1-0.3-0.4=0.3.答案:0.3 5.某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的,有 3 个这样的电子元件,则出现 至少有一个接通的概率为________. 解析:设电子元件接通记为 1,没有接通记为 0.又设 A 表示“3 个电子元件至少有一个 接通”,显然 A 表示“3 个电子元件都没有接通”,Ω 表示“3 个电子元件的状态”,则 Ω ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)(0,0,0)}.Ω 由 8 个基本事件组 成,而且这些基本事件的出现是等可能的, A ={(0,0,0)},事件 A 由 1 个基本事件组成, 1 1 7 7 因此 P( A )= ,∵P(A)+P( A )=1,∴P(A)=1-P( A )=1- = .答案: 8 8 8 8 6.(2010 年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员, 某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员, 求: (1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率. 解:从图中可以看出,3 个球队共有 20 名队员, 3+5+4 3 (1)记“随机抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件 A,则 P(A)= = . 20 5 3 故随机抽取一名队员,该队员只属于一支球队的概率为 . 5 (2)记“随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件 B,则 P(B)=1-P( B ) 2 9 =1- = . 20 10 9 故随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队的概率为 . 10 B组 1.(2009 年高考安徽卷)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条 线段为边可以构成三角形的概率是________. 解析:从四条线段中任取三条有 4 种取法:(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构 3 成三角形的取法有 3 种:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),故所求的概率为 . 4

3 答案: 4 1 1 2.甲射手击中靶心的概率为 ,乙射手击中靶心的概率为 ,甲、乙两人各射击一次,那么, 3 2 甲、乙不全击中靶心的概率为________. 1 1 5 5 解析:P=1- × = .答案: 3 2 6 6 3. 口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黑球, 从中摸出 1 个球, 摸出红球的概率是 0.42, 摸出白球的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是________. 解析:P=1-0.42-0.28=0.30.答案:0.30 4.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一 人的概率是________. 解析:(甲送给丙,乙送给丁),(甲送给丁,乙送给丙),(甲、乙都送给丙),(甲、乙都 送给丁)共四种情况,其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种. 1 答案: 2 5.(2008 年高考江苏卷)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正 方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和为 4 的概率是___. 3 1 解析:基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个.故 P= = . 6×6 12 1 答案: 12 6.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的各面上分别写有数字 1、2、3、 4,把两个玩具各抛掷一次,斜向上的面写有的数字之和能被 5 整除的概率为________. 解析:由于正四面体各面都完全相同,故每个数字向上都是等可能的,被 5 整除的可能 4 1 1 为(2,3),(3,2),(1,4),(4,1)共 4 种,而总共有 4×4=16(种),故 P= = .答案: 16 4 4 7.有一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组,第一组有 1 个数为 1,第二组有 2 个数 为 3、5,第三组有 3 个数为 7、9、11,?,依此类推,则从第十组中随机抽取一个数恰为 3 的倍数的概率为________. 解析:由已知可得前九组共有(1+2+3+?+9)=45(个)奇数,第十组共有 10 个奇数且 依次构成公差为 2 的等差数列,且第一个奇数为 a1=1+2×(46-1)=91,所以,第十组的 奇数为 91,93,95,97,99,101,103,105,107,109 这十个数字,其中恰为 3 的倍数的数有 93,99,105 3 3 三个,故所求概率为 P= .答案: 10 10 8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子 朝上的面的点数分别为 x、y,则满足 log2xy=1 的概率为________. 解析: log2xy=1 得 y=2x, 由 满足条件的 x、 有 3 对, y 而骰子朝上的点数 x、 共有 6×6 y 3 1 1 =36,∴概率为 = .答案: 36 12 12 9.(2010 年江苏宿迁模拟)将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b、c 则方程 x2 +bx+c=0 有实根的概率为____________. 解析:一枚骰子掷两次,其基本事件总数为 36,方程有实根的充要条件为 b2≥4c. b 1 2 3 4 5 6 2 使 b ≥4c 的基本事 0 1 2 4 6 6 件个数 由此可见,使方程有实根的基本事件个数为 1+2+4+6+6=19,于是方程有实根的概 19 19 率为 P= .答案: 36 36 10.如图,四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形,若每个小三角形用 4 种不 同颜色中的任一种涂染,求出现相邻三角形均不同色的概率. 解:若不考虑相邻三角形不同色的要求,则有 44=256(种)涂法,下面求相邻三角

形不同色的涂法种数: ①若△AOB 与△COD 同色, 它们共有 4 种涂法, 对每一种涂法, △BOC 与△AOD 各有 3 种涂法,所以此时共有 4×3×3=36(种)涂法.②若△AOB 与△COD 不同 色,它们共有 4×3=12(种)涂法,对每一种涂法△BOC 与△AOD 各有 2 种涂法,所以此时 36+48 21 有 4×3×2×2=48(种)涂法.故相邻三角形均不同色的概率 P= = . 256 64 11.在数学考试中,小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0.18,在 80~89 分的概率是 0.51, 在 70~79 分的概率是 0.15,在 60~69 分的概率是 0.09,计算小明在数学考试中取得 80 分 及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于 60 分)的概率. 解:设小明的数学考试成绩在 90 分及以上,在 80~89 分,在 70~79 分,在 60~69 分分别为事件 B,C,D,E,这 4 个事件是彼此互斥的. 根据互斥事件的加法公式,小明的考试成绩在 80 分及以上的概率为 P(B+C)=P(B)+ P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率,即成绩在 60 分及以上的概率为 P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件,所以小明考试不及格的概率为 1- P(B+C+D+E)=1-0.93=0.07. 12.盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取 2 次,每次只取 1 只, 试求下列事件的概率:(1)取到的 2 只都是次品;(2)取到的 2 只中正品、次品各 1 只;(3)取 到的 2 只中至少有 1 只正品. 解:从 6 只灯泡中有放回地任取 2 次,每次只取 1 只,共有 62=36(种)不同取法. 4 1 (1)取到的 2 只都是次品的情况有 22=4(种),因而所求概率为 P= = . 36 9 (2)由于取到的 2 只中正品、次品各 1 只有 2 种可能:第一次取到正品,第二次取到次 品;第一次取到次品,第二次取到正品,所以所求的概率为 4×2 2×4 4 P= + = . 36 36 9 (3)由于“取到的 2 只中至少有 1 只正品”是事件“取到的 2 只都是次品”的对立事件, 1 8 因而所求的概率为 P=1- = . 9 9

第二节

概率的应用

A组 1.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相 同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是________. 解析:当取出的小球标注的数字之和为 3 时只有{1,2}一种取法;当取出的小球标注的 数字之和为 6 时,有{1,5},{2,4}两种取法,所以符合条件的取法种数为 3 种,而所有的取 3 3 法有 10 种,故所求的概率为 .答案: 10 10 → → → 2. 已知 k∈Z, =(k,1), =(2,4), AB AC 若|A B |≤4, 则△ABC 是直角三角形的概率为________. 解析:|A B |≤4,k2+1≤16,k2≤15,k=-3,-2,-1,0,1,2,3. B C =(2-k,3).若 A B · C =-k2+2k+3=0,则 k=-1,k=3;若 B C · C =0,则 k B A 3 3 → → =8(舍);若 A B · C =0,则 k=-2.故 P= .答案: A 7 7 3.(2010 年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字 1,2,4,7 的 4 张卡片,乙盒子里装有分别标 有数字 1,4 的 2 张卡片.若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片,则 2 张卡片上的数字之和 为奇数的概率是________. 解析:数字之和为奇数的有(1,4),(2,1),(4,1),(7,4)共 4 种情形,而从两个盒子中各抽 1 1 取一张卡片共有 8 种情况,所以所求概率为 .答案: 2 2 4.(2009 年高考江苏卷)现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若 从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________.





→ →

→ →

解析:在 5 个长度中一次随机抽取 2 个,则有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9), (2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共 10 种情况.满足长度恰好相 差 0.3 m 的基本事件有(2.5,2.8),(2.6,2.9),共 2 种情况,所以它们的长度恰好相差 0.3 m 的 2 1 1 概率为 P= = .答案: 10 5 5 5.(原创题)连掷两次骰子分别得到点数 m,n,向量 a=(m,n),b=(-1,1),若在△ABC 中, A B 与 a 同向,C B 与 b 反向,则∠ABC 是钝角的概率是________. 解析:要使∠ABC 是钝角,必须满足 A B · B <0,即 a· C b=n-m>0.连掷两次骰子所得点 5 数 m,n 共有 36 种情形,其中 15 种满足条件,故所求概率是 . 12 6.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个,除颜色外其他特征完全相同,已知蓝色 1 球 3 个.若从袋子中随机取出 1 个球,取到红色球的概率是 . 6 (1)求红色球的个数; (2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将 1 号红色球,1 号白色球,2 号蓝色球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取,取 出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙大的概率. x 1 解:(1)设红色球有 x 个,依题意得 = ,解得 x=4,∴红色球有 4 个. 24 6 (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A, 所有的基本事件有(红 1, 1), 1, 白 (红 蓝 2),(红 1,蓝 3),(白 1,红 1),(白 1,蓝 2),(白 1,蓝 3),(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 2,蓝 3),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 12 个.事件 A 包含的基 本事件有(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 5 个, 5 所以 P(A)= . 12 B组 1.(2009 年高考浙江卷)有 20 张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k,k+1,其 中 k=0,1,2, 19.从这 20 张卡片中任取一张, ?, 记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例 如:若取到标有 9,10 的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为 9+1+0=10)不小于 14” 为 A,则 P(A)=________. 解析:对于大于 14 的情况通过列举可得有 5 种情况: 1 (7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19),而基本事件有 20 种,因此 P(A)= . 4 1 答案: 4 2.用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形,则按此规律第 100 个图形 中有白色地砖________块; 现将一粒豆子随机撒在第 100 个图形中, 则豆子落在白色地砖上 的概率是________.





→ →

解析:白色地砖构成等差数列:8,13,18,?,5n+3,? 503 ∴an=5n+3,a100=503,第 100 个图形中有地砖 503+100=603,故所求概率 P= . 603 503 答案:503 603 3.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平面上 的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N),若事 件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为________.

解析:分别从 A 和 B 中各取 1 个数,一共有 6 种等可能的取法,点 P(a,b)恰好落在直 线 x+y=2 上的取法只有 1 种:(1,1);恰好落在直线 x+y=3 上的取法有 2 种:(1,2),(2,1); 恰好落在直线 x+y=4 上的取法也有 2 种:(1,3),(2,2);恰好落在直线 x+y=5 上的取法只 1 1 1 1 有 1 种: (2,3), 故事件 Cn 的概率分别为 , , , (n=2,3,4,5), 故当 n=3 或 4 时概率最大. 答 6 3 3 6 案:3 和 4 4.先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中,有放回地随机抽取 2 个 球,则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________. 解析:基本事件共有 4×4=16 个,其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有: (1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1),共 10 种,所以所求概率 10 5 5 为 = .答案: 16 8 8 5.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点 数为 b,向量 m=(a,b),n=(1,-2),则向量 m 与向量 n 垂直的概率是________. 解析:显然 m· n=a-2b=0,所有可能的结果为(a,b)=(2,1)、(4,2)、(6,3).基本事件 1 1 总数为 36,则概率为 .答案: 12 12 6.(2010 年南京高三调研)如图,将一个体积为 27 cm3 的正方体木块表面涂上蓝色, 然后锯成体积为 1 cm3 小正方体,从中任取一块,则这一块恰有两面涂有蓝色的概 率是 . 解析:据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是大正方体的各条棱的中点 时满足条件.正方体共 12 条棱,所以两面涂色的小正方体有 12 个,而所有小正方 12 4 4 体有 27 个,所以,所求的概率为 P= = .答案: 27 9 9 7.集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取一元素 n,则 所取两数 m>n 的概率是________. 解析:基本事件总数为 25 个.m=2 时,n=1;m=4 时,n=1,3;m=6 时,n=1,3,5; 15 m=8 时,n=1,3,5,7;m=10 时,n=1,3,5,7,9;共 15 个.故 P= =0.6.答案:0.6 25 8.集合 A={(x,y)|y≥|x-1|},集合 B={(x,y)|y≤-x+5}.先后掷两颗骰子,设 掷第一颗骰子得点数记作 a,掷第二颗骰子得点数记作 b,则(a,b)∈A∩B 的概率 等于 . 解析:如图:满足(a,b)∈(A∩B)的(a,b)值共有 8 个,(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), 8 2 2 (2,1),(2,2),(2,3),(3,2).∴P= = .答案: 9 6×6 9 9.(2010 年江苏泰兴模拟)已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x,y),则当 x,y∈Z 时,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的概率为________. 解析:由|x|≤2,|y|≤2,x、y∈Z,则基本事件总数为 n=25,P 满足(x-2)2 +(y-2)2≤4,∴满足条件的整点有(0,2),(1,2),(2,2),(1,1),(2,1),(2,0)6 个, 6 6 故 P= .答案: 25 25 10.(2010 年皖南八校质检)甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体,六个面上 分别为 1,2,3,4,5,6 点),所得点数分别为 x,y. (1)求 x<y 的概率;(2)求 5<x+y<10 的概率. 解:记基本事件为(x,y),则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), (4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共 36 个基本事件. 其中满足 x<y 的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4)(1,5)(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 个. 满足 5<x+y<10 的基本事件有(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),共 20 个.

15 5 (1)x<y 的概率 P(x<y)= = ; 36 12 20 5 (2)5<x+y<10 的概率 P(5<x+y<10)= = . 36 9 11.晚会上,主持人面前放着 A、B 两个箱子,每箱均装有 3 个完全相同的球,各箱的 3 个 球分别标有号码 1,2,3.现主持人从 A、B 两箱中各摸出一球. (1)若用(x,y)分别表示从 A、B 两箱中摸出的球的号码,请写出数对(x,y)的所有情形, 并回答一共有多少种; (2)求所摸出的两球号码之和为 5 的概率; (3)请你猜这两球的号码之和,猜中有奖.猜什么数获奖的可能性最大?说明理由. 解:(1)数对(x,y)的所有情形为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3), 共 9 种. (2)记“所摸出的两球号码之和为 5”为事件 A, 则事件 A 包含的基本情形有(2,3), (3,2), 2 共 2 种,所以 P(A)= . 9 (3)记“所摸出的两球号码之和为 i”为事件 Ai(i=2,3,4,5,6), 由(1)可知事件 A2 的基本结果为 1 种,事件 A3 的基本结果为 2 种,事件 A4 的基本结果 1 2 为 3 种,事件 A5 的基本结果为 2 种,事件 A6 的基本结果为 1 种,所以 P(A2)= ,P(A3)= , 9 9 3 2 1 P(A4)= ,P(A5)= ,P(A6)= . 9 9 9 故所摸出的两球号码之和为 4 的概率最大,即猜 4 获奖的可能性最大. 12.从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 人测量身高.据测量, 被测学生身高全部介于 155 cm 到 195 cm 之间, 将测量结果按如下方式分 成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);?;第八组[190,195].如图 是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. 已知第一组与第八组 人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的 人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人, 记他们 的身高分别为 x、y,求满足“|x-y|≤5”的事件的概率. 解:(1)由频率分布直方图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04 +0.06)×5=0.82,后三组频率为 1-0.82=0.18,人数为 0.18×50=9, 这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18=144. (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04,人数为 0.04×50=2,设第六组 人数为 m,则第七组人数为 9-2-m=7-m,又 m+2=2(7-m),解得 m=4,所以第六组 人数为 4,第七组人数为 3,频率分别等于 0.08,0.06. 频率 分别等于 0.016,0.012.其完整的频率分布直方图如图. 组距 (3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为 4,设为 a、b、c、d,身高 在[190,195]内的人数为 2,设为 A、B,若 x,y∈[180,185)时,有 ab、 ac、ad、bc、bd、cd 共 6 种情况; 若 x,y∈[190,195]时,有 AB 共 1 种情况; 若 x,y 分别在[180,185)和[190,195]内时,有 aA、bA、cA、dA、 aB、bB、cB、dB,共 8 种情况. 所以基本事件总数为 6+1+8=15, 事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数有 6+1=7,∴P(|x- 7 y|≤5)= . 15

第三节

几何概型

A组 1 1.在长为 1 的线段上任取两点,则这两点之间的距离小于 的概率为________. 2 解析:利用几何概型知识,结合线性规划可求出答案,如图. 1 1 1 |x-y|< ?- <x-y< ,x∈(0,1),y∈(0,1),设阴影部分的区域面积为 d,可知 d 2 2 2 3 d 3 3 = ,整个正方形的面积为 D,可知 D=1,则所求概率 P= = .答案: 4 D 4 4 2.在等腰直角三角形 ABC 中,若 M 是斜边 AB 上的点,则 AM 小于 AC 的概率 为________. a 2 2 解析:可用相应线段长度之比来度量,易知 P= = .答案: 2 2a 2 π π 1 3.(2009 年高考山东卷)在区间[- , ]上随机取一个数 x,则 cosx 的值介于 0 到 之间的概 2 2 2 率为________. π π 1 π π π π 解析:当- ≤x≤ 时,由 0≤cos x≤ ,得- ≤x≤- 或 ≤x≤ , 2 2 2 2 3 3 2 1 1 根据几何概型概率公式得所求概率为 .答案: 3 3 4.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任意投掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ________. 解析:如图所示,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与任何一条平行 1 1 线相碰,故所求概率为 .答案: 3 3 S 5.(原创题)向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积小于 的概率 2 为________. 1 h 解析:∵S△PBC< S△ABC,∴h′< (其中 h′为△PBC 中 BC 边上的高,h 为 2 2 △ABC 中 BC 边上的高),设 DE 为△ABC 的中位线,则点 P 应在梯形 BCED 内 S梯形BCED 3 (如图阴影部分),∴P= = . 4 S△ABC 3 答案: 4

B组 1.(2009 年高考福建卷)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 的长度小于 1 的概率为________. 的长度小于 1”,则满足事件 M 的点 B 可以在定点 A 的

解析:设事件 M 为“劣弧

2 两侧与定点 A 构成的弧长小于 1 的弧上随机取一点,由几何概型的概率公式得:P(M)= . 3 2 答案: 3 2.(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形,长为 12,宽为 5, 在矩形内随机地投掷 1000 粒黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为 600 粒,则可 以估计出阴影部分的面积约为________. 600 S 解析:设所求的面积为 S,由题意得 = ,∴S=36.答案:36 1000 5×12 3.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到点 A 的距离小于等于 a 的概率为________. 1 4 3 × πa 8 3 π π 解析:P= = .答案: a3 6 6 x-2 4. (2010 年扬州调研)已知集合 A{x|-1<x<5}, B={x| >0}, 在集合 A 中任取一个元素 x , 3-x 则事件“x∈A∩B”的概率是________. 解析:由题意得 A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},由几何概型知:在集合 A 中任取一个 1 1 元素 x,则 x∈A∩B 的概率为 P= .答案: 6 6 5.某公共汽车站每隔 10 分钟就有一趟车经过,小王随机赶到车站,则小王等车时间不超过 4 分钟的概率是________. 2 答案: 5 6. 如图, 是半径为 R 的圆周上一个定点, M 在圆周上等可能地任取一点 N, 连结 MN, 则弦 MN 的长度超过 2R 的概率是________. 解析:连结圆心 O 与 M 点,作弦 MN 使∠MON=90° ,这样的点有两个,分别记 为 N1, 2, N 仅当点 N 在不包含点 M 的半圆弧上取值时, 满足 MN> 2R, 此时∠N1ON2 180° 1 =180° ,故所求的概率为 = . 360° 2 1 答案: 2 7.已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},E={(x,y)|x-2y≥0,x≤4,y≥0}, 若向区域 Ω 内随机投一点 P,则点 P 落入区域 E 的概率为________. 解析:如图,区域 Ω 表示的平面区域为△AOB 边界及其内部的部分,区域

S△COD E 表示的平面区域为△COD 边界及其内部的部分,所以点 P 落入区域 E 的概率为 = S△AOB 1 ×2×4 2 2 2 = .答案: 1 9 9 ×6×6 2 8.已知函数 f(x)=-x2+ax-b.若 a、b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则 f(1)>0 成立的概 率是________. 解析:f(1)=-1+a-b>0,即 a-b>1,如图: 9 2 S△ABC 9 9 9 A(1,0),B(4,0),C(4,3),S△ABC= ,P= = = .答案: 2 32 32 S矩 4×4 1 9.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x)= x3+ax-b 在区间[-1,1]上有且 2 仅有一个零点的概率为________. 3 1 解析:f′(x)= x2+a,故 f(x)在 x∈[-1,1]上单调递增,又因为函数 f(x)= x3+ax-b 2 2 1 1 1 在[-1,1]上有且仅有一个零点,即有 f(-1)· f(1)<0 成立,即(- -a-b)( +a-b)<0,则( + 2 2 2

?0≤b≤1 ? 1 a+b)( +a-b)>0,可化为?1+a-b>0 2 2 ?1+a+b>0 ?2
0≤a≤1

?0≤b≤1 ? 或?1+a-b<0, 2 ?1+a+b<0 ?2
0≤a≤1

由线性规划知识在平面

直角坐标系 aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域,再由几何概型可以知道,函数 f(x) 1 = x3+ax-b 在[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线 a=0,a=1,b 2 7 7 =0,b=1 围成的正方形的面积,计算可得面积之比为 .答案: 8 8 ?0≤x≤6 ?0≤x≤6 ? ? 10.设不等式组? 表示区域为 A,不等式组? 表示的区域为 B. ? ? ?0≤y≤6 ?x-y≥0 (1)在区域 A 中任取一点(x,y),求点(x,y)∈B 的概率; (2)若 x,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)在区域 B 中的概 率. 解:(1)设集合 A 中的点(x,y)∈B 为事件 M,区域 A 的面积为 S1=36,区域 B 的面积 S2 18 1 为 S2=18,∴P(M)= = = . S1 36 2 (2)设点(x,y)在区域 B 为事件 N,甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x,y)的个数为 36 21 7 个,其中在区域 B 中的点(x,y)有 21 个,故 P(N)= = . 36 12 11 . (2010 年江苏 南通模 拟 )已 知集合 A = {x|-1≤x≤0},集合 B = {x|ax + b·x -1 < 2 0,0≤a≤2,1≤b≤3}. (1)若 a,b∈N,求 A∩B≠?的概率;(2)若 a,b∈R,求 A∩B=?的概率. 解:(1)因为 a,b∈N,(a,b)可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (2,3)共 9 组. 令函数 f(x)=ax+b·x-1,x∈[-1,0],则 f′(x)=a+bln2·x. 2 2 因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以 f′(x)>0,即 f(x)在[-1,0]上是单调递增函数. b b f(x)在[-1,0]上的最小值为-a+ -1.要使 A∩B≠?,只需-a+ -1<0, 2 2

即 2a-b+2>0.所以(a, b)只能取(0,1), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)7 7 组.所以 A∩B≠?的概率为 . 9 (2)因为 a∈[0,2],b∈[1,3], 所以(a,b)对应的区域为边长为 2 的正方形(如图),面积为 4. 由(1)可知,要使 A∩B=?, b 只需 f(x)min=-a+ -1≥0?2a-b+2≤0,所以满足 A∩B=?的(a,b)对应 2 的区域是如图阴影部分. 1 4 1 1 1 1 所以 S 阴影= ×1× = ,所以 A∩B=?的概率为 P= = . 2 2 4 4 16 1 12.将长为 1 的棒任意地折成三段,求:三段的长度都不超过 a( ≤a≤1)的概率. 3 解:设第一段的长度为 x,第二段的长度为 y, 第三段的长度为 1-x-y, 则基本事件组所对应的几何区域可表示为 Ω={(x, y)|0<x<1,0<y<1,0<x+y<1}, 此 1 区域面积为 . 2 1 事件“三段的长度都不超过 a( ≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为 A={(x, 3 y)|(x,y)∈Ω,x<a,y<a,1-x-y<a}. 1 1 即图中六边形区域,此区域面积:当 ≤a≤ 时,为(3a-1)2/2,此时事件“三 3 2 (3a-1)2/2 1 段的长度都不超过 a( ≤a≤1)”的概率为 P= =(3a-1)2; 3 1/2 2 1 1 3(1-a) 1 当 ≤a≤1 时, - 为 .此时事件“三段的长度都不超过 a( ≤a≤1)”的概率为 P 2 2 2 3 =1-3(1-a)2.


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