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云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 数学理


玉溪一中高 2013 届高三上学期第三次月考 数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
i 1.复数 ( i 是虚数单位 ) 的虚部是( 1 ? 2i

i=1 )
i D. ? 5

WHILE

i<7

r />
i=i+1 S=2*i-1 i=i+2 WEND PRINT S,i END

1 A. 5

2 B. 5

i C. 5

2.运行如右图的程序后,输出的结果为 ( A.13,7 C.9, 7 B.7, 4 D.9, 5 )

)

3.下列命题中正确的是(

2 2 A.命题“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”

B.命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的必要不充分条件 C.若“ am ? bm ,则 a ? b ”的否命题为真
2 2

D.若实数 x, y ? [?1,1] ,则满足 x 2 ? y 2 ? 1的概率为

? . 4
) D. (0,2)

4.若 f ( x ) 是偶函数,且当 x ? [0,? ?)时, f ( x ) ? x ? 1, 则f ( x ? 1) ? 0 的解集是( A. (-1,0) B. (-∞,0) ? (1,2)
1 n ? n ?1

C. (1,2)

5.数列{an}的通项公式是 an= 前 n 项和为 10,则项数 n 为( A.120 B.99 C.11

,若 1

) D.121 1

6. 已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接 球表面积为( A.16 ? C.8 ? ) B.4 ? D.2 ?

3
1

中点

7.如图所示,曲线 y ? x 2 和曲线 y ? x 围成一个叶形图(阴影部 分) ,则该叶形图的面积是( A.
1 2


1 4

B.

C.

1 6

D.

1 3

8.函数 y ? 2 sin( A. [0,

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是(

)

?
3

]

B. [

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6

9.已知在函数 y ?| x | ( x ? [?1,1] )的图象上有一点 P (t ,| t |) ,该函数的图象与 x 轴、直线 x =-1 及 x=t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S,则 S 与 t 的函数关系图可表示为( )

x2 y 2 10. 已知点 F ,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点, F 且垂直于 x 轴 过 1 1 a b
的直线与双曲线交于 A , B 两点,若 ?ABF2 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 ( ) A. ( 2 ?1, ??) B. ( 3 ? 1, ??) C. (1 ? 2, ??) D. (1,1 ? 2)

11 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x)、g ( x) 满 足

f ( x) ) ? a x , 且 f '( x ) g ( x )? f ( x ) g '(x, g ( x)

? f ( n) ? 31 f (1) f (?1) 5 ? ? ,若有穷数列 ? ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 ,则 n 等于( ) 32 g (1) g (?1) 2 ? g (n) ?
A.4 B.5 C.6 D. 7

12.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 2) ? f (x ? 2), x ? (?1, 0) 时, 且

f ( x ) ? 2x ?
A. 1

1 ,则 f (log2 20) ? ( ) 5 4 B. C. ?1 5

D. ?

4 5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡中横线上. 13、已知函数 f ( x) ? ?
? 1 2

? x ? 1, x ? 0
x ?e , x ? 0
? 1 2

,则 f ( f (0) ? 3) ?



14.若 (a ? 1)

? (3 ? 2a) ,则实数 a 的取值范围是

。 .

15.在 ? ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2 ,∠ ADB=1350,若 AC= 2 AB,则 BD=

16. 设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上,记 钝角时,则 ? 的取值范围是 。

D1 P ? ? 。当 ?APC 为 D1 B

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、 (本小题满分 12 分) 如图 A, B 是单位圆 O 上的动点, A, B 分别在第一,二象限. C 是圆与 x 且 轴正半轴的交点, ?AOB 为正三角形. 若 A 点的坐标为 ( x, y ) . 记 ?COA ? ? .
sin 2 ? ? sin 2? ?3 4? (1)若 A 点的坐标为 ? , ? ,求 的值; cos2 ? ? cos 2? ?5 5?

y
B O

A C

(2)求 | BC |2 的取值范围.

x

18、 (本小题满分 12 分)一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球( n ? 2 ,且 n ? N * ) ,每次从袋中摸 出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中 奖。 (1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 P; (2)若 n ? 3 ,求三次摸球恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f ( p) ,当 n 为何值时, f ( p) 取最大值。 D1 19、 (本小题满分 12 分)如图,在长方体
ABCD ? A1 B1C1 D1 ,中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E

C1 B1

A1

在棱 AB 上移动. (1)证明: D1 E ? A1 D ;

A

D E B

C

(2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4

20、 (本小题满分 12 分)已知定点 A(1, 0) 和定直线 x ? ?1上的两个动点 E 、 F ,满足 AE ? AF , 动点 P 满足 EP // OA, FO // OP (其中 o 为坐标原点). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B(0, 2) 的直线 l 与(1)中轨迹 C 相交于两个不同的点 M 、 N ,若 AM ? AN ? 0 ,求直 线 l 的斜率的取值范围.

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? k )2 e k . (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x ) ?

x

1 ,求 k 的取值范围。 e

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . 已知直线 l 的参数方程是 ? 4 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?
(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣m (I)当 m ? 5 时,求 f(x) >0 的解集; (II)若关于 x 的不等式 f(x) ≥2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

玉溪一中高 2013 届高三上学期第三次月考 数学试题(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.

1.A 2.C 3. C 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9.B 10.C

11、B 12.C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡中横线上. 13、 ? 1 14、

2 3 ?a? 3 2

15. 2+ 5

?1 ? 16. ? ,1? ?3 ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
?3 4? 17、解: (Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ? , ? ,根据三角函数定义可知, ?5 5?
0 ?? ?

?
2

,sin ? ?

4 3 ,得 cos ? ? ,.................................2 分 5 5

所以

sin 2 ? ? sin 2? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? = ? 20 ..........................5 分 2 cos ? ? cos 2? 3cos2 ? ?1

(Ⅱ)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 600 , 所以
cos ?COB = cos(?COA ? 600 ) = cos(? ? 60? ) ...............................6 分

? 所以 | BC |2 ?| OC |2 ? | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ?BOC = 2 ? 2cos(? ? ) .........7 分 3
?

?
6

?? ?

?
2

,?

?
2

?? ?

?

5 ? ? , 3 6

5 ? ? ? cos ? ? cos(? ? ) ? cos , 6 3 2

即? ?

3 ? ? cos(? ? ) ? 0 ,.................................9 分 2 3

? 2 ?| BC |2 ? 3 ? 2 .................................10 分

18、解: (1)一次摸球从 n? 2 个球中任选两个,有 C n2? 2 种选法,其中两球颜色相同有 Cn2 ? C22 种 选法;一次摸球中奖的概率 P ?
2 2 Cn ? C2 n2 ? n ? 2 ? 2 ............ 4 分 2 Cn ? 2 n ? 3n ? 2

(2)若 n ? 3 ,则一次摸球中奖的概率是 P ?
1 一次中奖的概率是 P (1) ? C3 ? P ? (1 ? P)2 ? 3

2 ,三次摸球是独立重复实验,三次摸球中恰有 5

54 125

................ 8 分

(3)设一次摸球中奖的概率是 p ,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是
1 f ( p) ? C3 ? p ? (1 ? p)2 ? 3 p3 ? 6 p 2 ? 3 p , 0 ? p ? 1 ,

? f '( p) ? 9 p2 ? 12 p ? 3 ? 3 ? p ? 1??3 p ? 1?

? 1? ?1 ? ? f ( p) 在 ? 0, ? 是增函数,在 ? ,1? 是减函数, ? 3? ?3 ?
?当 p ?
1 时, f ( p) 取最大值 3

................10 分

?p ?

n2 ? n ? 2 1 ? (n ? 2, n ? N ?) , n2 ? 3n ? 2 3

?n ? 2 ,故 n ? 2 时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。..............

12 分

19、解:以 D 为坐标原点,直线 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE ? x , D1 A1 B1 C1 则
A1 (1, 0,1), D1 (0, 0,1), E (1, x, 0), A(1, 0, 0), C (0, 2, 0) ………

…2 分 A D E
???? ???? ? ?

C B
???? ? ???? ?

(1) 因为DA1 , D1 E ? (1,0,1),(1, x, ?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E. ………………4 分 (2)因为 E 为 AB 的中点,则 E (1,1, 0) ,从而 D1 E ? (1,1, ?1), AC ? (?1, 2,0) ,
? ???? ???? ? ? ?n ? AC ? 0, ? AD1 ? (?1, 0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ? ???? ? ?n ? AD1 ? 0, ?
???? ? ????

也即 ?

? ? ? a ? 2b ? 0 ? a ? 2b ,得 ? ,从而 n ? (2,1, 2) ,所以点 E 到平面 ACD1 的距离为 ??a ? c ? 0 ?a ? c
???? ? ? | D1 E ? n | 2 ? 1 ? 2 1 ? h? ? ? . ………………………………………………8 分 3 3 |n|

(3)设平面 D1 EC 的法向量 n ? (a, b, c) ,
????? ? ??? ? ???? ? ∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0, 2, ?1), DD1 ? (0,0,1),
? ???? ? ?n ? D1C ? 0, ?2b ? c ? 0 ? 由 ? ? ??? ?? ? ?a ? b( x ? 2) ? 0. ?n ? CE ? 0, ?

?

令 b ? 1,? c ? 2, a ? 2 ? x ,

∴ n ? (2 ? x,1, 2).
? ???? ? | n ? DD1 | 2 2 2 ? 依题意 cos ? ? ???? ? ? ? . 2 4 | n | ? | DD1 | 2 2 ( x ? 2) ? 5

?

?

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) x2 ? 2 ? 3 . , ∴ AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . …………………………12 分 4

20、 解: (1)设 P( x, y), E(?1, y1 ), F (?1, y2 )( y1 、 y 2 均不为 0) 由 EP // OA y1 ? y,即E(?1, y) ………………………………2 分 得 由 FO // OP得y 2 ? ?

y y , 即 F ( ?1,? ) ………………………………4 分 x x

由 AE ? AF 得 AE ? AF ? 0 ? (2,? y1 ) ? (2, y2 ) ? 0 ? y1 y2 ? ?4 ? y 2 ? 4x( x ? 0) ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4 x( x ? 0) ……………………6 分 (2)设直线 l 的方程 y ? kx ? 2(k ? 0), M (

y12 y2 , y1 ), N ( 2 , y 2 ) 4 4

联立得 ?

? y ? kx ? 2 消去x得ky 2 ? 4 y ? 8 ? 0 2 ? y ? 4x

? y1 ? y 2 ?

4 8 , y1 y 2 ? , ………………………………8 分 k k 1 且 ? ? 16 ? 32 k ? 0即k ? . 2

? AM ? AN ? (
?

y12 y2 y2 y2 ? 1, y1 ) ? ( 2 ? 1, y 2 ) ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? y1 y 2 4 4 4 4

2 2 y1 y 2 1 2 2 ? ( y 1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ? 1 16 4

?

4 1 16 16 8 k ? 12 ? ( 2 ? ) ? ?1 ? 2 4 k k k k k

…………………………10 分 ………………………………12 分

? AM ? AN ? 0,? ?12 ? k ? 0.
/

x 1 2 2 k f ( x ) ? ( x ? k )e / k 21、解:(1) ,令 f ( x) ? 0 得 x ? ? k

当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, ?k ) 和 (k , ??) 上递增,在 (?k , k ) 上递减; 当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, k ) 和 (?k , ??) 上递减,在 (k , ? k ) 上递增

(2) 当 k ? 0 时,

f (k ? 1) ? e

k ?1 k

?

1 1 f ( x) ? e; e ;所以不可能对 ?x ? (0 , ? ?) 都有 f (?k ) ? 4k 2 e ,所以对 ?x ? (0 , ? ?) 都

当 k ? 0 时有(1)知 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最大值为

f ( x) ?


1 e

1 4k 2 1 1 1 [? ,0) f ( x) ? ? ?? ?k ?0 e 时,k 的取值范围为 2 e 2 即 e , 故对 ?x ? (0 ,? ?) 都有 。
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 , x
即 (x ?

…………(2 分) …………(3 分)

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .…………(5 分) 2 2 2 2 (II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

(

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2
…………(8 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 方法 2:?直线l的普通方程为 ? y ? 4 2 ? 0 , x

…………(10 分) …………(8 分)

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2
…………(10 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I)由题设知: | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 , 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? , ? ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5
解得函数 f (x) 的定义域为 (??,?2) ? (3,?? ) ; (II)不等式 f(x) ≥2 即 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m ? 2 ,
x ∵ ? R 时,恒有 | x ? 1 | ? | x ? 2 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 ,

…………(5 分)

不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m ? 2 解集是 R ,
m ∴ ? 2 ? 3 , m 的取值范围是 (??,1] .

…………(10 分)


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