当前位置:首页 >> 数学 >>

高考试卷陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例数学试题


2015 年高考 五 月 信 息 专 递





咸阳市学科研究中心数学专家组

·1·

考前寄语 ? 高考趋向: 真题:回归教材是常态 题源:根植课本、稳定在部分往年陕西真题模型之中。 难度:在稳定与过渡的前提下,于陕西 2014 持平 关注:特别关注高等背景题,以及主

干知识的深度考查。 创新:选择最后一题,必考解答最后二题,选考解答题。 题型:能力立意是常态 选择题:基础,控制计算量,将会有 1 道新颖题; 填空题:基本,稳定中渐变,可能有 1 道情景题; 解答题:常规,突数学本质,一般有 2 道选拔题。 ? 解题策略: 应试:科学做题是常态 提醒:查漏补缺是常态 选择题:对照选支,不择手段;该算不算,巧判过关; 填空题:稳、准、快;浅层次挖掘,从定义、概念出发,找联系; 解答题:模式识别、差异分析、寻找转化。 解题就是探究:数量关系、图形关系、随机关系。 解题五字操作方法:建(坐标系) ,设(点坐标、方程、角度、参数) ,列(关系式、方程、函 数、不等式、数列) ;解(解方程、不等式、求函数最值) ,验(反思、检验) 。

信息传递

从 2006 年开始,陕西高考数学自主命题,已经形成了自己的风格,形成了一定的特点,2015 年 是陕西最后一次自主命题。既延续往年的成功做法,又关注全国卷的命题特色,相信,今年试题会 做好平稳过渡, 体现有利于中学教学和大学选拔,为陕西自主命题划上圆满的句号。 ? 往年高考命题背景

1.根植于高等数学背景。例如:2010 年选择题最后一题改编自《数学分析》教材题目;2011
·2·

年函数曲线、点列、数列综合解答题目,取材于《计算数学》内容;2012 年函数零点、不等式综合 压卷题;2014 年函数与调和级数、不等式综合压卷题;有明显的高等数学背景。 2.改编自资料经典问题。例如:2012 年理科压卷题第 2 问类似于 2011 年五月信息题;2011 年 立体几何解答题是老版教材《立体几何(甲种本) 》题目改造。 3.改编自竞赛经典问题。例如:2011 年的植树填空题目是经典竞赛试题改编;2011 年理科 12 题一元二次方程整数根是初中数学竞赛的风格; 2010 年和 2012 年选择题最后一题里的高斯函数是竞 赛的考点。 4.改编自往年的高考试题。例如:2012 年理科压卷题将函数、导数、不等式、数列综合,有陕 西 2006 年压卷题目的味道,还雷同于 2006 年广东压卷题;2012 年第 2 题考查函数性质是 1985 年全 国高考题目的风格;2012 年理科第 7 题类似于 2011 年北京理科 18 题里的函数;2012 年理科第 9 题 与 2011 年重庆理科第 6 题有相近的已知条件。 5.改编自课本经典的问题。例如:2012 年抛物线拱桥填空题;立体几何解答题是三垂线定理和 逆定理,这在课本例题习题里出现;2011 年三角函数解答题为教材余弦定理的叙述与证明;2010 年 文科三角解答是课本原题仅改数值而成。2013 年等差、等比数列求和公式推导。 我们还可以列举更多的例子,望读者多加思考,从往年的考题明码信息里,琢磨 2015 年高考命 题的新动向。

?

今年高考命题猜想

1.选择、填空试题里各有一道“亮点题” ,显示命题人的设计艺 术,检查考生的分析问题和解决问题的能力。 2.课本是高考试题的直接来源,这是一条不会改变的命题规律, 值得再次关注。 3.解析几何试题复习时,请控制运算难度,题目将简单明了。 4.实际应用性的问题,是命题的趋向,体现浅而不难,新而有趣。 5.概率试题依然是试题长度适当,控制阅读理解的上限。 6. 压卷题目依然有深刻的数学背景,有探究、研究的空间, 体现高考命题的选拔性。

·3·

2015 年理科临考模拟

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 设全集 U ? x ? R x ? 0 ,函数 f ( x) ? 1 ? lg x 的定义域为 M, 则 C u M 为( A. (10,??) U ?0? 2. 复数 B. (10,??) ) C. ? 1 ) C.f(x)=xsin x ) D.f(x)=ex+e
-x

?

?



C.

(0,10)

D. ?0,10?

4i 的共轭复数的虚部为( i ?1
B.2

A. ? 2

D. 1

3.下列函数中,为偶函数且有最小值的是( A.f(x)=x2+x B.f(x)=|ln x|

4. 根据统计知识则不正确的命题是(

A.传染病医院感染禽流感的医务人员数与医院收治的禽流感病人数是具有相关关系的两个变量 B.从参加高三模拟考试的 1200 名学生中,随机抽取 100 人了解试卷难易情况可以用系统抽样

? ? bx ? a 必过 ( x , y ) C.线性回归方程 y
D.在一个 2 ? 2 列联表中,由计算得 ? 的值,则 ? 的值越大,判断两个变量间有关联的把握就越
2 2

大. 2 ? ?|x-4|, x≠4, 5.已知函数 f(x)=? 若函数 y=f(x)-2 有 3 个零点,则实数 a 的值为( ? x=4, ?a, A.-4 B.-2 C.0 D.2 )

)

6.已知 e1,e2 是两个单位向量,其夹角为 θ,若向量 m=2e1+3e2,则|m|=1 的充要条件是( A.θ=π π B.θ= 2 π C.θ= 3 2π D.θ= 3

7. 如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视 方形边长为 2,正视图、侧视图中的虚线都是半圆,则该器皿 是( )
·4·

图中的正 的表面积

A. C.

B. D. )
开始

8.执行如右图程序框图,则输出的结果为( A.2048 C.2046 B.2047 D.2016

A=1, S=0 9.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y ). 若对任意 x ? 2 ,不等式 S=S+A A=2A 否 10.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于

? x ? a? ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是(
A. ? D. ??,?1? ??1,7? ? B. ??,3? ? C. ? ??,7? ??? ?7,?? ?



?

?

?

S>2015 是 输出 S
结束

A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为(
A.18 B.24 C.36

) D.48

11.在一次救援活动中,我空军接到救援队急需要紧急医疗器械,但由

于雾霾天气,空军只能根据信息判断搜救队大概在 M ? {( x, y) x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} 区域内活动, 为缩小目标范围,空军利用高科技,将搜救队活动范围缩小在 A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} 区域, 若向区域 M 上,空投救援物资,则该救援物资落入区域 A 的概率为( A. 1
3

)

B. 2
3

C. 1
9

D. 2
9
D
C

12. 如图,等腰梯形 ABCD 中, AB // CD ,且 AB ? 2, AD ? 1 ,

DC ? 2 x( x ? (0,1)) . 以 A , B 为焦点,且过点 D 的双曲线的离心

A

B

率 为 AB

e1 ;以 C , D 为焦点,且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 ,动点 E 在边
上,且 | AE |? e1 ? e2 对 x ? (0,1) 恒成立,则 | AE | 的最大值( A. 3 B. 2 C. 5 第Ⅱ卷(非选择题
·5·



D.不存在 共90分)

本卷包括必考题和选考题两个部分.第13~21题为必考题, 每个考生都必须作答.第22~24题为选考 题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13. 在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 若 a= 2b, sin B=sin C, 则 B 等于 .

? a ? 2 , (0 ? x ? 1) 14.已知函数 f ( x) ? ? 2 x (a ? 0, a ? 1), 且 f (1) ? f ( 2), 则 f (log4 6) ? ________. ?a x , ( x ? 1) ?
15.某高中学生测量队,为测量学校附近的发射塔高度,他们站在教学楼楼顶,测得信号发射塔的塔 顶仰角为 60 ,塔底的俯角为 45 ,通过计算测得塔高 10(1 ? 3 ) 米,则他们所站的教学楼高
0 0

米. 16. 在 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? ? ? (1 ? x)9 的展开式中, x 项的系数是
2

. (用数字作答)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1 =3,且 a1,a2,a4 成等比数列. (I)求{an}的通项公式; (II)数列{ akn }是以 a1 为首项,3 为公比的等比数列,求数列 n? kn ? 的前 n 项和 Sn

?

18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底

P



ABCD 为直角梯形, AD / / BC , ?ADC ? 90? ,平面

M
D
Q
点 ,

PAD ⊥底面 ABCD ,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的

PA ?

PD ?

, BC ? 1 , CD ? 3 . A2 ? D

C
B

(1)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ;

A

(2)若二面角 M ? BQ ? C 为 30? ,设 PM ? t ? MC ,试确定 t 的值.

19. (本小题满分 12 分)大学生村官下基层包村锻炼的活动中,某女大学生要在 12 个村委会(其 中有 4 个村在山区,8 个村在丘陵)中选 3 个村.
·6·

(1)求该女村官至少选一个山区村的概率. (2)若该女村官选的 3 个村中有 2 个在丘陵,1 个在山区,且女村官到丘陵地工作的概率为

4 , 5

在山区工作的概率为

3 ,假设所选村的所在地与否相互独立,用 X 表示女村官所选村庄的个数,求 5

X 的分布列及数学期望.

20.(本小题满分 12 分)设动圆 C 与圆: ? x ? 2? ? y ? 1 外切,与直线 x ? ?1 相切.
2 2

(1)求动圆圆心 C 的轨迹方程; (2)若曲线 E 与 C 的轨迹关于直线 y ? x 对称,求两曲线围成封闭图形的面积; (3)过点 F ? 0, 2 ? 任作一直线 l 交曲线 E 于 A、B 两点,是否存在一直线使以 A、B 为切点的切线的 交点总在此直线上,若存在,求此直线方程,若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 (1)若函数

f ( x) ? 2ln x ? x ? ax a ? R 的图象在 x ? 2 处切线的斜率为 ?1 ,且不等式 f ? x ? ? 2 x ? m 在 上有解,求 1 [ , e] f ( x) e 实数 的取值范围; m (2)若函数 的图象与 ,且 , x 0 ? x1 ? x2 A( x1, 0), B( x2 , 0) f ( x) 轴有两个不同的交点
2



) .

求证:

f ?(

x1 ? x2 )?0 (其中 2

) f ( x) . 是 f ?( x 的导函数)

·7·

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做的第一个题目计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切线, 延长线于点 P,交 AD 的延长线于点 E. (1)求证:AB2=DE· BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长. 交 BD 的

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . 已知直线 l 的参数方程是 ? 4 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?
(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)已知函数 f ?x ? ? x ? 3 , g ?x ? ? m ? 2 x ? 11 ,若 2 f ?x ? ? g ?x ? 4 ? 恒成立,求实数 m 的取值范围。
2 2 2 (Ⅱ)已知实数 x、y、z 满足 2 x ? 3 y ? 6 z ? a (a ? 0), 且 x ? y ? z 的最大值是 1,求 a 的值.

·8·

2015 年文科临考模拟 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
2 1.若集合 M ? {1,2,3,4}, N ? {x x ? 4 ? 0} ,则 M ? (C R N ) ? (



A. {1,2,3,4} 2. 复数

B. [?2,2]

C. {1} )

D. [2,??)

4i 的共轭复数的虚部为( i ?1
B.2

A. ? 2

C. ? 1 )
2

D. 1

3.下列函数既是偶函数又是周期为 ? 的函数是( A. y ? cos(x ?

3? ) 2

B. y ? sin x )

C. y ? cos

x 2

D. y ? tan 2 x

4. 根据统计知识则不正确的命题是(

A.传染病医院感染禽流感的医务人员数与医院收治的禽流感病人数是具有相关关系的两个变量 B.从参加高三模拟考试的 1200 名学生中, 随机抽取 100 人了解试卷难易情况可以用系统抽样

? ? bx ? a 必过 ( x , y ) C.线性回归方程 y
D.在一个 2 ? 2 列联表中,由计算得 ? 的值,则 ? 的值越大,判断两个变量间有关联的把握就
2 2

越大. 5.函数 f ( x) ? log 1 x ? x 的零点所在的一个区间是(
2

) D. (2,3) )

A. ( , )

1 1 4 2

B. ( ,1)

1 2

C. (1,2)

6.已知 e1,e2 是两个单位向量,其夹角为 θ,若向量 m=2e1+3e2,则|m|=1 的充要条件是( A.θ=π π B.θ= 2 π C.θ= 3 2π D.θ= 3

7. 如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为 2,正视图、侧视 图中的虚线都是半圆,则该器皿的表面积是( )
·9·

A. C.

B. D. 语 句 为

8. 下图为一个求 50 个数的平均数的程序,在横线上应填充的 ( ) A.i>50 B.i<50 C.i>=50 D.i<=50 9.某高中在校学生 2 000 人,高一年级与高二年级人数相同 高三年级多 1 人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行 旦”跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项 各年级参与比赛人数情况如下表: 高一年级 跑步 登山 高二年级 高三年级 S=0 i=1 DO INPUT x S=S+x i=i+1 LOOP UNTIL ____ a=S/50 PRINT a END

并都比 了“元 比赛,

a x

b y

c z

2 其中 a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意程度, 5 从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则高二年级参与跑步的学生中应抽取( A.36 人 B.60 人 C.24 人 D.30 人 )

9. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y ). 若对任意 x ? 2 , 不等式 x ? a ? x ? a ? 2 都成立, 则实数 a 的取值范围是( )

?

?

A. ? D. ??,?1? ??1,7? ? B. ??,3? ? C. ? ??,7? ??? ?7,?? ?

?

?

?

10.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( A.18 B.24 ) C.36 D.48

11.某农场给某种农作物施肥量 x(单位:吨)与其产量 y(单位:吨)的统计数据如下表: 施肥量 x 产量 y 2 26 3 39 4 49


5 54


根据上表,得到回归直线方程y =9.4x+a,当施肥量 x=6 时,该农作物的预报产量是(
·10·

)

A.72.0

B.67.7

C.65.5

D.63.6

?2 x ? 2 y ? ?2 ?1 ? 2 12.设变量 x, y 满足 ? x ? y ? 1 , z ? a x ? y (a ? 0) 的最大值为 5,则 a ? ( ?2 ? ?6 x ? 3 y ? 21 ? 0
A.1 B.3 C.4 D.2

)

第Ⅱ卷(非选择题

共90分)

本卷包括必考题和选考题两个部分.第13~21题为必考题, 每个考生都必须作答.第22~24题为选考 题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a= 2b,sin B=sin C,则 B 等于________.
2 ? 1 ?? x , ( x ? 1) 14.设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( )? f (2) ? ? x ? x ? 2( x ? 1)

.

15.某高中学生测量队,为测量学校附近的发射塔高度,他们站在教学楼楼顶,测得信号发射塔的塔 顶仰角为 60 ,塔底的俯角为 45 ,通过计算测得塔高 10(1 ? 3 ) 米,则他们所站的教学楼高
0 0

米.

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 16.观察下列等式 1 ? 1 , 1 ? 2 ? 9 , 1 ? 2 ? 3 ? 36 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 100 ?? ,照此规律,第

n 个等式可为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x ? cos2 ? x (? ? 0) 最小正周期为 (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 ?ABC 的三条边 a , b , c 满足 a ? bc , a 边所对的角为 A ,求 A 的取值范围.
2

π . 2

·11·

18. (本小题满分 12 分)如图,正三棱柱 ABC―A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (I)求证:A1C//平面 AB1D; (II)求点 c 到平面 AB1D 的距离.

19.(本小题满分 12 分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注 题进行了民意调查,下表是在某单位得到的数据(人数) :

的 问

(I)判断是否有 99. 5%的把握认为赞同“男女同龄退休”与性别有关? (Ⅱ)用分层抽样的方法从赞同“男女同龄退休”的人员中随机抽取 6 人作迸一步调查分析,将这 6 人作 为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 名男士和 1 名女士的概率,下面的临界值表供参考:

(参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 , 其中n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20.(本小题满分 12 分)设动圆 C 与圆: ? x ? 2? ? y ? 1 外切,与直线 x ? ?1 相切.
2 2

(1) 求动圆圆心 C 的轨迹方程; (2) 若曲线 E 与 C 的轨迹关于直线 y ? x 对称,过点 F ? 0, 2 ? 任作一直线 l 交曲线 E 于 A、 B 两点, 是 否存在一直线使以 A、B 为切点的切线的交点总在此直线上,若存在,求此直线方程,若不存在,说 明理由.

·12·

21.(本小题满分 12 分)函数 y ? f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b(a, b ? R) . (1)令 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 a >0 时,求函数 y ? f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b(a, b ? R) 的极值; (3)若 x∈时, y ? f ( x) 图象上任意一点处的切线倾斜角为θ ,求当 0≤θ ≤

? 时 a 的取值范围. 4

请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做 的第一个题目计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切 的延长线于点 P,交 AD 的延长线于点 E. (1)求证:AB2=DE· BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长. 线,交 BD

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . 已知直线 l 的参数方程是 ? 4 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?
(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)已知函数 f ?x ? ? x ? 3 , g ?x ? ? m ? 2 x ? 11 ,若 2 f ?x ? ? g ?x ? 4 ? 恒成立,求实数 m 的取值范围。
2 2 2 (Ⅱ)已知实数 x、y、z 满足 2 x ? 3 y ? 6 z ? a (a ? 0), 且 x ? y ? z 的最大值是 1,求 a 的值.

·13·

理科参考答案: 一、选择题 题号 答案 1 A 2 A 3 D 4 D 5 D 6 A 7 A 8 B 9 C 10 C 11 D 12 C

二、填空题 13.45° 14.

6 6

15. 10

16. 120

三、解答题 17.解: (Ⅰ)设的公差为 d ,由题意, a22 ? a1a4 ,即 ? a1 ? d ? ? a1 ? a1 ? 3d ? ………………2 分
2

于是 d ( a1-d ) ? 0 因为 d ? 0 ,且 a1 ? 3 ,所以 d ? 3 . …………………………………………………4 分 故 an ? 3n . ……………………………………………………………………5 分
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ak ? 3kn ,……………………………………………………………6 分 又数列 ?ak ? 是以 a1 为首项, 3 为公比的等比数列,则 ak ? 3 ? 3n ?1 ? 3n ,
n
n

………7 分

所以 3k n ? 3n ,即 k n ? 3n ?1 .

………………………………………………………8 分

因此 Sn ? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? L ? n ? 3n ?1 ① 则 3Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? L ? ? n ? 1? ? 3n ?1 ? n ? 3n ② …………………………………………10 分 由①-②得 ?2Sn ? 1 ? 3 ? 32 ? L ? 3n ?1 ? n ? 3n ?
1 4 1 4

1 ? 3n 1 ? 1? ? n ? 3n ? ? ? ? n ? ? 3n 1? 3 2 ? 2?

因此 Sn ? ? ? 2n ? 1? 3n . ……………………………………………………………………12 分

18.解: (Ⅰ)∵AD∥BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2
…………………1 分 …………………2 分
·14·

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90° ,∴∠AQB=90° ,即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,…………………4 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ?平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)法一:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. ∵面 PAD⊥面 ABCD,且面 PAD∩面 ABCD=AD,∴PQ⊥面 ABCD.……………7 分 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ; …………………5 分 …………………6 分

?

Q(0, 0, 0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
设 M ( x, y, z ) , 则P M ?xyz (, ,

???? ?

? 3 )

, MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z)

???? ?

t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ???? ? ???? ? ? 3t ? , ? PM ? t ? MC ,∴ ? y ? t ( 3 ? y ) ? ? y ? 1 ? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z ) ? 3 ? z? 1? t ?
在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? ? ? ? 1? t ,1? t ,1? t ? ?, ? ? ∴平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) .

??? ?

???? ?

?

t

3t

3?

??

? ?? n?m t 3 ? ∵二面角 M ? BQ ? C 为 30° ,∴ cos 30? ? ? ?? ? ,得 t ? 3 ……12 分 2 2 n?m 3? 0?t

19.解:(1)设 A 表示女村官至少选一个山区村,则 A 表示女村官选 3 个丘陵村,

P( A) ?

C8

3 3

C12

?

14 41 14 41 ? ,则 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? ,即 P( A) ? . 55 55 55 55
1 5
2

(5 分)

(2)X 的所有可能值为 0,1,2,3,则 P( X ? 0) ? ( ) ?

2 2 ? , 5 125

P( X ? 1) ?

4 1 2 1 4 2 1 1 3 19 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 4 4 3 48 P( X ? 3) ? ? ? ? ;其分布列为: 5 5 5 125
·15·

P( X ? 2) ?

4 4 2 ? ? 5 5 5

所以 E ( X ) ? 0 ?

2 19 56 48 11 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5

(12 分)

20.解:(1)由题设知动圆圆心到定点 F ? 2, 0 ? 和定直线 x ? ?2 距离相等,所以动圆圆心 C 的轨迹方 程为 y ? 8 x .
2

(3 分)

(2)曲线 E 的方程为 y ?

x2 ,两曲线的交点为 O ? 0, 0 ? , M ? 8,8 ? ,所以两曲线围成封闭图 8
(7 分)

? x2 ? 64 形的面积 S ? 2? ? x ? . ?dx ? 0 8? 3 ?
8

(3)设 A ?x 1 ,y 1 ?,B x ? 2 ,y 2 ②. 由?

? ,则经过 A、B 的切线方程分别为: x1 x ? 4 y ?

x12 x2 ①, x2 x ? 4 y ? 2 2 2

? x2 ? 8 y ? y ? kx ? 2

2 得: x ? 8kx ? 16 ? 0 ,

由韦达定理得 x1 ? x2 ? 8k , ②-①得 ( x 2 ? x1 ) x ? ②+①得

x1x2 =-16.

2 x2 ? x12 x ? x2 ,? x ? 1 ? 4k . 2 2

2 x2 ? x12 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 64k 2 ? 32 ( x2 ? x1 ) x ? 8 y ? ,? 8kx ? 8 y ? ? 8y ? , 2 2 2

将 x ? 4k 代入,可得 y ? ?2, ?存在直线 l : y ? ?2 .

(12 分)

21.解: (Ⅰ)由 f ?( x) ? ? 2 x ? a ,

2 x

?12, 得切线的斜率 k ? f ?(2) ? a ? 3 ? ?1,? a [ ,故 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? 2 x , , e] e
由 f ? x ? ? 2 x ? m 得 m ? 2ln x ? x 2 ∵不等式 f ? x ? ? 2 x ? m 在 上有解,所以 m ? (2ln x ? x )max
2

…… 2 分

……4 分

·16·

令 g ( x) ? 2ln x ? x 2

则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,

1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, e e

f ? x?

x

x

x

A? x1,0? , B ? x2 ,0?
;当
2

时,





2ln x ? x g ? ax 0, (1) ?? ?1 在 x ? 1 处取得最大值
2

x1 , x2
……6 分

2 ? ln x1 ? ln x2 ? a ? ? x1 ? x2 ? ? (Ⅱ)因为 的图象与 轴交于两个不同的点 x1 ? x2
所以方程

所以 m ? ?1

? 2 ln x1 ? x1 ? ax1 ? 0 ? ? 2 ? ? 2 ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0

f ? x ? ? 2 ln x ? x 2的两个根为 ? ax, f ? ? x ? ?

2 ? 2x ? a ,则 x

,两式相减得

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 4 ?x ?x ? f ?? 1 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? a ? ? x2 x1 ? x2 ? 2 ? x1 ?, ……8 分 x1 ? x2


2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 ? ?0 ,则 x1 ? x2 x1 ? x2
?0 ? x1 ? x2 ,?0 ? t ? 1,
u ?t ? ?

2 ? x2 ? x1 ? x x ? ln 1 ? 0, t ? 1 x1 ? x2 x2 x2
0 ? t ?1

2 ?1 ? t ? ? ln t ? 0 t ?1
2

下证

u? ? t ? ?
u ?t ?

?2 ? t ? 1? ? 2 ? 1 ? t,即证明 ? ? 1 ? 1 ? 4 ? ?t ?1? (*) (t ? 1)2 t t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
即证明 ? 0,1 ?

0 ? t ?1

u? ? t ? ? 0

u ?t ? ? u ?1?在 ?0
?x ?x ? f ? ? 1 2 ? ?又 0 ? 2 ?
,从而知

2 上恒成立

2 ? x ? x1 ? x … 10 ? ln分1 ? 0 x1 ? x2 x2

因为

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 ? ?0 x1 ? x2 x1 ? x2
在 上是增函数,则

,所以

所以,



,即 ︵ ︵ 22.【解析】(1) ∵AD∥BC,∴AB=CD. ∴AB=CD,∠EDC=∠BCD. 又 PC 与⊙O 相切,∴∠ECD=∠DBC. DC DE ∴△CDE∽△BCD.∴ = . BC DC

成立

………12 分

g ?( x) ? 0
·17·

1? x ? e

g ?( x) ? 0

g ( x)

∴CD2=DE· BC,即 AB2=DE· BC. AB2 62 (2) 由(1)知,DE= = =4, BC 9 ∵AD∥BC,∴△PDE∽△PBC, ∴ PD DE 4 = = . PB BC 9

(5 分)

又∵PB-PD=9, 36 81 ∴PD= ,PB= . 5 5 36 81 542 54 ∴PC2=PD· PB= · = 2 .∴PC= . 5 5 5 5 (10 分)

23.解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

????(2 分) ????(3 分)

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .????(5 分) 2 2 2 2

(II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

(

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2
????(8 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 方法 2:?直线l的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0,

????(10 分) ????(8 分)

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ?5, 2
????(10 分) 即

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6 24. 解 : ( Ⅰ ) 函 数

f ?x ? 的 图 象 恒 在 函 数 g ?x ? 图 象 的 上 方 ,

?x ? R,2 f ?x ? ? 2 x ? 3 ? g ?x ? 4? ? m ? 2 x ? 4 ? 11 ? m ? 2 x ? 7 ,
·18·

从而有 m ? 2( x ? 7 ? x ? 3 )由绝对值不等式的性质知 此,实数 m 的取值范围为 (??,20] (Ⅱ)由柯西不等式: …5 分

2( x ? 7 ? x ? 3 ) ? 2 x ? 7 ? ( x ? 3) =20 因

? ? ?

?

?? 1 ? 2 2 1 1 ? 1 1 1 2 x ? ( 3 y ) 2 ? ( 6 z ) 2 ? ?? ? ( )2 ? ( )2 ? ? ( ? 2x ? ? 3y ? ? 6 z) 2 ? ? ? 2? ? 3 6 ? 2 3 6 ? ? ?

?

因为 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 z 2 ? a (a ? 0), 所以 a ? ( x ? y ? z )2 , 当 2 x ? 3 y ? 6 z 时, x ? y ? z 取最大值,所以 a ? 1 .

因为 x ? y ? z 的最大值是 1,所以 a ? 1 ,

文科参考答案 一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 B 6 A 7 A 8 A 9 A 10 C 11 C 12 A

二、填空题

13. 45°

1 14. ? 16

15. 10

n2 (n ? 1)2 16. 1 ? 2 ? ? ? n ? 4
3 3 3

三、解答题

17. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 由

3 1 1 π 1 sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin(2? x ? ) ? . …………4 分 2 2 2 6 2

2π π ? ,得 ? ? 2 . …………………………………………………5 分 2? 2 ? 1 函数 f ( x ) ? sin( 4 x ? ) ? . …………………………………6 分 6 2
·19·

(Ⅱ)因为 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? bc 2bc ? bc 1 ? ≥ ? .……………10 分 2bc 2bc 2bc 2

而 A 为三角形内角,所以 0 ? A≤

?
3

.………………………………12 分

18.解:(I)证明:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵ABC―A1B1C1 是正三棱柱,且 AA1 = AB,∴四边形 A1ABB1 是正方形,∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点,∴DE∥A1C. ∵DE ∴A1C∥平面 AB1D. 平面 AB1D,A1C ???6 分 平面 AB1D,∴平 平面 AB1D,

(II)∵平面 B1BCC1⊥平面 ABC,且 AD⊥BC,∴AD⊥平面 B1BCC1,又 AD 面 B1BCC1⊥平面 AB1D.

在平面 B1BCC1 内作 CH⊥B1D 交 B1D 的延长线于点 H,

则 CH 的长度就是点 C 到平面 AB1D 的距离.

由△CDH∽△B1DB,得

即点 C 到平面 AB1D 的距离是

??12 分

.

20.【解析】 (1)由题设知动圆圆心到定点 F ? 2, 0 ? 和定直线 x ? ?2 距离相等,所以动圆圆心 C 的轨 迹方程为 y ? 8 x .(5 分)
2

·20·

(2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则经过 A、B 的切线方程分别为: x1 x ? 4 y ? ②. 由?

x12 x2 ①, x2 x ? 4 y ? 2 2 2

? x2 ? 8 y ? y ? kx ? 2

2 得: x ? 8kx ? 16 ? 0 ,

由韦达定理得 x1 ? x2 ? 8k , ②-①得 ( x 2 ? x1 ) x ?

x1x2 =-16.

2 x2 ? x12 x ? x2 ,? x ? 1 ? 4k . 2 2 2 x2 ? x12 ( x ? x ) 2 ? 2 x1 x2 64k 2 ? 32 ,? 8kx ? 8 y ? 1 2 ? 8y ? , 2 2 2

②+①得 ( x 2 ? x1 ) x ? 8 y ?

将 x ? 4k 代入,可得 y ? ?2, ?存在直线 l : y ? ?2 .(12 分)

21.解:(1)由 a ? 1 可得: f ( x) ? ? x ? x ? b , f ( x) ? ?3x ? 2 x ,
3 2

/

2

2 . 3 2 3 2 所以 f ( x) ? ? x ? x ? b 的单调递增区间为 [0, ]. 3
令 f ( x) ? 0, 即 ? 3x ? 2 x ? 0, 解得 0 ? x ?
/

2

(3 分)

(2) 由 f ( x) ? ?3x ? 2ax , 令 f / ( x) =0, 得 x =0, 或x=
/ 2

2 / ∵ a >0, ∴当 x 变化时, f ( x) 、 a. 3

f ( x) 的变化情况如下表:
x
(-∞,0) 0 0 极小值 (0,

2 a) 3

2 a 3
0 极大值

(

2 a ,+∞) 3
-

f / (x)
f ( x)

+

4 3 8 3 4 2 a + ∴y 极小值= f (0) ? b. y 极大值= f ( a ) = a ? b = a3 +b 3 27 9 27
( 3 )当 x ∈时, tan θ = f ( x) ? ?3x ? 2ax .由 θ ∈,得 0 ≤
/ 2

(7 分)

f / (x) ≤ 1 ,即 x ∈时, 0 ≤

?3x 2 ? 2ax ≤1 恒成立.当 x =0 时, a ∈R.
·21·

2 当 x ∈(0,1]时,由 ?3 x ? 2ax ≥0 恒成立,由(2)知 a ≥

3 . 2

2 由 ?3 x ? 2ax ≤1 恒成立, a ≤

3 1 1 (3 x + ),∴ a ≤ 3 (等号在 x = 时取得). 3 2 x
(12 分)

综上,

3 ≤a≤ 3 . 2

︵ ︵ 22.解:(1) ∵AD∥BC,∴AB=CD. ∴AB=CD,∠EDC=∠BCD. 又 PC 与⊙O 相切,∴∠ECD=∠DBC. DC DE ∴△CDE∽△BCD.∴ = . BC DC ∴CD2=DE· BC,即 AB2=DE· BC. AB2 62 (2) 由(1)知,DE= = =4, BC 9 ∵AD∥BC,∴△PDE∽△PBC, ∴ PD DE 4 = = . PB BC 9 (5 分)

又∵PB-PD=9, 36 81 ∴PD= ,PB= . 5 5 36 81 542 54 ∴PC2=PD· PB= · = 2 .∴PC= . 5 5 5 5 (10 分)

23.解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

????(2 分) ????(3 分)

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .????(5 分) 2 2 2 2

(II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

(

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2
·22·

????(8 分) ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 方法 2:?直线l的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0, ????(10 分) ????(8 分)

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ?5, 2
????(10 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6

24. 解 : ( Ⅰ ) 函 数

f ?x ? 的 图 象 恒 在 函 数 g ?x ? 图 象 的 上 方 ,



?x ? R,2 f ?x ? ? 2 x ? 3 ? g ?x ? 4? ? m ? 2 x ? 4 ? 11 ? m ? 2 x ? 7 ,

从而有 m ? 2( x ? 7 ?

x ? 3 )由绝对值不等式的性质知 2( x ? 7 ? x ? 3 ) ? 2 x ? 7 ? ( x ? 3) =20 因

此,实数 m 的取值范围为 (??,20] ( Ⅱ )
2 2

…5 分 : 由 柯 西 不 等 式 :



? ? ?

?

?? 1 ? 2 1 2 1 2? 1 1 1 ? 2 x ? ( 3 y ) ? ( 6 z ) ?? ? ( ) ? ( ) ??( ? 2x ? ? 3y ? ? 6 z) 2 ? ? ?? 2 3 6 2 3 6 ? ? ? ? ?

?

2

因为 2 x ? 3 y ? 6 z ? a ( a ? 0),所以 a ? ( x ? y ? z ) ,
2 2 2
2

因为 x ? y ? z 的最大值是 1, 所以

a ? 1 ,当 2 x ? 3 y ? 6 z 时, x ? y ? z 取最大值,所以 a ? 1 .

·23·

备选题 1. 已知直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦 点,且椭圆 C 上的点到点 F 的最小距离为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 .当点 P(m, n) 在椭圆 ..C 上运动时,直线 l 与圆 O 是否 恒相交于两个不同的点 A、B?,若相交,试求弦长 AB 的取值范围,否则说明理由.

编后语

有个学生请教数学家逻辑学有什么用. 数学家问他: “两个人从烟囱里爬出去,一个满脸烟灰,一个干干净净,你认为哪一个该去洗澡?” “当然是脏的那个.”学生说. “不对.脏的那个看见对方干净以为自己也是干净的.”

·24·

********** 数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以 运用到最完善的程度,亦正是这种精神,试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回 答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深 刻的和最完美的内涵。 ——克莱因《西方文化中的数学》

附备选题答案解:(1)由 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) , 得 ( x ? 2 y ? 3) ? k (4 x ? 3 y ? 12) ? 0 ,则由 ?

? x ? 2y ?3 ? 0 , 解得 F(3,0), ?4 x ? 3 y ?12 ? 0

? c?3 ?a ? 5 x2 y 2 ? ? 设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? a ? c ? 2 ,解得 ?b ? 4 , a b ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?c ? 3 ? ?
所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1; 25 16 m2 n2 ? ? m 2 ? n 2 ,从而圆心 O 到直线 25 16

(2)因为点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动,所以 1 ?

l : mx ? ny ? 1 的距离 d ?

1 m2 ? n 2

?1? r .

所以直线 l 与圆 O 恒相交于两个不同的点 A、B. 这时弦长 AB 为

AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 1 ?

1 1 ? 2 1? , 2 9 2 m ?n m ? 16 25
2

2 由于 0 ? m ? 25 ,所以 16 ?

9 2 15 4 6 m ? 16 ? 25 ,则 AB ? [ , ], 25 2 5
·25·

即直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是 [

15 4 6 , ]. 2 5

-END-

·26·


相关文章:
陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例数学试题 (Word版含答案)
陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例数学试题 (Word版含答案)2015 年高考 五月信息专递 数 学 咸阳市学科研究中心数学专家组 考前寄语 ? 高考趋向...
高考试卷陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例数学试题
高考试卷陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例数学试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。免费在线作业标准 100 分答案 2015 年高考 五月信息专递 数 学...
陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例数学试题 Word版含答案
陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例数学试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。2015 年高考 五月信息专递 数 学 咸阳市学科研究中心数学专家组 考...
陕西省咸阳市2015届高三下学期命题预测及题型示例数学试题及答案
陕西省咸阳市2015届高三下学期命题预测及题型示例数学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。2015 年数学高考 考前寄语 ? 高考趋向: 真题:回归教材是常态 题源:根植...
2015咸阳信息卷优质高清版 陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例理科综合试题(扫描版)
2015咸阳信息卷优质高清版 陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例理科综合试题(扫描版)_高考_高中教育_教育专区。 +申请认证 文档贡献者 周志勇 二级...
高考试卷陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例英语试题
高考试卷陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例英语试题_英语_高中教育_教育专区。前 言 《五月信息专递》是我市高考复课工作继三套模拟试题之后的又...
陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例理科综合试题(扫描版)
陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例理科综合试题(扫描版)_高中教育_教育专区。 +申请认证 文档贡献者 张金凤 教师 31379 624646 3.1 文档数 浏...
2015年陕西咸阳市高考数学命题信息预测及题型
2015年陕西咸阳市高考数学命题信息预测及题型_高三数学_数学_高中教育_教育专区。陕西2015高考数学预测卷,关注陕西高考数学动向2015 年高考 五月信息专递 数 学 咸阳...
陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例语文试题
陕西省咸阳市2015届高三下学期命题信息预测及题型示例语文试题_语文_高中教育_教育专区。2015 年陕西咸阳市高考命题信息预测及题型示例 一、现代文阅读 (一)信息预测...
更多相关标签:
陕西省咸阳市天气预报 | 陕西省咸阳市秦都区 | 陕西省咸阳市 | 陕西省咸阳市养老保险 | 陕西省咸阳市泾阳县 | 陕西省咸阳市武功县 | 陕西省咸阳市乾县 | 陕西省咸阳市渭城区 |