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青浦区2016年高三数学文理科一模试卷(含答案)


青浦区 2015 学年第一学期高三期终学习质量调研测试 数学试题 2016.01.05
(满分 150 分,答题时间 120 分钟) 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.方程组 ?

?3x ? 5 y ? 6 ? 0 的增广矩阵是_____________. ?4 x ? 3 y ? 7 ? 0

2.已知 3i ? 2 是关于 x 的方程 2 x 2 ? px ? q ? 0 的一个根,则实数 p ? q ? _____________.

?1 x ?1 , x ? 0 ? ?2 3.函数 f ( x) ? ? 若 f (a ) ? a ,则实数 a 的取值范围是 , ?1 ,x?0 ? ?x
0 ? ? ? ? 图像的一条对称轴是直线 x ? 4. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ?) ,
5.函数 f ( x) ? lg(2 ? 3 ) 的定义域为
x x
2

.

?
8

, 则? ?

.

.

6. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 , 若 f (a ) ? f (b) , 且0 ? a ? b, 则 ab 的取值范围是



B ? {( x, y ) y ? 3 ? 4 x ? x } , 7.已知 A ? {( x, y ) y ? x ? b} ,
2

开始

满足 A ? B ? ? ,则实数 b 的取值范围是 8.执行如图所示的程序框图,输出结果为

. . n=1,S=0

9.平面直角坐标系中,方程 x ? y ? 1 的曲线围成的封闭图形 绕 y 轴旋转一周所形成的几何体的体积为 . n≤2015 是 否 输出 S 结束

10.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次,记第一颗骰子出现的点 数是 m ,记第二颗骰子出现的点数是 n ,向量

? ? ? ? a ? ? m ? 2, 2 ? n ? ,向量 b ? ?1,1? ,则向量 a ? b 的概率 ..
.

1 S?S? n(n ? 2)



n←n+2

11 . 已 知 平 面 向 量 OA 、 OB 、 OC 满 足 OA ? OB ? 0 , 且

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ?

第8题

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OC ? 1 , OB ? 3 , 则 CA ? CB 的 最 大 值
是 . 12.如图,将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中,
高三数学试卷 20160105 1/9

使其满足条件:①每个自然数“放置”在一个“整点” (横纵坐标均为整数的点)上;② 0 在 原点,1 在 ? 0,1? 点, 2 在 ?1,1? 点, 3 在 ?1,0 ? 点, 4 在 ?1, ?1? 点, 5 在 ? 0, ?1? 点,? ,即
* 所有自然数按顺时针“缠绕”在以“ 0 ”为中心的“桩”上,则放置数字 ? 2n ? 1? , n ? N 2

的整点坐标是



B、 C 所对的边 a 、 b、 13. 设 ?ABC 的内角 A 、 则 c 成等比数列,
14. 若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时 f ( x) ?

b a ? 的取值范围_______. a b

1 ( x ? a 2 ? x ? 2a 2 ? 3a 2 ) , 2

若对任意的 x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围是________________. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. a ?

1 是“直线 (a ? 1) x ? 3ay ? 1 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? ( a ? 1) y ? 3 ? 0 相互垂直”的 4
).

?????????????????????????????????( (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 16.复数 z ?

a ?i a?R i ( , 是虚数单位) 在复平面上对应的点不可能位于??? ( 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

) .

(A)第一象限

17.已知 ?an ? 是等比数列,给出以下四个命题:① ?2a3n?1? 是等比数列;② ?an ? an?1? 是 等比数列;③ ?an an?1? 是 等比数列;④ lg an

?

? 是等比数 列,下列命题中正确的 个数
) . (D) 4 个

是 ????????????????????????????????? ( (A) 1 个
2

(B) 2 个

(C) 3 个

18.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 a 2 b2
) .

A 是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线一、三象限的一条渐近线,则 l 的倾
斜角所在的区间可能是????????????????????????? ( (A) ? 0,

? ?? ? ? 6?

(B) ?

?? ? ? , ? ?6 4?

(C) ?

?? ? ? , ? ?4 3?

(D)

?? ? ? ? , ? ?3 2?

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.

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19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分. 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 平面PAD , AB ∥ CD 且 2 AB ? CD , PD ? PA, 点 H 为线段 AD 的中点,若 PH ? 1, AD ? 2 , PB 与平面 ABCD 所成角的大小为 45? . (1)证明: PH ? 平面 ABCD ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P

D H A
第 19 题图

C

B

20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,且抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点,以 F 为圆心,以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l:x ? 2 2 y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知直线 y ? x ? m 与椭圆 M 交于 A、B 两点,且椭圆 M 上存在点 P 满足

??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? OB ,求 m 的值.

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21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 10 分. 如图, 有一块平行四边形绿地 ABCD , 经测量 BC ? 2 百米 , CD ? 1 百米 , ?BCD ? 120? , 拟过线段 BC 上一点 E 设计一条直路 EF (点 F 在四边形 ABCD 的边上,不计路的宽度) ,

百米 , 将绿地分为面积之比为 1 ︰ 3 的左右两部分,分别种植不同的花卉,设 EC ? x

EF ? y百米 .
(1)当点 F 与点 D 重合时,试确定点 E 的位置; (2)试求 x 的值,使路 EF 的长度 y 最短.
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

C

E

B

D
第 21 题图

A

22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分. 设 数 列 ?an ? 的 所 有 项 都 是 不 等 于 1 的 正 数 , ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 点
* k ? 0 ,且 k ? 1 )数列,又 bn ? log 1 an . P n (an , Sn ), n ? N 在直线 y ? kx ? b 上(其中常数

2

(1)求证数列 ?an ? 是等比数列; (2)如果 bn ? 3 ? n ,求实数 k、 b 的值; (3)若果存在 t , s ? N * , s ? t 使得点 ?t, bs ? 和 ? s, bt ? 都在直线在 y ? 2 x ? 1 上,是否存 在自然数 M ,当 n ? M ( n ? N * )时, an ? 1 恒成立?若存在,求出 M 的最小值;若不 存在,请说明理由.

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23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 已知函数 f ( x), g ( x) 满足关系 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数. (1)设 f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

,求 g ( x) 的解析式;

(2)设计一个函数 f ( x) 及一个 ? 的值,使得 g ( x) ? 2cos x(cos x ? 3sin x) ; (3)当 f ( x) ? sin x ? cos x , ? ?

?
2

时,存在 x1 , x2 ? R ,对任意 x ? R ,

g ( x1 ) ? g ( x) ? g ( x2 ) 恒成立,求 x1 ? x2 的最小值.

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青浦区 2015 学年第一学期高三期终学习质量调研测试
参考答案及评分标准 2016.01 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. ?

? 3 5 ?6 ? ?; 4 3 7 ? ?

2. 34 ; 3. (??, ?1) ;

4.

? ; 5. (??, 0) 4
10.

6. (0, 2) ;

7. 1 ? 2 2 ? b ? 3 ; 8.

2 1008 ?; ; 9. 2017 3
14. ?

1 ; 6

11. 3 ; 12.

? ?n, n ?1? ;

13. [2, 5) ;

6 6 . ?a? 6 6

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.

A

;16. A

; 17. B

;18.

D

.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分. 19. 解: (1)证明:? AB ? 平面PAD , PH ? 平面PAD , AB ? PH 又 ?PAD 中, PD ? PA,点 H 为线段 AD 的中点, PH ? AD

? PH ? AD ? ? ? PH ? AB ? PH ? 平面ABCD ? AD ? AB ? A ?
(2)? PH ? 1, AD ? 2 ? AH ? DH ?

2 6 ,又 PH ? AD ,? PA ? PD ? , 2 2

连结 BH ,可得 ?PBH 是 PB 与平面 ABCD 所成角,又 PB 与平面 ABCD 所成角的大 小为 45? ,?BH ? 1, 在 Rt ?ABH 中, AB ?

2 , 2

1 1 1 1 ?VP? ABCD ? S梯形ABCD PH ? ? ( AB ? CD) ? AD ? PH ? .分 3 3 2 2
20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 解: (1)因为抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点,即 F (1, 0)
2

又椭圆 M 的对称轴为坐标轴,所以设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1, a ? b ? 0 ,且 a 2 ? b2 ? 1 a 2 b2

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又以 F 为圆心,以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l:x ? 2 2 y ? 2 ? 0 相切 即b ?

1? 0 ? 2 1 ? (2 2) 2

? 1,所以椭圆 M 的方程是

x2 ? y2 ? 1 2

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ?

?y ? x ? m ?x ? 2 y ? 2
2 2

? 3x 2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0

? ? (4m)2 ?12(2m2 ? 2) ? ?8m2 ? 24 ? 0 ? ? 3 ? m ? 3

??? ? ??? ? ??? ? 4 2 ?OP ? OA ? OB,? P( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 又 x1 ? x2 ? ? m, y1 ? y2 ? m , 即 3 3
4 2 x2 4 2 3 P ( ? m, m) 在椭圆 ? y 2 ? 1上,即 (? m)2 ? 2( m)2 ? 2 ? m ? ? 3 3 2 3 3 2
21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 10 分. 解: (1)? S? ABCD ? 2 ? ? 1? 2sin120? ? 3 当点 F 与点 D 重合时,由已知 S? CDE ?

1 2

1 3 , S? ABCD ? 4 4

又? S? CDE ?

1 3 3 CE ? CD ? sin120? ? x? ? x ? 1 , E 是 BC 的中点 2 4 4
1 , x

(2)①当点 F 在 CD 上,即 1 ? x ? 2 时,利用面积关系可得 CF ? 再由余弦定理可得 y ?

x2 ?

1 ? 1 ? 3 ;当且仅当 x ? 1 时取等号 x2

②当点 F 在 DA 上时,即 0 ? x ? 1 时,利用面积关系可得 DF ? 1 ? x , (ⅰ)当 CE ? DF 时,过 E 作 EG ∥ CD 交 DA 于 G ,在 ?EGF 中,

EG ? 1, GF ? 1 ? 2x, ?EGF ? 60? ,利用余弦定理得 y ? 4 x 2 ? 2 x ? 1
(ⅱ)同理当 CE ? DF ,过 E 作 EG ∥ CD 交 DA 于 G ,在 ?EGF 中,

EG ? 1, GF ? 2x ?1, ?EGF ? 120? ,利用余弦定理得 y ? 4 x 2 ? 2 x ? 1
由(ⅰ) 、 (ⅱ)可得 y ?

4 x2 ? 2 x ? 1 , 0 ? x ? 1

1 3 1 3 ,当且仅当 x ? 时取 ? y ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? 4( x ? )2 ? ,? 0 ? x ? 1 ,? ymin ? 2 2 2 4
等号 ,由①②可知当 x ?
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

1 3 时,路 EF 的长度最短为 . 2 2

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22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分.
* 解: (1) 因为 P 所以 P n (an , Sn ) 、 n?1 (an?1 , Sn?1 ), n ? N 都在直线 y ? kx ? b 上,

Sn?1 ? Sn ?k, an?1 ? an

即 (k ? 1)an?1 ? kan ,又 k ? 0 ,且 k ? 1 ,所以 等比数列 (2)由 bn ? log 1 an 得 an ? ( )
2

an?1 k 为非零常数,所以数列 ?an ? 是 ? an k ?1

1 2

bn

? 2 n ?3 ,即

k ? 2得k ? 2. k ?1

* n ?1得 由P n (an , Sn ), n ? N 在直线 y ? kx ? b 上得 Sn ? kan ? b 上,令

1 4 (3)由 bn ? log 1 an 知 an ? 1 恒成立等价于 bn ? 0 恒成立. b ? S1 ? 2a1 ? ?a1 ? ?
2

因为存在 t , s ? N * , s ? t 使得点 ?t, bs ? 和 ? s, bt ? 都在直线在 y ? 2 x ? 1 上,所以 bs ? 2t ? 1 ,

bt ? 2s ? 1 即 bt ? bs ? 2(s ? t ) ,另 s ? t ? 1, t ? 2 ,易证 bt ? bt ?1 ? 2(t ?1 ? t ) ? ?2 ,又
bs ? b1 ? (s ?1)(?2) ? 2t ? 1 ? b1 ? 2(t ? s) ? 1 ? 0 ,
即 ?bn ? 是首项为正,公差为 ?2 的等差数列. 所以一定存在自然数 M ,使 ?

?bM ? 0 ?2(t ? s) ? 1 ? ( M ? 1)(?2) ? 0 即? ,解得 ?bM ?1 ? 0 ?2(t ? s) ? 1 ? M (?2) ? 0

t?s?

1 1 ? M ? t ? s ? ,? M ? N * ,? M ? t ? s .存在自然数 M ,其最小值为 t ? s 使 2 2

得当 n ? M ( n ? N * )时, an ? 1 恒成立时, an ? 1 恒成立. 23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 解: (1)? f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

? f ( x ? ? ) ? cos x ? sin x ;

? g ( x) ? cos2 x
(2)? g ( x) ? 2 cos x(cos x ? 3 sin x) ? 4 cos x cos( x ? 若 f ( x) ? 2cos x ,则 f ( x ? ? ) ? f ( x ?

?
3

),

?

??? ? ?

?
3

(取? ? 2k? ?

?
3

) ? 2 cos( x ? ) 3 3

?

,k ? Z中一个都可以) , f ( x) ? 2cos x

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(3) ? f ( x) ? sin x ? cos x , ? g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ? ( sin x ? cos x) ( cos x ? sin x)

? ?? ? ?cos 2 x x ? ? 2k? , 2k? ? 2 ? , ? ? ? ? ? ? ? ?? sin 2 x ? 1 x ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? , 2 ? ? ? ?? k ?Z ?? cos 2 x x ? ? 2k? ? ? , 2k? ? 3? ? , ? ? 2 ? ? ? ? 3? ? ? ?1 ? 2sin 2 x x ? ? 2 k? ? , 2k? ? 2? ? . ? 2 ? ? ?
显然, g ( x ? 2? ) ? g ( x) 即 y ? g ( x) 的最小正周期是 2? , 因为存在 x1 , x2 ? R ,对任意 x ? R , g ( x1 ) ? g ( x) ? g ( x2 ) 恒成立, 所以当 x1 ? 2k? ? ? 或 x1 ? 2k? ? 当 x2 ? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时, g ( x) ? g ( x1 ) ? ?1

7? , k ? Z 时, g ( x) ? g ( x2 ) ? 2 4

所以 x1 ? x2 ? 2k1? ? ? ? (2k2? ?

7? ) , k1、k2 ? Z 4

或 x1 ? x2 ? 2k1? ? 所以 x1 ? x2 的最小值是

?
2

? (2k2? ?

7? ) , k1、k2 ? Z 4

3? . 4

说明:写出分段函数后画出一个或多个周期上的函数图像,用数形结合的方法解同样给分

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