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高中数学必修2易错题精选(含部分答案)


必修 2 易错填空题集锦
2011-10-26 1. 下列四个命题: ① 两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行; ② 和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线; ③ 平行移动两条异面直线中的任一条,它们所成的角不变; ④ 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形。 其中错误的说法有 ①、② 、④。 2. 有下列四个命题: ① 平行于同一条直线的两个平面

平行; ② 平行于同一个平面的两个平面平行; ③ 垂直于同一条直线的两个平面平行; ④ 与同一条直线成等角的两个平面平行。 其中正确的命题是 ②、③ 。 (写出所有正确命题的序号) 3. 以下四个命题: ① PA、PB 是平面 α 的两条相等的斜线段,则它们在平面 α 内的射影必相等; ② 平面 α 内的两条直线 l1、l2,若 l1、l2 均与平面 β 平行,则 α //β ; ③ 若平面 α 内有无数个点到平面 β 的距离相等,则 α //β ; ④ α 、β 为两斜相交平面,面 ? 内有一定直线 a ,则在平面 β 内有无数条直线与 a 垂直. 其中正确命题的序号是 ④ 4. 两条异面直线在同一平面内的射影可能是: ①两条平行线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点;⑤一条直线和一个点。 上述五个结论正确的是 ①②⑤ 。 (写出所有正确结论的序号) 5. 直线 l , m 与平面 ? , ? 满足 l ? ? , m ? ? ,有下列命题: ① ? / / ? ? l ? m ;② ? ? ? ? l / / m; ; ③ l / / m ? ? ? ? . 其中正确的命题是 ① ③ 。 (写出所有正确命题的序号) 6. 已知 m、n 是不重合的直线, ? 、 ? 是不重合的平面,有下列命题: (1)若 ? ? ? ? n, m // n ,则 m // ? , m // ? ; (3)若 m // ? , m ? n ,则 n ? ? ; (2)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; (4)若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n.

其中所有正确命题的序号是 (2) (4) 7. 已知直线 a、b、c,平面α 、β 、γ ,并给出以下命题: ①若α ∥β ,β ∥γ ,则α ∥γ , ②若 a∥b∥c,且α ⊥a,β ⊥b,γ ⊥c,则α ∥β ∥γ , ③若 a∥b∥c,且 a∥α ,b∥β ,c∥γ ,则α ∥β ∥γ ; ④若 a⊥α ,b⊥β ,c⊥γ ,且α ∥β ∥γ ,则 a∥b∥c. 其中正确的命题有 . ①②④

8. 已知 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,给出下列四个命题: ①若 ? ? ? , l ? ? ,则 l // ? ; ③若 l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l // ? ; 其中正确命题的序号是 ②④
1

②若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? ; ④若 ? ? ? , ? // ? ,则 ? ? ? 。

9. 如图, M 是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 DD 1 的中点, 给出下列命题中,其中真命题是①②④ ① 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、

A

D

B1C1 都相交;

B
A1 B1

C

?M
D1

BC ② 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 1 1 都垂直;
③ 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 ④ 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、

B1C1 都相交; B1C1 都平行.

C1

10. 若∠ABC 和∠A′B′C′的两边分别对应平行,且∠ABC=45°,则∠A′B′C′= 。45°或 135° 11. 若 m, l 是两条异面直线,则过 m 且与 l 平行的平面有 1 12. 13. 14. 15. 16. 个。

若点 P 是两条异面直线 a,b 外一点,则过 P 且与 a,b 都平行的平面个数是 0,1 个 若直线 l 与平面 ? 不垂直,那么在平面 ? 内与直线 l 垂直的直线有 无数 条。 四面体中,是直角三角形的面最多 4 个 与空间四边形四个顶点距离相等的平面共有 7 个。 已知点 A、B 到平面 ? 的距离分别为 4cm 和 6cm,则线段 AB 的中点 M 到平面 ? 的距离是 5cm 或 1cm



17. 平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? 与 ? 的位置关系是 平行、相交

18. 正三角形 ABC 的边长为 a, 沿高 AD 把△ABC 折起, 使得∠BDC=90°, 则 B 到 AC 的距离为



7a 4

19. 自二面角的一个面上一点分别引另一个平面和公共棱的垂线度。它们的长分别为 5 3 和 10,则二面 角的大小为

60?

20. 已知正方形 ABCD 所在的平面与正方形 ABEF 所在的平面成 60°的二面角,则异面直线 AD 与 BF 所 成角的余弦值为 .

2 4

?

21. 沿对角线 AC 将正方形 ABCD 折成直二面角后,AB 与 CD 所在的直线所成角的大小是 60° 。 22. 已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面, 若 PC⊥BD, 则平行四边形 ABCD 一定是 菱形

23. 二面角内的一点到两个半平面的距离分别为 2 2 、4,到棱的距离为 4 2 ,则该二面角的大小为 75 。 24. 有一山坡,倾斜角是 300,山坡上有条小路和斜坡底线成角 600。沿这条小路向上走 80m 时,地面相 对升高

2 0 3 m。

25. 已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 600, m, n 为异面直线, 且 m ? ? , n ? ? , 则 m, n 所成角的大小为 600 。 26. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为

90?

27. 以一张长、宽分别为 8cm 和 4cm 的矩形硬纸板为侧面,将它折成正四棱柱,则此正四棱柱的对角线
2

长为

2 6, 66

cm.

28. 四面体 S-ABC 的三组对棱分别相等, 且长度依次为 2 5, 13,5 , 则该四面体外接球的表面积 29? 。 29. 如图,已知棱锥 P-ABC 的侧面是全等的等腰直角三角形,∠APB=∠BPC=∠CPA= 90 , PA=PB=PC=a, M 是 AB 的中点。 一只小虫从点 M 沿侧面爬到 C 点, 则小虫爬行的最短路程
C1 A1 B1
?

10 a 2



P

A
M

C
C

30.

B 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AC=BC=a,∠A1AC=∠C1CB=60°,二面角 A-CC1-B 的大

A

B

小为 90°,此斜棱柱的侧面积为

1 ( 6 ? 2 3) a 2 2



31. (2010 高考)过正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的顶点 A 作直线 L,使 L 与棱 AB, AD, AA 1 , 所成的角都 相等,这样的直线 L 可以作 4 条。 32. (2010 高考)有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是 (0, 6 ? 2 )

33. 若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆 锥的底面的直径为

2 3? a 3?

.

34. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是边长为 6 的正方形, EF // AB , EF ? 3 ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为 4,则该多面体的体 积为 60 . 35. 如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 DC 的中点, F 为线段 EC (端点除外)上一 动点. 现将 ?AFD 沿 AF 折起, 使平面 ABD ? 平面 ABC . 在平面 ABD 内过点 D 作 DK ? AB ,K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是

?1 ? ? ,1? ?2 ?



36. 直线 ?2t ? 3?x ? 2 y ? t ? 0 不经过第二象限,则 t 的取值范围是
3

0?t?

3 2



37. 直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变化时,所有直线都通过一个定点,则这个定点的坐标是 38. 当 m= -1 时,直线 l1 : mx ? y ? (m ? 1) ? 0 与 l2 : x ? my ? 2m ? 0 互相平行。 条

(3,1)



39. 过点 ?? 2,4? 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有3

40. 过点 A?5,2? ,且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 41. 直线 xcosα +ysinα +1=0,α ? (0,

2x ? 5 y ? 0



?
2

) 的倾斜角为

? +α 2
.

0 0 42. 已知 ? ? R ,则直线 x | sin ? | ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是 ? ?0 ,30 ? ?

43. 已知 2 x1 ? 3 y1 ? 4,2 x2 ? 3 y2 ? 4 ,则过点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 的直线 l 的方程是 2 x ? 3 y ? 4 . 44. 已知直线 l 过点 P(-1,0) ,且与以 A(2,3) ,B(3,0)为端点的线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率的 取值范围是 [0,1] 。 45. 若平行于直线 2 x ? 5 y ? 1 ? 0 的直线 l 与坐标轴围成的三角形面积为 5,则直线 l 的方程为 。

2 x ? 5 y ? 10 ? 0
46. 直线 x ? 2 y ? b ? 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么 b 的取值范围是 ?? 2,0? ? ?0,2? 47. 过点 P(2,1), 作直线 l 交 x,y 正半轴于 A,B 两点, 当|PA|· |PB|取得最小值时, 则直线 l 的方程为 x+y-3=0
2 48. 若直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点,则实数 b 的取值范围是

? ?1,1? ? ??
3


2

?

49. 从点 P(x,5)作圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 的切线,则切线长度的最小值为
2 2 2 2

2 50. 设圆 ? x ? 3? ? ? y ? 5 ? ? R 上有且只有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离等于 1,则半径 R 的取值

范围是

? 4, 6 ?



51. 若圆 O1 : x2 ? y2 ? 2 mx ? m2 ? 4 与圆 O2 : x2 ? y2 ? 2x ? 0 相交,则 m 的取值范围是—( -2,0 )∪ (2,4) 。
2 2

52. 已 知 半 径 为 1 的 动 圆 与 圆 ? x ? 5 ? ? ? y ? 7 ? ? 16 相 切 , 则 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 为



? x ? 5?

2

? ? y ? 7 ? ? 9, ? x ? 5 ? ? ? y ? 7 ? ? 25.
2 2 2

53. 已知点 M ( x0 , y0 ) ,圆 C : x ? y ? a (a ? 0) ,直线 l : x0 x ? y0 y ? a 2
2 2 2

(1)若点 M 在圆 C 外,则直线 l 与圆 C 的位置关系是 (2)若点 M 在圆 C 上,则直线 l 与圆 C 的位置关系是 (3)若点 M 在圆 C 内,则直线 l 与圆 C 的位置关系是
2

相交 相切 相离

; ; 。 。

2 54. 与圆 x ? ? y ? 2 ? ? 1 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

4

55. 已知点 A(1, 0) ,直线 l1 : 2 x ? y ? 4 ? 0, , l2 : 3x ? 4 y ? 1 ? 0, l : 2 x ? y ? 2 ? 0 。 ①点 A 关于直线 l 的对称点的坐标是 ②直线 l 关于点 A 对称的直线的方程是 ③直线 l1 关于直线 l 对称的直线的方程是 ④直线 l2 关于直线 l 对称的直线的方程是
2 2

; ; ; 。

56. 如果直线 l 将圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 5 平分,且不通过第四象限,那么直线 l 的斜率的取值范围是 [0,2]; 57. 已 知 A(? 1, 0 ) B , 点 P 是 圆 C : ? x? 1 ( 0 ,, 2) ? ? y2 ? 1上 任 意 一 点 , 则 △ PAB 面 积 的 最 小 值
2





4? 5 2
.

58. 已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 25 上,则 a 2 ? b 2 的最小值为 5

59. 已知以点 C (a, )( a ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O、 A, 与 y 轴交于 O、 B,O 为原点设直线 y ? ? x ? 1 与圆交于 M、N 两点,若 OM=ON,则圆 C 的方程为

1 a

? x ? 1?

2

? ? y ? 1? ? 2
2



60. 已知圆 C 与圆 M : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 16 有共同的圆心,并且经过点 P(?1,1) 。圆 C 上任意一点 A 到 点 Q(3, 2) 距离的最大值为

5?2

,最小值为

5 ?2



61. 直线 l 与两直线 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点是 M (1, ?1) ,则直线 l 的斜 率为

?

2 3

62. 过点 P(1,m)作圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 的切线,有且只有两条,则实数 m 的取值范围是

m ? ?1
63. 已知点(x0,y0)在直线 ax ? by ? 0 (a, b为常数 )上, 则 ( xo ? a) ? ( yo ? b) 的最小值 a 2 ? b2 ___ .
2 2

64. 已知点 P(2, 0) 及圆 C: x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,若直线 l 过点 P 且与圆心距离为 1,则直线 l 的方 程是 。 x ? 2,3x ? 4 y ? 6 ? 0

65. 在坐标平面内,与点 A(1,2)的距离为 1,且与点 B (5,5)的距离为 d 的直线共有 4 条,则 d 的取 值范围是 。 ? 0, 4 ?

5


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