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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.4


§ 2.4

二次函数与幂函数

1. 二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图像

定义域 值域

(-∞,+∞)

(-∞,+∞)

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?

2

单调性

b b -∞,- ?上单调递减; 在 x∈?-∞,- ?上单调递增; 在 x∈? 2a? 2a? ? ? b - ,+∞?上单调递增 在 x∈? ? 2a ? b - ,+∞?上单调递减 在 x∈? ? 2a ?

对称性 2. 幂函数

b 函数的图像关于 x=- 对称 2a

(1)定义:如果一个函数,底数是自变量,指数是常量 α,即 y=xα,这样的函数称为幂函 数. (2)幂函数的图像

(3)幂函数的性质比较

y=x

y=x2

y=x3

y=x

1 2

y=x

-1

定义域

R

R

R

[0,+∞)

{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇函数 x∈(0 ,+∞)

值域 奇偶性

R 奇函数

[0,+∞) 偶函数 x∈[0 ,+∞)

R 奇函数

[0,+∞) 非奇非偶函数

单调性



时,增; x∈( -∞, 0] 时,减





时,减; x∈( -∞, 0) 时,减

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4ac-b2 (1)二次函数 y=ax +bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 . 4a
2

( × ( × ( × ( × ( × ( × ( )

) ) ) ) ) )

(2)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数. (3)幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0). (4)当 n>0 时,幂函数 y=xn 是定义域上的增函数. 2 (5)若函数 f(x)=(k2-1)x2+2x-3 在(-∞,2)上单调递增,则 k=± . 2 (6)已知 f(x)=x2-4x+5,x∈[0,3),则 f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(3)=2. 2. (2013· 重庆) ?3-a??a+6?(-6≤a≤3)的最大值为 A.9 答案 B 解析 因为 ?3-a??a+6?= 18-3a-a2 = 3?2 81 -? ?a+2? + 4 , 9 B. 2 C.3 3 2 D. 2

3 9 所以当 a=- 时, ?3-a??a+6?的值最大,最大值为 . 2 2 3. 函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-3)上 A.先减后增 C.单调递减 B.先增后减 D.单调递增 ( )

答案 D 解析 由 f(x)为偶函数可得 m=0,∴f(x)=-x2+3, ∴f(x)在区间(-5,-3)上单调递增. 4. 已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为 ________. 答案 [1,2] 解析 y=x2-2x+3 的对称轴为 x=1. 当 m<1 时,y=f(x)在[0,m]上为减函数. ∴ymax=f(0)=3,ymin=f(m)=m2-2m+3=2. ∴m=1,无解. 当 1≤m≤2 时,ymin=f(1)=12-2×1+3=2,ymax=f(0)=3. 当 m>2 时,ymax=f(m)=m2-2m+3=3, ∴m=0 或 m=2,无解.∴1≤m≤2. 5. 函数 f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为增函数,则实数 m 的值是 ________. 答案 2 解析 f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数

?m2-m-1=1 ?m=-1 或 m=2. 又 x∈(0,+∞)上 f(x)为增函数, ∴m>0,故 m=2.

题型一 二次函数的图像和性质 例1 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 思维启迪 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解, 对于(3), 应先将函数化为 分段函数,再求单调区间,注意函数定义域的限制作用. 解 (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6],

∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1,

又 f(-4)=35,f(6)=15, 故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图像开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函 数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
2 ? ?x +2x+3,x∈?0,6] 且 f(x)=? 2 , ?x -2x+3,x∈[-6,0] ?

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0]. 思维升华 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、

轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时, 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函 数图像的对称轴进行分析讨论求解. (1)二次函数的图像过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式 是__________________. 1 答案 y= (x-2)2-1 2 (2) 若 函数 f(x) = 2x2 + mx - 1 在区 间 [ - 1 , +∞) 上 递 增,则 f( - 1) 的取值 范 围是 ____________. 答案 (-∞,-3]

m 解析 ∵抛物线开口向上,对称轴为 x=- , 4 m ∴- ≤-1,∴m≥4. 4 又 f(-1)=1-m≤-3,∴f(-1)∈(-∞,-3]. 题型二 二次函数的应用 例2 已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求 k 的范围. 思维启迪 利用 f(x)的最小值为 f(-1)=0 可列两个方程求出 a、b;恒成立问题可以通过 求函数最值解决. 解 (1)由题意有 f(-1)=a-b+1=0,

b 且- =-1,∴a=1,b=2. 2a

∴f(x)=x2+2x+1,单调减区间为(-∞,-1], 单调增区间为[-1,+∞). (2)f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立, 转化为 x2+x+1>k 在区间[-3,-1]上恒成立. 设 g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则 g(x)在[-3,-1]上递减. ∴g(x)min=g(-1)=1. ∴k<1,即 k 的取值范围为(-∞,1). 思维升华 有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图像是探求解题思路的有效方

法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点. 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],

所以当 x=1 时,f(x)取得最小值 1; 当 x=-5 时,f(x)取得最大值 37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 的图像的对称轴为直线 x=-a, 因为 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, 所以-a≤-5 或-a≥5,即 a≤-5 或 a≥5. 故 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞). 题型三 幂函数的图像和性质 例3 (1)已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)x 减函数,则 n 的值为 A.-3
1 2

n2 ?3n

(n∈Z)的图像关于 y 轴对称, 且在(0, +∞)上是 ( )

B.1
2
1 2

C .2

D.1 或 2

(2)若(2m+1) >(m +m-1) ,则实数 m 的取值范围是 ( ) B.?

- 5-1? ? A.?-∞, ? 2 ? ? C.(-1,2) 思维启迪

? 5-1 ? ? ? 2 ,+∞? ? 5-1 ? ? ? 2 ,2?

D.?

(1)由幂函数的定义可得 n2+2n-2=1, 再利用 f(x)的单调性、 对称性求 n; (2)
1 2

构造函数 y=x ,利用函数单调性求 m 范围. 答案 解析 (1)B (2)D (1)由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1,

解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n=1 适合题意,故选 B.
1

(2)因为函数 y=x 2 的定义域为[0,+∞), 且在定义域内为增函数, 2m+1≥0, ? ? 2 所以不等式等价于?m +m-1≥0, ? ?2m+1>m2+m-1. 1 解 2m+1≥0,得 m≥- ; 2 - 5-1 5-1 解 m2+m-1≥0,得 m≤ 或 m≥ . 2 2 解 2m+1>m2+m-1,得-1<m<2, 综上 5-1 ≤m<2. 2 (1)幂函数解析式一定要设为 y=xα (α 为常数的形式);(2)可以借助幂函数的

思维升华

图像理解函数的对称性、单调性. 已知幂函数 f(x)=x
( m2 ? m )?1

(m∈N+)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围. 解 (1)m2+m=m(m+1),m∈N+,

而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, ∴m(m+1)为偶数. ∴函数 f(x)=x
( m2 ? m )?1

(m∈N+)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.

(2)∵函数 f(x)经过点(2, 2), ∴ 2=2
( m2 ? m )?1

,即 2 =2

1 2

( m2 ? m )?1

.

∴m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2. 又∵m∈N+,∴m=1.∴f(x)=x . 2-a≥0, ? ? 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0 ? ?2-a>a-1. 3 解得 1≤a< . 2 3 ∴a 的取值范围为[1, ). 2
1 2

分类讨论思想在函数中的应用 典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图像; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式. 思维启迪 (1)因 f(x)的表达式中含|x|,故应分类讨论,将原表达式化为分段函数的形式,然 后作图. (2)因 a∈R,而 a 的取值决定 f(x)的表现形式,或为直线或为抛物线,若为抛物线又分为 开口向上和向下两种情况,故应分类讨论解决. 规范解答 解 (1)当 a=1 时,

f(x)=x2-|x|+1
2 ? ?x +x+1,x<0 =? 2 . ?x -x+1,x≥0 ?

[3 分] [5 分] [6 分]

作图(如右图所示) (2)当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1. 若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=-3. 若 a≠0, 1 ?2 1 则 f(x)=a? ?x-2a? +2a-4a-1, 1 f(x)图像的对称轴是直线 x= . 2a 当 a<0 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=6a-3. 1 1 当 0< <1,即 a> 时,f(x)在区间[1,2]上是增函数, 2a 2 g(a)=f(1)=3a-2. 1 1 1 当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时, 2a 4 2 1? 1 g(a)=f? ?2a?=2a-4a-1. 当 1 1 >2,即 0<a< 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数, 2a 4

[7 分]

g(a)=f(2)=6a-3.

[11 分]

? ? 1 1 1 综上可得,g(a)=?2a-4a-1, 4≤a≤2. ? ?3a-2, a>1 2
6a-3,

1 a< 4

[12 分]

温馨提醒 本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法,在二次函数最值问题的讨论中, 一是要对二次项系数进行讨论,二是要对对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的 原则:一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避 免分类,绝不无原则的分类讨论.

方法与技巧 1. 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律: (1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图像数形结合来解,一般 从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图像、性质求解. 2. 幂函数 y=xα(α∈R)图像的特征 α>0 时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升;α<0 时,图像不过原点,在第一 象限的图像下降,反之也成立. 失误与防范 1. 对于函数 y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足 a≠0,当题目条件中未说 明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况. 2. 幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第 二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内;如 果幂函数图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 若 f(x)=x2-ax+1 有负值,则实数 a 的取值范围是 A.a≤-2 B.-2<a<2 ( )

C.a>2 或 a<-2 答案 C

D.1<a<3

解析 ∵f(x)=x2-ax+1 有负值, ∴Δ=a2-4>0,则 a>2 或 a<-2. 2. 一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的图像大致是 ( )

答案 C 解析 若 a>0,则一次函数 y=ax+b 为增函数,二次函数 y=ax2+bx+c 的开口向上, 故可排除 A; 若 a<0,一次函数 y=ax+b 为减函数,二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下,故可排除 D; b 对于选项 B,看直线可知 a>0,b>0,从而- <0,而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧, 2a 故应排除 B,因此选 C. 3. 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),那么 A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2) 答案 D 1 解析 由 f(1+x)=f(-x)知 f(x)的图像关于 x= 对称,又抛物线开口向上,结合图像(图 2 略)可知 f(0)<f(2)<f(-2). 4. 设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值 范围是 A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞) 答案 D 解析 二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减, 则 a≠0, f′(x)=2a(x-1)<0, x∈[0,1], 所以 a>0,即函数图像的开口向上,对称轴是直线 x=1. B.[2,+∞) D.[0,2] ( ) ( )

所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2.
1

5.已知 f(x)=x 2 ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是 1 1 A.f(a)<f(b)<f( )<f( ) a b 1 1 B.f( )<f( )<f(b)<f(a) a b 1 1 C.f(a)<f(b)<f( )<f( ) b a 1 1 D.f( )<f(a)<f( )<f(b) a b 答案 C
1

(

)

解析 因为函数 f(x)=x 2 在(0,+∞)上是增函数, 1 1 又 0<a<b< < ,故选 C. b a 二、填空题 6. 若函数 y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是________. 1 答案 0≤m≤ 4 解析 m=0 时,函数在给定区间上是增函数; 1 m≠0 时,函数是二次函数,对称轴为 x=- ≤-2, 2m 1 1 由题意知 m>0,∴0<m≤ .综上 0≤m≤ . 4 4 7. 若方程 x2-11x+30+a=0 的两根均大于 5,则实数 a 的取值范围是________. 1 答案 0<a≤ 4 解析 令 f(x)=x2-11x+30+a.
?Δ≥0 ? 1 结合图像有? ,∴0<a≤ . 4 ? f ? 5 ? >0 ?

1 ? ? 8. 当 α∈?-1,2,1,3?时,幂函数 y=xα 的图像不可能经过第________象限.
? ?

答案 二、四 1 解析 当 α=-1、1、3 时,y=xα 的图像经过第一、三象限;当 α= 时,y=xα 的图像 2 经过第一象限. 三、解答题 9. 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3).若方程 f(x)+6a =0 有两个相等的根,求 f(x)的单调区间.



∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3),

设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0, ∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. 由方程 f(x)+6a=0 得 ax2-(2+4a)x+9a=0. ∵方程②有两个相等的根, ∴Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0, 1 解得 a=1 或 a=- . 5 由于 a<0,舍去 a=1. 1 将 a=- 代入①式得 5 1 6 3 1 6 f(x)=- x2- x- =- (x+3)2+ , 5 5 5 5 5 ∴函数 f(x)的单调增区间是(-∞,-3], 单调减区间是[-3,+∞). 10.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值. 解 函数 f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为 x=a. ① ②

(1)当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a, ∴1-a=2,∴a=-1. (2)当 0≤a≤1 时,f(x)max=a2-a+1, ∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0, 1± 5 ∴a= (舍). 2 (3)当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1 ? ??2?x-7,x<0, 1. 设函数 f(x)=? 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是 ? x,x≥0, ? A.(-∞,-3) C.(-3,1) 答案 C 1 - 解析 当 a<0 时,( )a-7<1,即 2 a<23, 2 ∴a>-3,∴-3<a<0. B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

(

)

当 a≥0 时, a<1,∴0≤a<1. 故-3<a<1. 2. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c,且 a>b>c,a+b+c=0,集合 A={m|f(m)<0},则 ( A.任意 m∈A,都有 f(m+3)>0 B.任意 m∈A,都有 f(m+3)<0 C.存在 m0∈A,使得 f(m0+3)=0 D.存在 m0∈A,使得 f(m0+3)<0 答案 A 解析 由 a>b>c,a+b+c=0 可知 a>0,c<0, 且 f(1)=0,f(0)=c<0, 即 1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根,当 x>1 时,f(x)>0. b 由 a>b,得 1> , a 设方程 ax2+bx+c=0 的另一个根为 x1, b 则 x1+1=- >-1,即 x1>-2, a 由 f(m)<0 可得-2<m<1,所以 1<m+3<4, 由抛物线的图像可知,f(m+3)>0,选 A. 3. 已知函数 f(x)=x2-2ax+2a+4 的定义域为 R, 值域为[1, +∞), 则 a 的值域为________. 答案 -1 或 3 解析 由于函数 f(x)的值域为[1,+∞), 所以 f(x)min=1 且 Δ<0. ∴- 5+1<a< 5+1. 又 f(x)=(x-a)2-a2+2a+4, 当 x∈R 时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1, 即 a2-2a-3=0,解得 a=3 或 a=-1. 4. 已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且 f(0)· f(1)>0. b (1)求证:-2< <-1; a (2)若 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,求|x1-x2|的取值范围. (1)证明 当 a=0 时,f(0)=c,f(1)=2b+c,又 b+c=0, 则 f(0)· f(1)=c(2b+c)=-c2<0 与已知矛盾, 因而 a≠0, 则 f(0)· f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0 b b b 即( +1)( +2)<0,从而-2< <-1. a a a )

(2)解

x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,

a+b 2b 则 x1+x2=- ,x1x2=- , 3a 3a a+b 2b 那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(- )2+4× 3a 3a 4 b 2 4b 4 4 b 3 2 1 = · ( )+ + = ( + )+ . 9 a 3a 3 9 a 2 3 b 1 4 ∵-2< <-1,∴ ≤(x1-x2)2< , a 3 9 ∴ 3 2 ≤|x1-x2|< , 3 3 3 2 , ). 3 3

即|x1-x2|的取值范围是[

5. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
? ?f?x?,x>0, (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? 求 F(2)+F(-2)的 ?-f?x?,x<0, ?

值; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解 b (1)由已知 c=1,a-b+c=0,且- =-1, 2a

解得 a=1,b=2.∴f(x)=(x+1)2.
??x+1?2,x>0, ? ∴F(x)=? 2 ? ?-?x+1? ,x<0.

∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. 1 1 (2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立,即 b≤ -x 且 b≥- - x x x 在(0,1]上恒成立. 1 1 又 -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2. x x ∴-2≤b≤0.故 b 的取值范围是[-2,0].


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