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2017状元之路高三数学一轮复习2-7


第二章 函数、导数及其应用

第七节

函数的图象

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

高考模拟 备考套餐

1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法 考 纲 表示函数。 导 学 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不 等式解的问题。

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1. 描点法作图 方法步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即奇 偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图象。

2. 图象变换 (1)平移变换

f?x?+k

f?x+h?

f?x-h?

f?x?-k

(2)对称变换 关于x轴对称 -f?x? 5 __________ ①y=f(x) ――→ y=□ ; 关于y轴对称 f?-x? 6 __________ ②y=f(x) ――→ y=□ ; 关于原点对称 -f?-x? ; 7 __________ ③y=f(x) ――→ y=□ 关于y=x对称 logax?a>0 且 a≠1? 。 8 __________________ ④y=a (a>0 且 a≠1) ――→ y=□
x

(3)翻折变换 保留x轴上方图象 f?|x|? 。 9 ________ ①y=f(x) ――→ y=□ 将x轴下方图象翻折上去 保留y轴右边图象,并作其 |f?x?| 10 ______ ②y=f(x) ――→ y=□ 。 关于y轴对称的图象

(4)伸缩变换

f?ax? 。 11 ______ y=□

af?x? 。 12 ______ y=□

? 1 个注意点——图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x,y 变换”的 原则,写出每一次的变换所得图象对应的解析式,这样才能避免出错。 ? 2 个区别——函数图象的对称问题 (1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是 自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数图象对称。 (2)一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称也不同,前者 也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数图象的对称关系。

? 3 个关键点——正确作出函数图象的三个关键点 (1)正确求出函数的定义域; (2)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数 1 函数、幂函数、形如 y=x+x的函数; (3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技 巧,来帮助我们简化作图过程。

1.函数 y=lg|x-1|的图象大致为(

)

A.

B.

C.

D.

解析:y=lg|x-1|关于直线 x=1 对称,排除 A,D;因函数值可以为负值,故选 B。 答案:B

1 2.函数 y=1- 的图象是( x-1

)

A.

B.

C.

D.

1 1 解析:方法一:y=1- 的图象可以看成由 y=-x的图象向右平移 1 个单位, x-1 再向上平移 1 个单位得到的。 方法二:由于 x≠1,故排除 C、D 项。 又函数在(-∞,1)及(1,+∞)上均为增函数,排除 A,所以选 B。 答案:B

3.当 0<a<1 时,在同一坐标系中,函数 y=a x 与 y=logax 的图象是(


)

A.

B.

C.

D.

解析: 当 0<a<1 时, y=a-x 为增函数且过点(0,1), y=logax 为减函数且过点(1,0), 故应选 C。 答案:C

4.要得到函数 y=8· 2

-x

?1?x 的图象,只需将函数 y=?2? 的图象( ? ?

)

A.向右平移 3 个单位 C.向右平移 8 个单位

B.向左平移 3 个单位 D.向左平移 8 个单位

解析:y=8· 2 =2 答案:A

-x

-x+3

?1?x ,y=?2? =2-x,故选 A。 ? ?

5.设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值为( A.3 C.1 B.2 D.-1

)

解析:∵函数 f(x)图象关于直线 x=1 对称, ∴f(1+x)=f(1-x), ∴f(2)=f(0),f(3)=f(-1)。 即 3+|2-a|=1+|a|,4+|3-a|=|-1-a|, 用代入法知选 A。 答案:A

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一 【例 1】 作出下列函数的图象:
?1? (1)y=?2?|x|; ? ?

作函数的图象

?1? ?1? 解析:(1)作出 y=?2?x(x≥0)的图象,再将 y=?2?x(x≥0)的图象以 y 轴为对称轴翻 ? ? ? ? ?1? 折到 y 轴的左侧,即得 y=?2?|x|的图象,如图实线部分。 ? ?

(2)y=|log2(x+1)|;

解析:(2)将函数 y=log2x 的图象向左平移 1 个单位,再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去,即可得到函数 y=|log2(x+1)|的图象,如图。

2x-1 (3)y= ; x-1
2x-1 1 1 解析: (3)∵y= =2+ , 故函数图象可由 y=x的图象向右平移 1 个单位, x-1 x-1 再向上平移 2 个单位而得,如图。

(4)y=x2-2|x|-1。

?x2-2x-1,x≥0, 解析:(4)∵y=? 2 且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞) ?x +2x-1,x<0

上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,即得函数图象如图。

?名师点拨 函数图象的画法 (1)直接法: 当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、 椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出。 (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换 得到,可利用图象变换作出。

通关特训 1 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lgx|;
?lgx,x≥1, 解析:(1)∵y=|lgx|=? ?-lgx,0<x<1。

∴函数 y=|lgx|的图象如图(1)。

(2)y=2x 2;


解析:(2)将函数 y=2x 的图象向左平移 2 个单位即可得到函数 y=2x+2 的图象, 如图(2)。

x+2 (3)y= ; x+3
x+2 1 1 解析:(3)∵y= =1- ,则原函数图象可由 y=-x图象向左平移 3 个单 x+3 x+3 位,再向上平移 1 个单位得到,如图(3)。

(4)y=|log2x-1|。
解析:(4)先作出 y=log2x 的图象,再将其图象向下平移 1 个单位,保留 x 轴上 方的部分,将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2x-1|的图象,如图(4)。

考点二

识图与辨图 )

【例 2】 (1)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时 间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是(

A.

B.

C.

D.

(2)函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为(

)

A.

B.

C.

D.

(3)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示, 则 y=-f(2-x)的图 象为( )

A.

B.

C.

D.

(4)如图,已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x, 令 y=cosx,则 y 与时间 t(0≤t≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

解析:(1)小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除 A。 因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除 D。后来为了赶时间加快速度 行驶,故排除 B,故选 C。 (2)先判断函数 y=xcosx+sinx 是奇函数,所以排除 B;再判断其零点,令 y=xcosx +sinx=0,得 tanx=-x,画图知其在(0,π)上有且仅有一个零点,故排除 A、C。∴应 为 D 项。

?x?0≤x≤1?, (3)方法一:由 y=f(x)的图象知 f(x)=? ?1?1<x≤2?。 ?1?0≤x≤1?, 当 x∈[0,2]时, 2- x∈[0,2],所以 f(2- x)=? 故 y=-f(2- x) = ?2-x?1<x≤2?, ?-1?0≤x≤1?, ? 故其对应的图象应为 B。 ?x-2?1<x≤2?。

方法二:当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1; 当 x=1 时,-f(2-x)=-f(1)=-1。观察各选项,可知应选 B。

(4)如图,设∠MON=α,由弧长公式知 x=α, 在 Rt△AOM 中,|AO|=1-t, x |OA| cos = =1-t, 2 |OM| x ∴y=cosx=2cos2 -1=2(t-1)2-1(0≤t≤1)。故其对应的图象应为 B。 2 答案:(1)C (2)D (3)B (4)B

?名师点拨 识图问题的常见类型及解题策略 (1)由实际情景探究函数图象。关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求 解,要注意实际问题中的定义域问题。 (2)由解析式确定函数图象。此类问题往往化简函数解析式,利用函数的性质(单 调性、奇偶性、过定点等)判断,常用排除法。 (3)已知函数图象确定相关函数的图象。此类问题主要考查函数图象的变换(如平 移变换、对称变换等),要注意函数 y=f(x)与 y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y =f(|x|)、y=|f(x)|等的相互关系。 (4)借助动点探究函数图象。 解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再 判断函数的图象;也可采用“以静观动”,即将动点处于某些特殊的位置考查图象的 变化特征,从而作出选择。

通关特训 2 (1)如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以 相同的速度注入其中,注满为止。用下面对应的图象表示该容器中水面的高度 h 和时 间 t 之间的关系,其中不正确的为( )









A.

B.

C.

D.

(2)若 loga2<0(a>0,且 a≠1),则函数 f(x)=loga(x+1)的图象大致是(

)

A. ( )

B.

C.

D.

(3)已知函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图所示, 则函数 y=f(x)· g(x)的图象可能是

y=f(x)

y=g(x)

A.

B.

C.

D.

解析:(1)将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来;图①应该是匀速的,故 下面的图象不正确;②中的变化率应该是越来越慢的,正确;③中的变化规律是先快 后慢再快,正确;④中的变化规律是先慢后快再慢,也正确,故只有①是错误的,故 选 A。 (2)由 loga2<0,得 0<a<1,故函数 f(x)=loga(x+1)为减函数,故排除选项 A、 D。由图象平移可知 f(x)=loga(x+1)的图象可由 y=logax 的图象向左平移 1 个单位得 到,故选 B。

π π (3)观察图象可知,y=f(x)有两个零点 x1=- ,x2= ,且 y=g(x)在 x=0 时,函数值 2 2 不存在,所以函数 y=f(x)· g(x)在 x=0 时,函数值也不存在,故可以排除选项 C,D;当
? π? x∈?0,2?时,y=f(x)· g(x)的函数值为负,故排除选项 B,故选 A。 ? ?

答案:(1)A (2)B (3)A

考点三 A.没有根 C.有且仅有两个根

函数图象的应用 )

【例 3】 (1)方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)内( B.有且仅有一个根 D.有无穷多个根

?a,a-b≤1, (2)对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 f(x)=(x2-2) ?b,a-b>1。

?(x-x2),x∈R。若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取 值范围是( )
? ? ? ? 3? A.(-∞,-2]∪?-1,2? ? 3? B.(-∞,-2]∪?-1,-4? ? ? 1? ?1 ? C.?-1,4?∪?4,+∞? ? ? ? ? ? 3? ?1 ? ? ? ? D. -1,-4 ∪ 4,+∞? ? ? ? ?

(3)函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不 f?x? 等式 <0 的解集为__________。 cosx

解析:(1)如图所示,由图象可得两函数图象有两个交点,故方程有且仅有两个 根。

故选 C。

?x2-2,-1≤x≤3, ? ?x -2,x -2-x+x ≤1, 2 (2)由题意可知 f(x)=? = ? 2 2 2 ?x-x ,x -2-x+x >1 ?x-x2,x<-1或x>3。 2 ?
2 2 2

3 作出图象,由图象可知 y=f(x)与 y=c 有两个交点时,c≤-2 或-1<c<- ,即函数 y 4
? 3? =f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点时实数 c 的取值范围是(-∞,-2]∪?-1,-4?。 ? ?

应选 B。

? π? (3)在?0,2?上 y=cosx>0, ? ? ?π ? 在?2,4?上 y=cosx<0。 ? ? ? π? f?x? 由 f(x)的图象知在?1,2?上cosx<0, ? ?

因为 f(x)为偶函数,y=cosx 也是偶函数, f?x? 所以 y=cosx为偶函数,
? π ? ? π? f?x? 所以cosx<0 的解集为?-2,-1?∪?1,2?。 ? ? ? ? ? π ? ? π? 答案:(1)C (2)B (3)?-2,-1?∪?1,2? ? ? ? ?

?名师点拨 函数图象应用问题的求解策略 (1)利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程 f(x)=0 的 根就是函数 f(x)图象与 x 轴交点的横坐标,方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图 象交点的横坐标。 (2)利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时, 常将不等式问题转化为两函 数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解。

通关特训 3 (1)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x2,那么函 数 y=f(x)的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有( A.10 个 C.8 个 B.9 个 D.1 个 )

(2)直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点, 则 a 的取值范围是__________。
解析:(1)观察图象可知,共有 10 个交点。

?x2-x+a,x≥0, (2)y=? 2 作出图象,如图所示。 x + x + a , x <0 , ?

1 1 此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a-4,要使 y=1 与其有四个交点,只需 a-4 5 <1<a,∴1<a< 。 4 5 答案:(1)A (2)1<a<4

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