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三角函数的诱导公式1ppt


三角函数的
诱导公式

同角三角函数的基本关系

平方关系:
商数关系:

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? tan ? ? cos ?

(? ? k? ?

?
2

,k

?Z)

同一个角 的正弦、余弦的平 方和等于1,商等于角 ? 的正 切。

?

三角函数的诱导公式
第一课时 π +α、- α、 π-α的诱导

复习回顾
1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样定义的? y α 的终边 y sin ? _____;

? x cos ? ? _____; y ( x ? 0) tan ? ? _____ . x

P(x,y)

O

x

2. 2kπ +α (k∈Z)与α 的三 角函数之间的关系是什么?
公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ?

cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? ? 2k? ) ? tan? (k ? z )

3.你能求sin750°和sin930°的值吗?
1 2



4.利用公式一,可将任意角的三角函数 值,转化为00~3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数是我们熟悉的,

而对于900~3600范围内的三角函数值, 能否转化为锐角的三角函数值,这就是 我们需要研究和解决的问题.

思考:对于任意给定的一个角 α ,角π +α 的终边与角α 的 终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

π+α 的终边

思考:设角α 的终边与单位圆交于 点P(x,y),则角π +α 的终边与 单位圆的交点坐标如何?
y α 的终边 P(x,y) o

x Q(-x,-y) π+α 的终边

思考:根据三角函数定义, sin(π+α) 、cos(π +α )、 tan(π +α )的值分别是什么?
y α 的终边

P(x,y)
o

sin (? ? ? ) ? ? y co s(? ? ? ) ? ? x y t an ( ? ??) ? x x
Q(-x,-y) π+α 的终边

思考:对比sinα ,cosα , tanα 的值,π +α 的三角函 数与α 的三角函数有什么关系?

sin( ? ? ? ) ? ? sin ? 公式二: cos(? ? ? ) ? ? cos? t an( ? ? ? ) ? t an?

知识探究(二):-α ,π-α 的诱导公式: 思考:对于任意给定的一个角α ,-α 的终边与α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

-α 的终边

思考:设角α 的终边与单位圆交于点 P (x,y),则-α 的终边与单位圆的交 点坐标如何? sin(?? ) ? ? y
y α 的终边

cos(?? ) ? x y t an(?? ) ? ? x

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

思考:根据三角函数定义,-α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系?
α 的终边

y

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? t an(?? ) ? ? t an?

公式三:

思考:利用π -α =π +(-α ),结合公 式二、三,你能得到什么结论?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? tan?

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? t an(?? ) ? ? t an?

sin(? ? ? ) ? sin ?

公式四: cos(? - ? ) ? ? cos? t an( ? ? ? ) ? ? t an?

公式四:

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

思考:公式一~四都叫做诱导 公式,他们分别反映了2kπ + α (k∈Z),π +α ,-α ,π -α的三角函数与α的三角函数 之间的关系,你能概括一下这 四组公式的共同特点和规律吗?

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? ? 2k? ) ? tan? (k ? z )
sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? t an( ?? ) ? ? t an?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? tan?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? ? tan?

小结:2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π -α 的三 角函数值,等于α 的同名函数值,再放上原函数的象限符 号.简记为“函数名不变,符号看象限”

要点梳理
2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系



2kπ+α (k∈Z)

π+ α

-α

π -α

图示 与角 α 终边的 关系
相同 关于原
点对称

关于x
轴对称

关于y 轴对称

要点梳理
3.六组诱导公式
组 数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) 二 π+α 三 -α 四 π-α

sin α cosα tan α

-sinα -cosα

-sin α cos α

sin α

-cosα -tanα

tan α

-tanα

函数名不变符号看象限

利用诱导公式一~四,可以求任 意角的三角函数,其基本思路是:
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数

锐角的三角 函数

0~2π 的角 的三角函数

这是一种化归与转化的数学思想.

定时检测
一、选择题
sin 585°的值为( A
A. ? 2 2 B. 2 2

)
C. ? 3 2 D. 3 2

解析

sin 585°=sin(360°+225°)=
2 ? . sin(180°+45°)= 2

基础自测
已知 cos( ? ? x) ? , x ? (? ,2? ), 则tan x等于( D )
3 A.? 4 4 B. ? 3 3 C. 4 ? D. 3
3 5

解析 cos( ? ? x) ? ? cos x ? 3 ,

5

3 3? ? cos x ? ? ? 0.? x ? (? , ). 5 2 4 4 此时 sin x ? ? ,? t an x ? , 故选 D . 5 3

sin 2 (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(?? ) ? 1 的值为( D )

A .1

B .2 sin 2 ?

C .0

D .2

解析 原式 ? (? sin ? )2 ? (? cos ? ) cos ? ? 1

? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? 2.

cos( ?

35? ) 的值是 3

1 2

.

解析
?

cos( ?

35? 35? ? ) ? cos ? cos(12? ? ) 3 3 3

1 ? cos ? . 3 2

已知 cos( ? ? ? ) ?
15 8

8 3? , ? ? (? , ), 则 tan ? ? 17 2

.

解析

8 8 cos (? ? ? ) ? ? cos ? ? ,? cos ? ? ? . 17 17 3? 又? ? (? , ), sin ? ? 0. 2 15 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? . 17 sin ? 15 ? t an ? ? ? . cos ? 8

例1.已知: tan ? 解:∵ tan ?

? 3 ,求 2cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 的值。
4cos(?? ) ? sin(2? ? ? )

tan ?[cos(3? ? ? ) ? sin(5? ? ? )]的值。
解: tan ?[cos(3? ? ? ) ? sin(5? ? ? )]

?2 cos ? ? 3sin ? ?2 ? 3 tan ? ∴原式 ? ? ?7 4 cos ? ? sin ? 4 ? tan ? 3 例2.已知 sin ? ? ? ,且 是第四象限角,求 5

?3

?

? tan ? (? cos ? ? sin ? ) ? tan ? sin ? ? tan ? cos? ? sin ? (tan ? ?1) 21 4 3 由已知得: cos ? ? , tan ? ? ? , ∴原式 ? 5 4 20

? tan ?[cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]

理论迁移

例3 求下列各三角函数的值:
41 sin (π) ? 3 cos225
2 2 3 2

tan(2025°) ? tan( 5 ×360°+225°) = tan225° ? tan(180° + 45°) =tan45° = 1

小结
1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意义时 恒成立. 2.诱导公式一~四要灵活应用, 要点:

负化正,大化小,化至锐角 解决了!

三角函数的诱导公式
第二课时

问题提出

1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ +α (k∈Z)、π +α 、-α 、 π -α 与α 的三角函数之间的关系,这 四组公式的共同特点是什么? 函数同名,象限定号.

对形如π -α 、π +α 的角的三角函数 可以转化为α 角的三角函数,对形 p 如 、 + a 的角的三角函数与α 角
2

的三角函数,是否也存在着某种关系? 这需要我们作进一步的探究!

知识探究(一):

的诱导公式

思考1:sin(90°-60°)与sin60° 的值相等吗?相反吗? 思考2:sin(90°-60°)与cos60°, cos(90°-60°)与sin60°的值分别 有什么关系?据此,你有什么猜想?

思考若α 为一个任意给定的角,那么 的终边与角α 的终边有什么对称关 的终边 y 系?
α 的终边 O

x

思考5:点P1(x,y)关于直线y=x对称 的点P2的坐标如何?

思考:设角α 的终边与单位圆的交点为 P1(x,y),则 的终边与单位 圆的交点为P2(y,x),根据三角函数 的定义,你能获得哪些结论?
y
的终边

公式五:

P2(y,x)
α 的终边 O

P1(x,y) x

作业:
课代表下午5:20之前到办公室拿作业!

THANKS
谢谢!


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