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第二章推理与证明复习


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使用时间:2014.3.14

高二数学学案选修 2-2(理科)
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课题:第二章推理与证明复习 复习目标:1.进一步理解归纳推理、类比推理的推理方法;2.熟悉综合法、分析法和反证法的证明顺序及 步骤;3.进一步掌握用数学归纳法解决证明数学问题 重难点:归纳推理和类比推理的应用,反证法在证明中的应用以及数学归纳法的应用。 类比上一章知识结构

一、再现型题组 1.观察下列等式

12 ? 1 , 12 ? 22 ? ?3 , 12 ? 2 2 ? 32 ? 6 , 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10 ??
照此规律,第 n 个等式可为

a ? a2 ? ? ? an * 2. 若数列 {an }(n ? ? ) 是等差数列, 则数列 bn ? 1 (n ? ?* ) 也为等差数列.类比上述性质, n * 相应地,若数列 {cn }(n ? ? ) 是等比数列,且 cn ? 0 ,则有 d n ? (n ? ?* ) 也是等比数列. 2 3.当 a ? b ? 0 时,求证: a 2 ? b 2 ? ( a ? b) 2

.

4.已知数列

1 1 1 1 , , ,?, ,?, 计算 S1, S2 , S3 , 由此推测计算 Sn 的公式,并给出证明。 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1)

1

只有比别人更勤奋,才能品尝成功的滋味
二、典型例题 例 1 定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下,对任意的 a ? (m, n),b ? ( p, q), 令 a?b ? mq? np 。下面 说法错误的是( ) B. a?b ? b?a D. (a?b)2 ? (a ? b)2 ? a b
2 2

a?b ? 0 A.若 a与b共线,则
C. 对任意的 ? ? R,有(? a)?b ? ?(a?b) 变式 1 对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” :a ?b =?

?a, a ? b ? 1, 设函数 f ( x) ? ( x2 ? 2) ? ( x ? x2 ), x ? R , ?b, a ? b ? 1,


若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是(

3 3 1 1 3 1 A. ( ?? ,?2] ? ( ?1, ) B. ( ?? ,?2] ? ( ?1,? ) C. (?1, ) ? ( ,?? ) D. (?1,? ) ? [ ,?? ) 2 4 4 4 4 4 变式 2 函数 f ( x) 的定义域为 A ,若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单函数。例
如,函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ( x ? R ) 是单函数。下列命题:
2 1.函数 f ( x) ? x ( x ? R) 是单函数 2.若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 )

3.若 f : A ? B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象 4.函数 f ( x) 在某区间上具有单调性,则 f ( x) 一定是单函数。 其中的真命题是 。 例 2 用反证法证明: a, b, c, d 都是实数,且满足 a ? b ? 1 , c ? d ? 1 , ac ? bd ? 1 ,则 a, b, c, d 四个数中 至少有一个是负数.

1 1 (an ? ) 。 2 an (1)求 a1, a2 , a3 ; (2)由(1)猜想数列 ?an ? 的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想。
例 3 在各项为正的数列 ?an ?中,数列的前 n 项和 Sn 满足Sn ?

2

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三、当堂检测 1.有一段演绎推理: “有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数” ,这个推理的结论显然是错 误的,是因为( A.大前提错误 ) B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

2.用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2n ?1? 3 ??? (2n ?1), 从 k 到 k ? 1 , 左边需要曾乘的式子为 ( )

A.2k ? 1

B.2(2k ? 1)

C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

四、课后作业 A组 1. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? an (n ? 2) , 而 a1 ? 1 , 通过计算 a2 , a3 , a4 , 猜想 a n ? 时,反设正确的是( )

1 2 2.用反证法证明命题: “若函数 f ( x) ? x ? px ? q ,那么 | f (1) |, | f (2) |, | f (3) | 中至少有一个不小于 ” 2
A.假设 | f (1) |, | f (2) |, | f (3) | 都不小于

.

1 1 D.假设 | f (1) |, | f (2) |, | f (3) | 至多有一个小于 2 2 3.结论为: xn ? y n能被x ? y整除。 令 n ? 1,2,3,4, 验证结论是否正确,得到此结论成立的条件可以是( )
C.假设 | f (1) |, | f (2) |, | f (3) | 至多有两个小于

1 2

B.假设 | f (1) |, | f (2) |, | f (3) | 都小于

1 2

A.n ? N ?

B.n ? N ?且n ? 3

C.n为正奇数
C.不小于 0

D.n为正偶数
) D.不大于 0

4.已知 a ? b ? c ? 0, 则ab ? bc ? ca的值 ( A.大于 0 B.小于 0 5.有以下结论:

3 3 1、已知 p ? q ? 2, 求证 p ? q ? 2 。用反证法证明时,可假设 p ? q ? 2.

2、已知 a, b ? R , a ? b ? 1 ,求证方程 x ? ax ? b ? 0 的两根的绝对值都小于 1,用反证法证明时,可假
2

设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设 x1 ? 1 。 下列说法中正确的是( ) A.1 与 2 的假设都错误 B1 与 2 的假设都正确 C.1 的假设正确:2 的假设错误 D.1 的假设错误;2 的假设正确 6.证明: ?1 ? 3 ? 5 ? ?? (?1) (2n ?1) ? (?1) n
n n

3

只有比别人更勤奋,才能品尝成功的滋味

B组 1.设 sin ? 是 sin ? , cos ? 的等差中项, sin ? 是 sin ? , cos ? 的等比中项,求证 cos4? ? 4 cos4? ? 3 。

2.已知 S n ? 1 ?

n 1 1 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 1, n ? N ? ) 求证: S 2n ? 1 ? (n ? 2, n ? N ? ) 2 2 3 4 n

4


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