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【课堂新坐标】16-17学年高中数学人教B版选修1-1章末综合测评2


章末综合测评(二)

圆锥曲线与方程

(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 1.抛物线 y=-8x2 的准线方程是( 1 A.x=32 1 C.y=32 B.y=2 D.y=-2 )

1 【解析】 将 y=-8x2 化为标准形式为 x2=-8y,故准线方程为 y=2. 【答案】 B 2.(2015· 安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为 y=± 2x 的是( y2 A.x - 4 =1
2

)

x2 2 B. 4 -y =1 x2 2 D. 2 -y =1

y2 C.x - 2 =1
2

y 【解析】 法一 由渐近线方程为 y=± 2x,可得2=± x,所以双曲线的标准
? y2 ? y2 2 方程可以为 x - 4 =1?或 4 -x =1,舍去?. ? ?
2

1 法二 A 中的渐近线方程为 y=± 2x;B 中的渐近线方程为 y=± 2x;C 中的 2 渐近线方程为 y=± 2x;D 中的渐近线方程为 y=± 2 x.故选 A. 【答案】 A x2 y2 3.(2015· 湖南高考)若双曲线a2-b2=1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此 双曲线的离心率为( )
1

7 A. 3 4 C.3

5 B.4 5 D.3

b 4 【解析】 由双曲线的渐近线过点(3,-4)知a=3, b2 16 ∴a2= 9 . c2-a2 16 又 b =c -a ,∴ a2 = 9 ,
2 2 2

16 25 5 即 e2-1= 9 ,∴e2= 9 ,∴e=3. 【答案】 D 1 4 .抛物线 y2 =4 x 关于直线 x - y = 0 对称的抛物线的焦点坐标是 ( 【导学号:26160065】 A.(1,0) C.(0,1) 1? ? B.?0,16?
? ? ? ? ?1 ? D.?16,0? ? ?

)

?1 ? 1 【解析】 ∵y2=4x 的焦点坐标为?16,0?,

1? ? ∴关于直线 y=x 对称后抛物线的焦点为?0,16?.
? ?

【答案】 B x2 2 5.设 F1,F2 是双曲线 3 -y =1 的两个焦点,P 在双曲线上,当△F1PF2 的 →· → 面积为 2 时,PF 1 PF2的值为( A.2 C.4 ) B.3 D.6

【解析】 设 P(x0,y0),又 F1(-2,0),F2(2,0),
2

→ =(-2-x ,-y ),PF → =(2-x ,-y ).|F F |=4. ∴PF 1 0 0 2 0 0 1 2 1 S△PF1F2=2|F1F2|· |y0|=2, x2 0 ∴|y0|=1.又 3 -y2 0=1,
2 → PF → =x2+y2-4=6+1-4=3. ∴x2 0=3(y0+1)=6,∴PF1· 2 0 0

【答案】 B 6. (2016· 泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0) 上,另一个顶点在原点,则该三角形的边长是( A.2 3p C.6 3p B.4 3p D.8 3p )

【解析】 设 A、B 在 y2=2px 上,另一个顶点为 O,则 A、B 关于 x 轴对

?y= 3x, 3 3 称,则∠AOx=30° ,则 OA 的方程为 y= 3 x.由? ?y2=2px,
AOB 的边长为 4 3p. 【答案】 B

得 y=2 3p,∴△

1 7.已知|A→ B |=3,A,B 分别在 y 轴和 x 轴上运动,O 为原点,O→ P =3O→ A+ 2 → 3O B ,则动点 P 的轨迹方程是( x2 2 A. 4 +y =1 x2 2 C. 9 +y =1 ) y2 B.x + 4 =1
2

y2 D.x + 9 =1
2

1 2 【解析】 设 P(x,y),A(0,y0),B(x0,0),由已知得(x,y)=3(0,y0)+3(x0,0),
?3 ?2 2 1 3 2 即 x=3x0,y=3y0,所以 x0=2x,y0=3y.因为|A→ B |=3,所以 x2 0+y0=9,即?2x? ? ?
3

x2 2 +(3y) =9,化简整理得动点 P 的轨迹方程是 4 +y =1.
2

【答案】 A x 2 y2 8.AB 为过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的中心的弦 F1 为一个焦点,则△ABF1 的最大面积是(c 为半焦距)( A.ac C.bc ) B.ab D.b2

【解析】 △ABF1 的面积为 c· |yA|,因此当|yA|最大, 即|yA|=b 时,面积最大.故选 C. 【答案】 C x2 y2 9.若 F1,F2 是椭圆 9 + 7 =1 的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠AF1F2= 45° ,则△AF1F2 的面积为( A.7 7 C.4 ) 7 B.2 7 5 D. 2

【解析】 |F1F2|=2 2,|AF1|+|AF2|=6, 则|AF2|=6-|AF1|, |AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|· |F1F2|cos 45° =|AF1|2-4|AF1|+8, 即(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8, 7 解得|AF1|=2, 1 7 2 7 所以 S=2×2×2 2× 2 =2. 【答案】 B

4

x2 y2 10.(2015· 重庆高考)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶 点分别是 A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点.若 A1B⊥A2C, 则该双曲线的渐近线的斜率为( 1 A.± 2 C.± 1 【解析】 ) 2 B.± 2 D.± 2 b? b? ? ? 由题设易知 A1(-a,0),A2(a,0),B?c, a ?,C?c,- a ?. ? ? ? ?
2 2

∵A1B⊥A2C, b2 b2 a -a ∴ · =-1,整理得 a=b. c+a c-a b ∵渐近线方程为 y=± x, ax,即 y=± ∴渐近线的斜率为± 1. 【答案】 C 11.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标 原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积是( A.3 2 C. 2 【解析】 B.2 2 3 2 D. 2 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又|AF| )

=3,由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3, ∴点 A 的横坐标为 2.

5

将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8,由图知点 A 的纵坐标 y=2 2, ∴A(2,2 2), ∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).
?y=2 2?x-1?, ? 联立直线与抛物线的方程? 2 ? ?y =4x,

?x=1, 解之得? 2 ?y=- 2
? ?

? ?x=2, 或? ? ?y=2 2.

?1 ? 由图知 B?2,- 2?,

1 1 3 ∴S△AOB=2|OF|· |yA-yB|=2×1×|2 2+ 2|=2 2. 【答案】 D x2 y2 y2 2 12.已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - 4 =1 有公共的焦 点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将 线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 1 C.b2=2 【解析】 ) B.a2=13 D.b2=2 由题意,知 a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-

a4=0,双曲线的一条渐近线方程为 y=2x,联立方程消去 y,得(5a2-5)x2+5a2 -a =0,∴直线截椭圆的弦长 d= 5×2 故选 C. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横 线上)
6 4

a4-5a2 2 11 1 =3a,解得 a2= 2 ,b2=2, 2 5a -5

y2 13.(2015· 北京高考)已知(2,0)是双曲线 x -b2=1(b>0)的一个焦点,则 b=
2

________. 【解析】 由题意得,双曲线焦点在 x 轴上,且 c=2.根据双曲线的标准方 程,可知 a2=1.又 c2=a2+b2,所以 b2=3.又 b>0,所以 b= 3. 【答案】 3

x2 y2 x2 2 14.设 F1,F2 为曲线 C1: 6 + 2 =1 的焦点,P 是曲线 C2: 3 -y =1 与 C1 的一个交点,则△PF1F2 的面积为________. 【解析】 由题意知|F1F2|=2 6-2=4,设 P 点坐标为(x,y). x y ? ? 6 + 2 =1, 由? 2 x 2 ? ? 3 -y =1,
2 2

?x=±3 2 2, 得? 2 y = ± ? 2.

1 1 2 则 S△PF1F2=2|F1F2|· |y|=2×4× 2 = 2. 【答案】 2
2

x2 y2 15.如图 1,已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点恰好是椭圆a2+b2=1 的右焦点 F,且两条曲线的交点连线也经过焦点 F,则该椭圆的离心率为________.

图1 p 【解析】 由条件知,c=2, ∴其中一个交点坐标为(c,2c), c2 4 c 2 ∴a2+ b2 =1,∴e4-6e2+1=0,
7

解得 e2=3± 2 2,∴e=± ( 2± 1). 又 0<e<1,故 e= 2-1. 【答案】 2-1

x2 2 16. (2015· 上海高考)已知双曲线 C1、 C2 的顶点重合, C1 的方程为 4 -y =1, 若 C2 的一条渐近线的斜率是 C1 的一条渐近线的斜率的 2 倍,则 C2 的方程为 ________. x2 2 1 【解析】 因为 C1 的方程为 4 -y =1, 所以 C1 的一条渐近线的斜率 k1=2, 所以 C2 的一条渐近线的斜率 k2=1,因为双曲线 C1、C2 的顶点重合,即焦点都 在 x 轴上, x2 y2 设 C2 的方程为a2-b2=1(a>0,b>0), x2 y2 所以 a=b=2,所以 C2 的方程为 4 - 4 =1. x2 y2 【答案】 4 - 4 =1 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点 F1(0, -5), F2(0,5), 点 P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程. y2 x2 【解】 由共同的焦点 F1(0, -5), F2(0,5), 可设椭圆方程为a2+ 2 =1, a -25 y2 x2 双曲线方程为b2- =1(b>0). 25-b2 16 9 点 P(3,4)在椭圆上,则 a2 + 2 =1,得 a2=40, a -25 双曲线过点 P(3,4)的渐近线方程为 y= =16.
8

b b 2 x ,即 4 = 2 2×3,得 b 25-b 25-b

y 2 x2 y2 x2 所以椭圆方程为40+15=1,双曲线方程为16- 9 =1. 18.(本小题满分 12 分)(2016· 厦门高二检测)已知直线 l:y=x+m 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点, (1)若|AB|=10,求 m 的值; (2)若 OA⊥OB,求 m 的值. 【解】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
? ?y=x+m, (1)? 2 ?x2+(2m-8)x+m2=0 ?y =8x ?

Δ=?2m-8? -4m >0, ? ? ??x1+x2=8-2m, ? ?x1x2=m2. |AB|= 2|x1-x2|= 2 ?x1+x2?2-4x1x2=10,

2

2

7 7 得 m=16,∵m<2,∴m=16. (2)∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0. x1x2+(x1+m)(x2+m)=0, 2x1x2+m(x1+x2)+m2=0, 2m2+m(8-2m)+m2=0, m2+8m=0,m=0 或 m=-8. 经检验 m=-8. 19.(本小题满分 12 分)已知双曲线过点 P(-3 2,4),它的渐近线方程为 y 4 =± 3x. (1)求双曲线的标准方程; (2)设 F1 和 F2 为该双曲线的左、右焦点,点 P 在此双曲线上,且|PF1|· |PF2| =41,求∠F1PF2 的余弦值.
9

【解】

(1)由渐近线方程知,双曲线中心在原点,且渐近线上横坐标为-

3 2的点 P′的纵坐标的绝对值为 4 2. x2 y2 ∵4 2>4,∴双曲线的焦点在 x 轴上,设方程为a2-b2=1. ∵双曲线过点 P(-3 2,4), 18 16 ∴ a2 - b2 =1.① b 4 又a=3,② 由①②,得 a2=9,b2=16, x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 9 -16=1. (2)设|PF1|=d1,|PF2|=d2, 则 d1· d2=41.又由双曲线的几何性质知,|d1-d2|=2a=6.
2 2 d2 1+d2-|F1F2| 由余弦定理,得 cos∠F1PF2= 2d d 1 2

?d1-d2?2+2d1d2-|F1F2|2 9 = =41. 2d1d2 x2 y2 20. (本小题满分 12 分)(2015· 安徽高考)设椭圆 E 的方程为a2+b2=1(a>b>0), 点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 5 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 10 . (1)求 E 的离心率 e; (2) 设点 C 的坐标为 (0 ,- b) , N 为线段 AC 的中点,证明: MN ⊥ AB. 【导学号:26160066】 1 ? ?2 【解】 (1)由题设条件知,点 M 的坐标为?3a,3b?,
? ?

5 b 5 又 kOM= 10 ,从而2a= 10 .
10

c 2 5 进而 a= 5b,c= a2-b2=2b,故 e=a= 5 . b? a 5b? ?a → =? ? , ?. (2)证明:由 N 是 AC 的中点知,点 N 的坐标为?2,-2?,可得NM ? ? ?6 6 ? → =(-a,b), 又AB →· → =-1a2+5b2=1(5b2-a2). 从而有AB NM 6 6 6 由(1)的计算结果可知 a2=5b2, →· → =0,故 MN⊥AB. 所以AB NM x2 y2 21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 F 及点 A(0, 2 b),原点 O 到直线 FA 的距离为 2 b. (1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)若点 F 关于直线 l:2x+y=0 的对称点 P 在圆 O:x2+y2=4 上,求椭圆 C 的方程及点 P 的坐标. 【解】 (1)由点 F(-ae,0),点 A(0,b),及 b= 1-e2a,得直线 FA 的方程 为 x y 2 2 + 2 =1,即 1-e x-ey+ae 1-e =0. -ae 1-e a 因为原点 O 到直线 FA 的距离为 2 2 b = ae 1 - e , 2 2 所以 2 1-e2· a=ae 1-e2, 2 解得 e= 2 . (2)设椭圆 C 的左焦点 F?-
? ? ? 2 ?关于直线 l:2x+y=0 的对称点为 P(x0, a , 0 2 ?

y0),则有
11

? 2 =2, ?x + 2 a ? 2 x - ?2· 2 a+y =0, ? 2 2
0 0 0

y0

1

3 2 2 2 解得 x0= 10 a,y0= 5 a. 因为 P 在圆 x2+y2=4 上,所以? 所以 a2=8,b2=(1-e2)a2=4. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 8 + 4 =1,
?6 8? 点 P 的坐标为?5,5?. ? ? ?3 2 ?2 ?2 2 ?2 a? +? 5 a? =4. ? 10 ? ? ?

22.(本小题满分 12 分)(2016· 郑州高二检测)已知经过点 A(-4,0)的动直线 l 1 1 与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B,C,当直线 l 的斜率是2时,A→ C =4A→ B. (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的垂直平分线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 1 1 【解】 (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),由已知,当 kl=2时,l 的方程为 y=2(x +4),即 x=2y-4.
2 ? ?x =2py, 由? 得 2y2-(8+p)y+8=0, ?x=2y-4, ?

?y1y2=4, 所以? 8+p y 1+y2= ? 2 ,
1 所以 y2=4y1 或 y1=4y2.

1 又因为 A→ C =4A→ B,

由 p>0 得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线方程为 x2=4y.
12

(2)设 l:y=k(x+4),BC 中点坐标为(x0,y0),
2 ? ?x =4y, 由? ?y=k?x+4?, ?

得 x2-4kx-16k=0.① x1+x2 所以 x0= 2 =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k. 所以 BC 的中垂线方程为 1 y-2k2-4k=-k(x-2k), 所以 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程①由 Δ=16k2+64k>0 得 k>0 或 k<-4.所以 b∈(2,+∞).

13


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