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江西省九江市十校2017届高三第一次联考数学(文)试题 Word版含答案


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九江市 2017 届高三年级“十校”第一次联考试卷 文科数学
注意事项: 命题:九江县一中 审题:瑞昌一中 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已 知 集 合

A ? {x | ( x ? 1)(x ? 2) ? 0}, B ? {x ? Z | x2 ? 9 ? 0}





A?B

=



) A. {0,1} B. (0,1)
x?2

C. [?3, ?1) U (2, 3] ” 是 “

D. {?3, ?2, 3}

2.

“ (

lg( x ? 1) ? 0





) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3 4cos15? cos 75? ? sin15? sin 75? ?



) A. 0 B.

1 2

C. 3

4

D. 3

2

? ex ? 1 , x ? 1 4.若函数 f ( x) ? ? ,则 f (e) ? ? f (ln x), x ? 1
( A. 0 5. 已 知 )

? | a |? 2

B. 1 ,

? ? ? 2a ? b ? a

C. 2 , 则

? b



D. e ? 1 ? a 方 向 上 的 投 影 为



) A. ?4 B. ?2 C. 2 D. 4

6. 已 知 等 比 数 列 {an } 的 首 项 为 a1 , 公 比 为 q , 满 足 a1 (q ? 1) ? 0 且 q ? 0 , 则



) B. {an } 的各项均为负数

A. {an } 的各项均为正数

C. {an } 为递增数列

D. {an } 为递减数列

2 7.已知各项不为 0 的等差数列 {an } 满足 a4 - 2a7 + 3a8 = 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且 b7 = a7 ,则

bbb 3 7 1 1 等于

( A. 1 8. 已

) B. 2 知 C. 4 , 0那 么 下 列 D. 8 不 等 式 成 立 的 是

a ? 0 ?, ?b ? 1



) A. a ? ab ? ab2 B. ab ? a ? ab2 C. ab ? ab2 ? a D. ab2 ? a ? ab

9.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图像向左平移

?

6

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像,则函数
6

g ( x) 的一个单调递增区间是





A. [? , ] 4 4 10. 设 a ? log 2
3

? ?

B. [ , ] 4 4
1

? 3?

C. [ ?
1

? ?

3,6

]

? 2? ] D. [ , 6 3

3 , b ? log , c ? 3 , d ? 32 , 则 这 四 个 数 的 大 小 关 系 是 2 32 2



) B. a ? c ? d ? b C. b ? a ? c ? d 在 D. b ? a ? d ? c 的 图 像 大 致 为

A. a ? b ? c ? d 11. 函 数

y ? x2 ? ln | x |

[?2, 2]





y

y

y

y

?1

O

1

x

?1

O

1

x

?1

O

1

x

?1

O

1

x

A. 12.已知函数 f ( x) ? ax3 ?

B.

C.

D.

3 x2 ? 1 存在唯一的零点 x ,且 x ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 0 0 2





A. ( ??, ?

2 ) B. (??, ?2) 2

C. ( , ??)

1 2

D. (

2 , ??) 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答题卡上. 13.若向量 a ? (1,1) 与 b ? (?, ?2) 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是 14.函数 f ( x) ? | x | ?x 2 的定义域为 .

?

?

.

15. 已 知 直 线 (k ? 1) x ? ky ? 1 ? 0 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 为 Sk , 则

S1 ? S2 ? ? ? S8 ?

.

16.已知 a , b, c 为 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边,且 A ? 30? ,a ? 1 , D 为 BC 的中点,则 AD 的最大值为 .

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 17 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。 第(22)题~第(23)题为选考题,考生根据要求作答。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 a ? (2, ?1),b ? (0,1),c ? (1, ?2) . ? ? ? (1)若 a ? mb ? nc ,求实数 m 、 n 的值; ? ? ? ? ? ? ? (2)若 (a ? d ) // (b ? c) ,求 | d | 的最小值.

?

?

?

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 1, an , Sn 是等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? log 2 an ,设 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn .

19.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, a , b, c 为角 A, B, C 所对的边, C ? (1)求 tan B 的值; (2)若 b ? 1 ,求 ?ABC 的面积.

?
4

,且 2sin 2 A ? 1 ? sin 2 B .

20.(本小题满分 12 分) 某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球,公司打算生产两种不同类型的足球,一 款叫“飞火流星” ,另一款叫 “团队之星” 。每生产一个“飞火流星”足球,需要橡胶 100g , 皮革 300g ;每生产一个“团队之星”足球,需要橡胶 50g ,皮革 400g 。且一个“飞火流星” 足球的利润为 40 元, 一个 “团队之星” 足球的利润为 30 元。 现旗下某作坊有橡胶材料 2.5kg , 皮革 12kg . (1)求该作坊可获得的最大利润; (2)若公司规定各作坊有两种方案可供选择,方案一:作坊自行出售足球,则所获利润需上 缴 10% 方案二:作坊选择由公司代售,则公司不分足球类型,一律按相同的价格回收, 作坊每个球获得 30 元的利润。若作坊所生产的足球可全部售出,请问该作坊选择哪种 方案更划算?请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ln x ? ax(ax ? 1) , a ? R . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若函数 f ( x) 在 ( 0,1] 内至少有 1 个零点,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所 做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x ? 2a | . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)若不等式 f ( x) ? 3a 2 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

23. (本小题满分 10 分) 已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? 2b ? 4 ? 2 a b (1)证明 a ? 2b ? 4 ; (2)若 (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,求
1 ? 3 的最小值. log 2 a log 2 b

九江市 2017 届高三年级“十校”第一次联考试卷答案 文科数学 命题:九江县一中 审题:瑞昌一中 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | ( x ? 1)(x ? 2) ? 0}, B ? {x ? Z | x2 ? 9 ? 0} ,则 A I B ? A. {0,1} 【答案】D B. (0,1) C. [?3, ?1) U (2, 3] D. {?3, ?2, 3}

【解析】依题意 A ? {x | x ? ?1或 x ? 2} , B ? {?3, ?2, ?1,0,1, 2,3} ,则 A I B ? {?3, ?2, 3} ,故选 D.

2.“ x ? 2 ”是“ lg( x ? 1) ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B 【解析】由 lg( x ? 1) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ? 1 ,即 1 ? x ? 2 , “ x ? 2 ”是“ 1 ? x ? 2 ”的必要不充分 条件,故选 B. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 4cos15? cos 75? ? sin15? sin 75? ? A. 0 【答案】C 【解析】 4cos15? cos 75? ? sin15? sin 75? ? 3cos15? cos 75? ? cos15? cos 75? ? sin15? sin 75?
? 3cos15? cos 75? ? cos 90? ? 3 ? 2cos15? sin15? ? 3 ? sin30? ? 3 ,故选 C.

B.

1 2

C. 3

4

D. 3

2

2

2

4

? ex ? 1 , x ? 1 4.若函数 f ( x) ? ? ,则 f (e) ? ? f (ln x), x ? 1
A. 0 【答案】C 【解析】 Q e ? 1,? f (e) ? f (ln e) ? f (1) ? f (ln1) ? f (0) ? e0 ? 1 ? 2 ,故选 C. B. 1 C. 2 D. e ? 1

? ? ? ? ? ? 5.已知 | a | ? 2 , 2a ? b ? a ,则 b 在 a 方向上的投影为
A. ?4 【答案】D B. ?2 C. 2 D. 4

? ? ? ? ? ? ? r2 r r ? ? ? 【解析】由 2a ? b ? a 知 (2a ? b) ? a ? 0 即 2a ? a ? b ? 0 ,又 | a | ? 2 ,所以 2 | a | 2 ? | a || b | ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 ? 2 | b | cos ? a, b ?? 0 ,得 | b | cos ? a, b ?? 4 ,即 b 在 a 方向上的投影为 4 ,故选 D.

6.已知等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,满足 a1 (q ? 1) ? 0 且 q ? 0 ,则 A. {an } 的各项均为正数 C. {an } 为递增数列 B. {an } 的各项均为负数 D. {an } 为递减数列

【答案】D 【 解 析 】 由 等 比 数 列

{an }











an ?

1

? a

n ?1

q, 知

an?1 ? an ? a1 ? qn ? a1 ? qn?1 ? a1 ? qn?1 (q ? 1) ,由 a1 (q ? 1) ? 0 且 q ? 0 知, a1 ? qn?1 ( q ? 1) ? 0 ,
即 an?1 ? an ? 0 ,所以数列 {an } 为递减数列,故选 D.

2 7.已知各项不为 0 的等差数列 {an } 满足 a4 - 2a7 + 3a8 = 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且 b7 = a7 ,则

b3b7 b11 等于
A. 1 【答案】D 【解析】等差数列 {an } 中, a4 + 3a8 = (a4 + a8 ) + 2a8 = 2a6 + 2a8 = 4a7 ,则 4a7 - 2a7 2 = 0 ,且 B. 2 C. 4 D. 8

a7 ? 0 ,所以 a7 = 2 ,又 b7 = a7 = 2 ,故等比数列 {bn } 中, b3b7 b11 = b7 3 = 8 ,故选 D.

8.已知 a ? 0, ?1 ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是 A. a ? ab ? ab2 【答案】C 【解析】由 a ? 0, b ? 0 知, ab ? 0, ab2 ? 0 ,又由 ?1 ? b ? 0 知 0 ? b 2 ? 1 ,所以 ab 2 ? a ,故选 C. B. ab ? a ? ab2 C. ab ? ab2 ? a D. ab2 ? a ? ab

9.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图像向左平移

?

6

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像,则函数
6

g ( x) 的一个单调递增区间是
A. [? , ] 4 4 【答案】C

? ?

B. [ , ] 4 4

? 3?

C. [ ?

? ?

3,6

]

? 2? ] D. [ , 6 3

? 【解析】g ( x) ? f ( x ? ? ) ? sin[2( x ? ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ) , 由 ? ? ? 2k? ?2x ?? ?
6 6 6 6 2

6 2

? 2k , ? ,

k ? Z 得 ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , 知 g ( x) 在 [? ? ? k? , ? ? k? ], k ? Z 上是增函数,故选 C.

3

6

3

6

10.设 a ? log 2
3

3 , b ? log , c ? 3 , d ? 32 ,则这四个数的大小关系是 2 32 2
B. a ? c ? d ? b C. b ? a ? c ? d D. b ? a ? d ? c

1

1

A. a ? b ? c ? d 【答案】A

【解析】a ? log 2
3

1 1 3 ?0 ,由 b ? l og 3 2 知 0 ? b ? 1 ,c ? 2 3 ? 1 ,d ? 3 2 ? 1 ,又由 c6 ? (2 3 )6 ? 4 , 2

1

d 6 ? (32 ) 6 ? 9 知 d ? c ,所以 a ? b ? c ? d 故选 A.

1

11.函数 y ? x2 ? ln | x | 在 [?2, 2] 的图像大致为

y

y

y

y

?1

O

1

x

?1

O

1

x

?1

O

1

x

?1

O

1

x

A. 【答案】A

B.

C.

D.

C 。 当 x ? 0 时 , y ? x2 ? ln x , 【 解 析 】 由 函 数 y ? x2 ? ln | x | 知 x ? 0 , 排 除 B 、
2 ? 2 y ? ? 2 x ? 1 ? 2 x 1 ,知当 x ? 时,函数 y ? x2 ? ln x 取得极小值,故选 A. x x 2

12.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3 x2 ? 1 存在唯一的零点 x 0 ,且 x0 ? 0 ,则实数 a 的取值范围是

2

A. ( ??, ? 【答案】D

2 ) 2

B. (??, ?2)

C. ( , ??)

1 2

D. (

2 , ??) 2

【解析】当 a ? 0 得 f ( x) ? ? 3 x2 ? 1 ,函数有两个零点,不合题意;

2

1 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3ax2 ? 3x ? 3x(ax ? 1) ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? , a
①若 a ? 0 ,则

1 ? 0 ,由 f ?( x) ?0 得 x ? 1 或 x ? 0 ;由 f ?( x) ?0 得 1 ? x ? 0 ,故函数 f ( x) a a a

在 (??, 1 ),(0, ??) 上单调递减,在 ( 1 ,0) 上单调递增,又 f (0) ? 1 ,故函数 f ( x) 存在零点

a

a

x0 ? 0 ,如图 12-1,此情况不合题意;②若 a ? 0 ,则

1 ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ;由 a a

f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 1 ,故函数 f ( x) 在 (0, 1 ) 上单调递减,在 (??,0),( 1 , ??) 上单调递 a a a
增,如图 12-2,要使函数 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x0 ? 0 ,则必须满足 f ( 1 ) ? 0 ,由

a

2 。故选 D. f (1) ?1? 12 ? 0 得 a ? a 2 2a

y

y

1 a

O x0

x

x0

O

1 a

x

图 12-1

图 12-2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答题卡上. 13.若向量 a ? (1,1) 与 b ? (?, ?2) 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是 【答案】 (??, ?2) U (?2, 2)

?

?

.

r ? ? r r r 【解析】 若向量 a ? (1,1) 与 b ? (? , ?2) 的夹角为钝角, 则 a ?b ? 0, 且 a 与 b 不共线, 即? ? 2 ? 0 ,
且 ? ? ?2 ,故 ? 的取值范围是 (??, ?2) U (?2, 2) .

14.函数 f ( x) ? | x | ?x 2 的定义域为 【答案】 [ ?1, 1]

.

【解析】由 | x | ? x 2 ? 0 得 x2 ? | x | ? 0 ,即 | x | (| x | ?1) ? 0 ,所以 0 ? | x | ? 1 ,解得 ?1 ? x ? 1 ,故 函数 f ( x) 的定义域为 [ ?1, 1] .

15. 已 知 直 线 (k ? 1) x ? ky ? 1 ? 0 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 为 Sk , 则

S1 ? S2 ? ? ? S8 ?
【答案】

.

4 9
k k ?1

【解析】直线 (k ? 1) x ? ky ? 1 ? 0 与两坐标轴的交点分别为 (0, 1 ) , ( 1 ,0) ,则该直线与两 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积 为

Sk ? 1 ? 1 ? 1 2 | k | | k ? 1|





S1 ? S2 ? ? ? S8 ? 1 ? (1? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ) 2 2 2 3 8 9

? 1 ? (1 ? 1 ) ? 4 . 2 9 9
16.已知 a , b, c 为 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边,且 A ? 30? ,a ? 1 , D 为 BC 的中点,则 AD 的最大值为 【答案】 1 ? .

3 2

A
??? ? ???? ???? ??? ? ??? ?

【解析】 AD ? 1 ( AB ? AC ) , | AD | 2 ? 1 ( AB ? AC)2

????

2

4

???? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? | AD | 2 ? 1 ( AB ? AC ? 2 | AB | ? | AC | cos A) 4
3 ? 1 (c 2 ? b 2 ? 2cb ) ? 1 (b 2 ? c 2 ? 3 bc) 4 2 4
根 据 余 弦 定 理 知 cos A ?

C

D

B

图 16

b 2 ? c 2 ? a2 3 ? , 又 a ? 1 , 得 b2 ? c2 ? 1 ? 3bc , 故 2 2bc

b2 ? c2 ? 3bc ? 1 ,
由 b2 ? c2 ? 3bc ? 1 ? 2bc 得 bc ? 2 ? 3 , | AD | 2 ? 1 (2 3bc ?1) ? 1 (4 3 ? 7) ;

????

4

4

???? 3 | AD | ? 1 4 3 ? 7 ? 1 (2 ? 3) 2 ? 1 ? 2 2 2
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 17 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。 第(22)题~第(23)题为选考题,考生根据要求作答。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 a ? (2, ?1),b ? (0,1),c ? (1, ?2) . ? ? ? (1)若 a ? mb ? nc ,求实数 m 、 n 的值; ? ? ? ? ? ? ? (2)若 (a ? d ) // (b ? c) ,求 | d | 的最小值. ? ? ? 【解析】 (1)由 a ? mb ? nc 知 (2, ?1) ? ( n, m ? 2n) ,解得 m ? 3 , n ? 2 .???? 5 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)设 d ? ( x, y ) ,则 a ? d ? (2 ? x, ?1 ? y ) ,又 b ? c ? (1, ?1) ,由 (a ? d ) // (b ? c) 知,

?

?

?

? (2 ? x) ? ?1 ? y ,即 y ? ? x ? 1 ,???? 8 分

? ? | d | ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? (? x ? 1)2 ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 2( x ? 1 ) 2 ? 1 ? 2 , 2 2 2

? ? ? ? 2 即 | d | 的最小值为 .???? 12 分 (亦可用点到直线的距离公式求 | d | 的最小值. ) 2

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 1, an , Sn 是等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? log 2 an ,设 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn . 【解析】 (1)由 1, an , Sn 是等差数列知 2 an ? 1 ? Sn ?①, 当 n ? 1 时, 2 a1 ? 1 ? a1 ,则 a1 ? 1 ;???? 2 分 当 n ? 2 时, 2 an?1 ? 1 ? Sn?1 ?②,①-②得 2 an ? 2 an?1 ? an ,即 an ? 2 an ?1 ;???? 4 分 故数列 {an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,所以 an ? 2n?1 . ???? 6 分 (2) bn ? log2 an ? n ? 1 , cn ? an ? bn ? (n ? 1) ? 2n?1 ,???? 8 分

Tn ? 0 ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ?③

2Tn ? 0 ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ?④
③-④得 ?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n

?

2 ? 2n ? ( n ? 1) ? 2n 1? 2

? (2 ? n) ? 2n ? 2 ?Tn ? (n ? 2) ? 2n ? 2 . ???? 12 分

19.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, a , b, c 为角 A, B, C 所对的边, C ? (1)求 tan B 的值; (2)若 b ? 1 ,求 ?ABC 的面积. 【解析】 (1)由 2sin 2 A ? 1 ? sin 2 B ,知 ? cos 2A ? sin 2 B ,又? A ? ? ? (B ? C) ? 3? ? B ,

?
4

,且 2sin 2 A ? 1 ? sin 2 B .

4

?? cos2( 3? ? B) ? sin 2 B ,即?sin 2B ? sin 2 B ,???? 4 分 4

又 sinB ? 0 ,? 2cosB ? sinB ,故 tan B ? 2 . ???? 5 分 (2)由 tan B ? 2 知, B 为锐角,且 cos B ? 则 sin A ? sin[? ? (B ? C)] ? sin(B ? C) ?

1 2 5 , ? 5 , sin B ? 1 ? cos 2 B ? 2 5 5 1 ? tan B

2 5 ? 2 ? 5 ? 2 ? 3 10 ,???? 8 分 5 2 5 2 10

b ? sin A = 5 ? 3 10 ? 3 2 ,???? 10 分 ? a ? b ,? a ? sin B 2 10 4 sin A sin B
所以 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1 ab sin C = 3 . ???? 12 分

2

8

20.(本小题满分 12 分) 某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球,公司打算生产两种不同类型的足球,一 款叫“飞火流星” ,另一款叫 “团队之星” 。每生产一个“飞火流星”足球,需要橡胶 100g , 皮革 300g ;每生产一个“团队之星”足球,需要橡胶 50g ,皮革 400g 。且一个“飞火流星” 足球的利润为 40 元, 一个 “团队之星” 足球的利润为 30 元。 现旗下某作坊有橡胶材料 2.5kg , 皮革 12kg . (1)求该作坊可获得的最大利润; (2)若公司规定各作坊有两种方案可供选择,方案一:作坊自行出售足球,则所获利润需上 缴 10% ; 方案二: 作坊选择由公司代售, 则公司不分足球类型, 一律按相同的价格回收, 作坊每个球获得 30 元的利润。若作坊所生产的足球可全部售出,请问该作坊选择哪种 方案更划算?请说明理由. 【解析】 (1)设该作坊生产“飞火流星”足球 x 个, “团队之星”足球 y 个,作坊获得的利润为 z 元.

? 100 x ? 50 y ? 2500 ? 2 x ? y ? 50 ? ? 则 ?300 x ? 400 y ? 12000 即 ?3 x ? 4 y ? 120 , ? x?0 , y?0 ? x ? 0, y ? 0 ? ?
目标函数 z ? 40 x ? 30 y , ( x , y ?N) . ???? 3 分 由图可知,当直线 l 经过点 (16,18) 时, z 取得最大 值 1180,即该作坊可获得的最大利润为 1180 元。 ???? 6 分 图 20

(2)若作坊选择方案一,则其收益为 1180 ? (1 ? 10%) ? 1062 元;???? 8 分 若作坊选择方案二,则作坊生产的足球越多越好,设其生产的足球个数为 t ,

? 2 x ? y ? 50 ? 则 t ? x ? y , ( x , y ?N) ,由(1)知 ?3 x ? 4 y ?120 ,作图分析可知,当 x ? 16, y ? 18 时, t ? x ? 0, y ? 0 ?
取得最大值,此时作坊的收益为 (16 ? 18) ? 30 ? 1020 元,故选择方案一更划算. ???? 12 分

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ln x ? ax(ax ? 1) , a ? R . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若函数 f ( x ) 在 ( 0,1] 内至少有 1 个零点,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)依题意知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 且 f ?( x) ?

1 ? 2a 2 x ? a ? 2a 2 x ? ax ? 1 ? (2ax ? 1)(ax ? 1) ,???? 2 分 x ?x ?x

当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;???? 3 分 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 单调递增,在 (

1 1 1 )上 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ,函数 f ( x) 在 (0, 2a 2a 2a

1 , ??) 上单调递减;???? 4 分 2a 1 1 1 ,由 f ?( x) ?0 得 x ? ? ,函数 f ( x) 在 (0, ? ) 上 a a a

当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? 单调递增,在 (?

1 , ??) 上单调递减. ???? 5 分 a

(2)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 ( 0,1] 内有 1 个零点 x0 ? 1;???? 6 分 当 a ? 0 时,由(1)知函数 f ( x) 在 (0, ①若

1 1 ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减; 2a 2a

1 1 ?1, 即 0 ? a ? 时, f ( x ) 在 ( 0,1] 上单调递增, 由于当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? , 2a 2

2 且 f (1) ? ?a ? a ? 0 ,知函数 f ( x ) 在 ( 0,1] 内无零点;???? 7 分

②若 0 ?

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在 ( , 1 ) 上单调递增,在 ( 1 , ] 上单调递减,要使 0 1 2a 2a 2a 2
4 1 ) ? 0 ,即 1 ? a ? 1 e 3 ;???? 2a 2 2

函数 f ( x ) 在 ( 0,1] 内至少有 1 个零点,只需满足 f ( 9分

当 a ? 0 时,由(1)知函数 f ( x) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? ③若 ?

1 a

1 , ??) 上单调递减; a

1 ? 1, 即 ?1 ? a ? 0 时,f ( x ) 在 ( 0,1] 上单调递增, 由于当 x ? 0 时,f ( x) ? ?? , a

且 f (1) ? ?a2 ? a ? 0 ,知函数 f ( x ) 在 ( 0,1] 内有 1 个零点;???? 10 分 ④若 0 ? ? 1 ? 1 , 即 a ? ?1 时, 函数 f ( x) 在 (0, ? 1 ) 上单调递增, 在 ( ? 1 , 1] 上单调递减;

a

a

a

由于当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? ,且当 a ? ?1 时, f ( ? 1 ) ? ln( ? 1 ) ? 0 ,知函数 f ( x ) 在

a

a

( 0,1] 内无零点;???? 11 分
综上可得: a 的取值范围是 [ ?1, 0] U ( ,

1 1 e4 3 ] . ???? 12 分 2 2

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所 做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x ? 2a | . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)若不等式 f ( x) ? 3a 2 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)当 a ? 1 时, 原不等式等价于 | x ? 1| ? | x ? 2 | ? 3 ,利用数轴及绝对值的几何意义 知 0 ? x ? 3 ,即不等式 f ( x) ? 3 的解集为 [0, 3] ;???? 5 分

x 1

2

x

?a? 1 ?a ? 1 ? ? 2 2 ( 2 ) ?| x ? 1| ? | x ? 2a | ? | 2a ? 1| , ?| 2a ? 1| ? 3a , 即 ? 或? ,解得 2 2 ? ? 2 a ? ? 3 a 1 ? 2 a ? 3 a 1 ? ?
2

?1 ? a ?1 , 3
所以 a 的取值范围是 [?1, ] . ???? 10 分

1 3

23. (本小题满分 10 分) 已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? 2b ? 4 ? 2 a b (1)证明 a ? 2b ? 4 ;

(2)若 (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,求

1 ? 3 的最小值. log 2 a log 2 b

【解析】 (1)证明:由 a ? 2b ? 4 ? 2 (a ? 0, b ? 0) 得, a ? 2b ? 2a ? 4b ,即 ab ? 2 ,???? a b a?b 2分
? a ? 2b ? 2 a ? 2b ? 2 4 ? 4 ,当且仅当 a ? 2b ? 2 时取等号. ???? 5 分

(2)? log2 a ? log2 b ? log2 (ab) ? log2 2 ? 1 ,???? 6 分
? 1 ? 3 ? ( 1 ? 3 ) ? (log a ? log b) ? 4 ? log 2 b ? 3 log 2 a ,???? 8 分 2 2 log 2 a log 2 b log 2 a log 2 b log 2 a log 2 b log 2 b 3 log 2 a ? 0, ?0 log 2 a log 2 b

? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ? 0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1 或 a ? 1, b ? 1 ,则
?4 ?

log 2 b 3 log 2 a ? ? 4 ? 2 3 ,即 1 ? 3 的最小值为 4 ? 2 3 . ???? 10 分 log 2 a log 2 b log 2 a log 2 b


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