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宁夏回族自治区银川一中2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题


银川一中 2015/2016 学年度(上)高二期末考试

数 学 试 卷(文科)
命题人:
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.复平面内,复数 A.-1 2.抛物线 y= A.(1,0) 3.若双曲线

1? i 2 ? i 虚部是( 1? i
C.-3 )

) D.3

/>
B.1

1 2 x 的焦点坐标是( 4
B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(0,-1) )

y 2 x2 - = 1 (a>0)的离心率为 2,则 a 等于( a2 3
B. 3 C.

A.2

3 2

D.1 )

4.已知复数 z 满足 z (?1 ? i) ? 2 ? i ,则 z=( A.

3 1 ? i 2 2
3 2

B.

?

3 1 ? i 2 2

C.

3 1 ? i 2 2

D. ?

3 1 ? i 2 2

5.已知 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 6 ,则 f(x)在点 P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形 面积等于( A.4 ) B.5 C.

25 4

D.

13 2

6.过抛物线 y2=8x 的焦点作直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 4,则 ∣AB∣等于 ( A.12 ) B.8 C.6 D.4 )

3 2 7.函数 f ( x ) = 2 x ? 3x ? 12x ? 5 在区间 [0, 3] 上的最大值与最小值分别是 (

A. 5, -15

B. 5, -4

C.

-4, -15

D.-5, -15

8.若函数 f(x)=x2+2x+alnx 在(0,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 B.a<0 C.a≤-4 D.a>-4

)

y2 x2 ? ? 1 共同的渐近线,且过点(-3,2)的双曲线的标准方程是( 9.与双曲线 4 3



y2 x2 A. ? ?1 8 6
3

x2 y2 B. ? ?1 6 8

x2 y2 C. ? ?1 16 9

y2 x2 D. ? ?1 9 16
)

10.若关于 x 的方程 x ? 3x ? m ? 0 在 [0, 2] 上有根,则实数 m 的取值范围是( A. [?2, 2] B. [0, 2] C. [?2, 0] D. (??, ? 2) ? (2, ? ?)

11.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点, 若 A (3, y0 ) 且|AF|=4,则△OAB 的面积为( A. ) D. 3

2 3 3

B.

4 3 3

C.

5 3 3

12.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,f(2)=0,当 x ? 0 时,有 立,则不等式 x2 f ( x) ? 0 的解集是 ( A. (?2,0) ? (2,??) B. (?2,0) ? (0,2) ) C. (2,??)

xf ?( x) ? f ( x) ?0 成 x2

D. (??,?2) ? (2,??)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的焦距是其一个焦点到一条渐近线距离的 4 倍,则该 a 2 b2

双曲线的离心率为_________. 14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1) 、 ( 2) 、 (3) 、 (4)为她们刺绣最简单的四 个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律 刺绣(小正方形的摆放规律相同), 设第 n 个图形包含 f ( n) 个小正方形, 则 f (6) ? 。

(1)
2 3

(2)
9

(3)

(4)

15. i 是虚数单位, i ? 2i ? 3i ? ? ? 9i =

(用 a ? bi 的形式表示, a, b ? R )

16.已知 f(x)=x3-ax2+4x 有 两个极值点 x1,x2,且 f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值, 则 a 的取值范围是_________________. 三、简答题(共 70 分) 17. (本题满分 10 分) 为考察某种药物预防禽流感的效果,进行动物家禽试验,调查了 100 个样本,统计结果 为:服用药的共有 60 个样本,服用药但患病的仍有 20 个样本,没有服用药且未患病的有 20 个样本. (1)根据所给样本数据完成下面 2×2 列联表; (2)请问能否有 90%把握认为药物有效?

不得禽流感 服 药 不服药 总 计 0.001 10.828

得禽流感

总 计

.010

附:

6.635

n(ad ? bc) 2 . K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

18.(本题满分 12 分) 某种产品的广告费用支出 x (千元)与销售额 y (万元)之间有如下对应数据: x y (参考公式: b ?? 2 3 4 4
?x ) ? ? y ?b ,a

5 6

6 5

8 7

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

2 i

(1)根据上表数据,用最小二乘法求出销售额 y 关于费用支出 x 的线性回归方程; (参考值: 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6 ? 5 ? 8 ? 7 ? 138 , 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8 ? 145)
2 2 2 2 2

(2)当广告费用支出 10 千元时,预测一下该商品的销售额为多少万元?

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x2 ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为

y ? 4x ? 4 .
(1)求 a , b 的值; (2)求 f ( x) 的极大值.

20. (本题满分 12 分) 已知抛物线 C 的顶点是椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1 的中心 O,焦点与椭圆 E 的右焦点重合.过 4 3
5 p |。 2

抛物线 C 的焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,且 | AB |? (1)求抛物线的方程;

(2)求直线 AB 所在的方程.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-2(e 为自然对数的底数,a∈R). (1)判断曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线 y=g(x)的公共点个数; 1 ? (2)当 x∈? ?e,e?时,若函数 y=f(x)-g(x)有两个零点,求 a 的取值范围.

22. (本题满分 12 分) 已知 f(x)=ax-lnx,a∈R. (1)当 a=1 时,求曲线 f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (2)是否存在实数 a,使 f(x)在区间(0,e]的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由.

2015 高二(上)数学(文)期末试题参考答案
一.ACDDC,AACBA,BA 二填空:13。

2 3 3

14。61

15。4+5i

16。 ( ,?? )

7 2

三.解答题: (共 70 分) 17. (10 分)解 :( 1 )根 据 服 用 药 的 共 有 60 个 样 本 ,服 用 药 但 患 病 的 仍 有 20 个 样 本 , 没 有 服 用 药 且 未 患 病 的 有 20 个 样 本 , 没 有 服 药 且 没 有 患 病 的 有 20 个 , 得到列联表 不得禽流感 服药 不服药 总 计 40 20 60 得禽流感 20 20 40 总计 60 40 100 ………5 分 ( 2) 由 已 知 , 得 :

K2 ?

100? (40 ? 20 ? 20 ? 20) 2 ? 2.778 60 ? 40 ? 60 ? 40
………9 分 ………10 分
? ?

由 P ( K 2 ≥2.706 ) =0.10. ∴ 能 有 90% 的 把 握 认 为 药 物 有 效 . 18. (12 分)(1) x ? y ? 5,

b ? 0.65 , a ? 1.75,

y ? 0.65x ? 1.75.

?

………6 分

(2)将 x=10,代入(1)中的回归方程,得 y=0.65×10+1.75=8.25( 万元) ∴当广告费用支出 10 千元时,该商品的销售额约为 8.25 万元.

………12 分

20。 (12 分) (1)y2=4x ………6 分 (2)y=2x-2, 或 y=-2x+2。 ………12 分 21. (12 分) 解: (1)f′(x)=ln x+1,所以切线斜率 k=f′(1)=1. 又 f(1)=0,∴曲线在点(1,0)处的切线方程为 y=x-1……2 分

由 Δ=(1-a)2-4=a2-2a-3=(a+1)(a-3)可知: 当 Δ>0 时,即 a<-1 或 a>3 时,有两个公共点;

? y ? ? x 2 ? ax ? 2 ? x 2 ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 . ? ?y ? x ?1

………6 分 2 (2)y=f(x)-g(x)=x -ax+2+xln x, 由 y=0,得 a=x+ +ln x……7 分 x (x-1)(x+2) 2 令 h(x)=x+ +ln x,则 h′(x)= . x x2 1 ? 当 x∈? ……9 分 ?e,e?时,由 h′(x)=0,得 x=1, 1 ? 所以 h(x)在? ?e,1?上单调递减,在[1,e]上单调递增, 因此 h(x)min=h(1)=3-a, ……10 分 1? 1 2 ?1? 由 h? ?e?=e+2e-1,h(e)=e+e+1,比较可知 h?e?>h(e),所以,结合函数图象可得, 2 当 3<a≤e+ +1 时,函数 y=f(x)-g(x)有两个零点。 ……12 分 e
2

当 Δ=0 时,即 a=-1 或 a=3 时,有一个公共点; 当 Δ<0 时,即-1<a<3 时,没有公共点。

22. (12 分) .解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? ∴切线的斜率是 f '(2) ?

1 x ?1 ? x x

……1 分

1 ,又切点是 ? 2,2 ? ln 2? ……2 分 2 ∴ 切线的方程是: x ? 2 y ? 2 ? 2ln 2 ? 0 …………4 分 (Ⅱ)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3, 1 ax ? 1 f / ( x) ? a ? ? ……………6 分 x x ① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , 4 a ? (舍去) ,所以,此时 f ( x) 无最小值. …………8 分 e 1 1 1 ②当 0 ? ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a 1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ……………9 分 a 1 4 ③ 当 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍 a e 去) ,所以,此时 f ( x) 无最小值. ………10 分
综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3.…………12 分
2

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