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二面角及立体几何l练习题


二:二面角及立体几何
1. 已知:如图 2,四面体 V-ABC 中,VA=VB=VC=a,AB=BC=CA=b,VH⊥面 ABC,垂足为 H, 求侧面与底面所成的角的大小.

。 2.矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′ 落在 BC 上,求二面角 A-BD-C 的大小的余弦值.



3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 2,E 为 BC 的中点,求面 B1D1E 与面 BB1C1C 所成 的二面角的大小的正切值.

4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,F 在 AA1 上,且 A1F∶FA=1∶2,求平面 B1EF 与底面 A1C1 所成的二面角大小的正切值.

5. 已知:如图 12,P 是正方形 ABCD 所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=a,AB=a. 求:平面 APB 与平面 CPD 相交所成较大的二面角的余弦值.

6.120°二面角α -l-β 内有一点 P,若 P 到两个面α ,β 的距离分别为 3 和 1,求 P 到 l 的距 离.

7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求以 BD1 为棱,B1BD1 与 C1BD1 为面的二面角的度数.

8.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 C1D1 中点. (1)求证:AC1⊥平面 A1BD. (2)求 BM 与平面 A1BD 成的角的正切值.

9.如图,把等腰直角三角形 ABC 以斜边 AB 为轴旋转, 使 C 点移动的距离等于 AC 时停止,并记为点 P. (1)求证:面 ABP⊥面 ABC; (2)求二面角 C-BP-A 的余弦值.

10.如图所示,在正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, E ? BB 1 ,截面 A 1 EC ? 侧面 AC1 .

(1)求证: BE ? EB1 ;

(2)若 AA1 ? A1B1 ,求平面 A 1EC 与平面 A 1B 1C1 所成二面角(锐角)的度数.

4、如图,四边形 ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面,点 P 在圆柱 OQ 的底面 圆周上, G 是 DP 的中点,圆柱 OQ 的底面圆的半径 OA ? 2 ,侧面积 为 8 3? , ?AOP ? 120? .

(1)求证: AG ? BD ; (2)求二面角 P ? AG ? B 的平面角的余弦值.

答案:8 解: (1)连 AC, 又 AC⊥BD, 同理 AC1⊥A1B ∴AC1⊥BD.

∵C1C⊥平面 ABCD,

∴C1C⊥BD.

∵A1B∩BD=B.∴AC1⊥平面 A1BD.

(2)设正方体的棱长为 a ,连 AD1,AD1 交 A1D 于 E,连结 ME,在△D1AC1 中,ME∥AC1,

∵AC1⊥平面 A1BD.∴ME⊥平面 A1BD. 连结 BE,则∠MBE 为 BM 与平面 A1BD 成的角.在 Rt ?MEB 中,

AC1 3 ME ? ? a 2 2

? 2 ? 6 2 , BE ? ? ? 2 a? ? ?a ? 6 a ? ?

2

∴ tan ?MBE

?

ME 2 ? BE 2
∴点 P 在面 ABC 的射影 D 应是△ABC 的外心,

答案 9 证明(1)

由题设知 AP=CP=BP.

即 D∈AB.∵PD⊥AB,PD ? 面 ABP,

由面面垂直的判定定理知,面 ABP⊥面 ABC. (2)解法 1 取 PB 中点 E,连结 CE、DE、CD. ∵△BCP 为正三角形,∴CE⊥BD.

△BOD 为等腰直角三角形,∴DE⊥PB.∴∠CED 为二面角 C-BP-A 的平面角. 又由(1)知,面 ABP⊥面 ABC,DC⊥AB,AB=面 ABP∩面 ABC, 由面面垂直性质定理,得 DC⊥面 ABP.∴DC⊥DE.因此△CDE 为直角三角形.

1 1 3 DE 3 设 BC ? 1 ,则 CE ? , DE ? , cos ?CED ? . ? 2 ? 2 2 CE 3 3 2
答案 10(1)证明:在截面 A1EC 内,过 E 作 EG⊥A 1 C,G 是垂足,如图,

∵面 A 1 EC⊥面 AC 1 ,∴EG⊥侧面 AC 1 . 取 AC 的中点 F,分别连结 BF 和 FC,由 AB=BC 得 BF⊥AC. ∵面 ABC⊥侧面 AC 1 ,∴BF⊥侧面 AC 1 ,

得 BF∥EG.BF 和 EG 确定一个平面,交侧面 AC 1 于 FG.

∵BE∥侧面 AC 1 ,∴BE∥FG,四边形 BEGF 是

,BE=FG.

∴BE∥AA 1 ,∴FG∥AA 1 ,△AA 1 C∽△FGC.

解:(2)分别延长 CE 和 C1B1 交于点 D,连结 A 1 D.

∵∠B 1 A 1 C 1 =∠B 1 C 1 A 1 =60°,

∴∠DA 1 C 1 =∠DA 1 B 1 +∠B 1 A 1 C 1 =90°,即 DA 1 ⊥A 1 C 1 .

∵CC 1 ⊥面 A 1 C 1 B 1 ,

由三垂线定理得 DA 1 ⊥A 1 C,所以∠CA 1 C 1 是所求二面角的平面角.且∠A 1 C 1 C=90°.

∵CC 1 =AA 1 =A 1 B 1 =A 1 C 1 ,∴∠CA 1 C 1 =45°,即所求二面角为 45°.


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