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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第5章 第3节 等比数列及其前n项和


课时作业 一、选择题 1.(2014· 承德一模)在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值为 ( ) A.1 1 C.1 或-2 C 1 D.-1 或2 1 B.-2

? ?a1q2=7, [根据已知条件得? ?a1+a1q+a1q2=21, ?

1+q+q2 ∴ =3. q2 整理得 2q2-q-1=0, 1 解得 q=1 或 q=-2.] S4 2.设数列{an}满足:2an=an+1(an≠0)(n∈N*),且前 n 项和为 Sn,则a2的值为 ( 15 A. 2 ) 15 B. 4

C.4 D.2 A [由题意知,数列{an}是以 2 为公比的等比数列, a1(1-24) 1-2 S4 15 故a2= = 2 .] a1×2 3.已知数列{an},则“an,an+1,an+2(n∈N*)成等比数列”是“a2 n+1=anan+2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A [显然,n∈N*,an,an+1,an+2 成等比数列,则 a2 n+1=anan+2,反之,则不一定 成立,举反例,如数列为 1,0,0,0,?] 4.(2014· 济南调研)已知等比数列{an}满足 a1=2,a3a5=4a2 6,则 a3 的值为 ( ) 1 A.2 C.2 B.1 1 D.4

B [∵{an}为等比数列,设公比为 q, 由 a3·a5=4a2 6可得:a2 4=4a2 6, a2 6 1 1 1 ∴a2 4=4,即 q4=4.∴q2=2,a3=a1·q2=1.] 5.(2013· 太原模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于

(

)

A.80 B.30 C.26 D.16 B [设 S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知: 2(14-a)=(a-2)2,解得 a=6 或 a=-4(舍去), 同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以 b=S4n=30.] 1 m 6.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根组成以2为首项的等比数列,则 n = ( 3 A.2 2 C.3 B ) 3 2 B.2或3 D.以上都不对 [设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根,不妨设 a<c<d<b,

1 则 a· b=c· d=2,a=2,故 b=4, 根据等比数列的性质,得到 c=1,d=2, 9 9 m 3 m 2 则 m=a+b=2,n=c+d=3,或 m=c+d=3,n=a+b=2,则 n =2或 n =3.] 二、填空题 7.已知各项不为 0 的等差数列{an},满足 2a3-a2 7+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7 =a7,则 b6b8=________. 解析 由题意可知,b6b8=b2 7=a2 7=2(a3+a11)=4a7, ∵a7≠0,∴a7=4,∴b6b8=16. 答案 16 8.(2013· 广东高考)设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4| =__________. 解析 由数列{an}首项为 1,公比 q=-2, 则 an=(-2)n-1, a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8, 则 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15. 答案 15 1 1 1 9.已知{an}是公比为 2 的等比数列,若 a3-a1=6,则 a1=__________;a2 + +?+ 1 a2 2 a2 n= ________. 解析 ∵{an}是公比为 2 的等比数列,且 a3-a1=6, ∴4a1-a1=6,即 a1=2,故 an=a12n-1=2n, 1 ?1?n 1 ?1?n ∴an= 2 ,a2 n= 4 ,

? ?
?

? ?

?1? 1 1 ? 即数列?a2 n 是首项为4,公比为4的等比数列, ?

1 1? 1-4n? 4 ? ? 1? 1 1 1 1 1-4n?. ∴a2 + +?+ = = 1 a2 2 a2 n 1 3? ? 1-4 1? 1? 答案 2 3 1-4n ? ? 三、解答题 10.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 a1+a3+?+a2n+1. 解析 (1)∵S1=a1=1,且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列,∴Sn=2n-1, 又当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2.
?1,n=1, ? ∴an=? ? ?2n-2,n≥2.

(2)a3,a5,?,a2n+1 是以 2 为首项,以 4 为公比的等比数列, 2(1-4n) 2(4n-1) ∴a3+a5+?+a2n+1= = . 3 1-4 ∴a1+a3+?+a2n+1=1+ 2(4n-1) 22n+1+1 = . 3 3

11.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,其中 an≠0,a1 为常数,且-a1,Sn,an+1 成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=1-Sn,问:是否存在 a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出 a1 的值;若不 存在,请说明理由. 解析 (1)依题意,得 2Sn=an+1-a1. 当 n≥2 时,有?
? ?2Sn=an+1-a1, ?2Sn-1=an-a1. ?

两式相减,得 an+1=3an(n≥2). 又因为 a2=2S1+a1=3a1,an≠0, 所以数列{an}是首项为 a1,公比为 3 的等比数列. 因此,an=a1·3n-1(n∈N*). a1(1-3n) 1 1 (2)因为 Sn= =2a1·3n-2a1, 1-3 1 1 bn=1-Sn=1+2a1-2a1·3n. 1 要使{bn}为等比数列,当且仅当 1+2a1=0,即 a1=-2. 所以存在 a1=-2,使数列{bn}为等比数列. 12.(2012· 山东高考)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm,求数列{bm}的 前 m 项和 Sm. 解析 (1)因为{an}是一个等差数列,

所以 a3+a4+a5=3a4=84,所以 a4=28. 设数列{an}的公差为 d, 则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9. 由 a4=a1+3d 得 28=a1+3×9,即 a1=1, 所以 an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*). (2)对 m∈N*,若 9m<an<92m, 则 9m+8<9n<92m+8,因此 9m-1+1≤n≤92m-1, 故得 bm=92m-1-9m-1. 于是 Sm=b1+b2+b3+?+bm =(9+93+?+92m-1)-(1+9+?+9m-1) 9×(1-81m) (1-9m) = - 1-81 1-9 92m+1-10×9m+1 = . 80


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