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《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第2章 函数、导数及其应用-13


第二章
函数、导数及其应用

第十三节

定积分与微积分基本定理

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

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考 1.了解定积分的实际背景, 了解定积分的基本思想, 纲 了解定积分的概念. 导

学 2.了解微积分基本定理的含义.

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1.定积分 (1)定积分的相关概念
b ? 在? f(x)d x 中, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限, 区间 ?a

1 □

2 ______ __________叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,□ 3 __________叫做被积式. 叫做积分变量,□

(2)定积分的性质 4 ①? ? kf(x)d x= □__________(k 为常数);
b

?a

b 5 ________________; ②? f2(x)]dx= □ ? [f1(x)±

?a

c ?bf(x)d x(其中 a<c<b). 6 __________=? ③□ f(x) d x + ? ?

?a

?c

2.微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x) =f(x),那
b ? 么? f(x)d x= ?a

7 __________,这个结论叫做微积分基本定理,又 □

叫做牛顿—莱布尼茨公式.

3.定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的, 但是定积分并不一 定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来定:









设阴影部分面积为 S. ①S=? ? f(x)d x;
?a
b ? ②S=-? f(x)d x; ?a c b ? ? ③S=? f(x)d x- ? f(x)d x; ?a ?c b b ? ? ④S=? f(x)d x- ? g(x)dx= ?a ?a b

8 ______________. □

(2)匀变速运动的路程公式 作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v =v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即
b ? S=? v(t)dt. ?a

答案:

1 个定理——微积分基本定理 利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数, 由此可知,求导与积分互为逆运算.

2 条结论——定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形 位于 x 轴下方时,定积分的值为负;当位于 x 轴上方的曲边梯形与 位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为零. (2)加速度对时间的积分为速度,速度对时间的积分是路程.

4 条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外; (2)和差的积分等于积分的和差; (3)积分可分段进行; (4)f(x)在区间[-a,a]上连续,若 f(x)为偶函数,则
? f(x)d x;若 f(x)为奇函数,则 2? ? ?

f(x)dx=

a 0

f(x)d x=0.

1 1. dx 等于( x
?4 ? ? ?2

) B.2ln2 D.ln2

A.-2ln2 C.-ln2
?4 ? ? ?2

1 4 解析: xdx=lnx|2 =ln4-ln2=ln2.

答案:D

1 x 2.? ? (e +2x)dx等于( ?
?

)

0

A.1 C.e

B.e-1 D.e+1

1 x x 2 1 1 0 解析:? ? (e +2x)dx=(e +x )|0=(e +1)-e =e. ?
?0

答案:C

3.曲线y=sinx(-π≤x≤2π)与x轴所围成的封闭区域的面积 为( ) A.0 C.-2 B.2 D.6

解析:先求[0,π]上的面积为:
?π ? ? ?

sinxdx=-cosx|π 0=2.

0

因为三块区域的面积相等,都是2,故总面积为6.
答案:D

1 ?2 ?2 4.若? ? f(x)dx=1,? f(x)dx=-1,则? f(x)dx=__________. ? ? ?
?

0

?

0

?

1

2 ?1 ?2 解析:∵? ? f(x)dx=? f(x)dx+? f(x)dx, ? ? ?
?0 ?0 ?1

2 ?2 ?1 ∴? ? f(x)dx=? f(x)dx-? f(x)dx ? ? ?
?1 ?0 ?0

=-1-1=-2. 答案:-2

5.设a>0,若曲线y= x 与直线x=a,y=0所围成封闭图形 的面积为a2,则a=__________.
2 x dx= x 3
3 2

解析:由已知得S= 2 4 ,所以a= . 3 9

?a ? ? ?

2 2 a |0= a
3

0

3

=a ,所以a

2

1 2



4 答案: 9

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一 【例 1】 计算下列积分 1? (1) 2x - ?dx; x?
?2 ? ? ? ?1?

定积分的计算

?

2

?π 2x (2) ? sin 2dx; 2 ?0
2 ? (4)? - x +2xdx; ?
?0

(3)

?0 ? ?-π ?1 ? ?-1

(cosx+ex)dx;

1

(5)

(xcosx-5sin x+2)dx.

?2 ? 1? 14 3 2 ? ? ? | 解析:(1) 2x -x dx= 3x -lnx 1= 3 -ln2. ? ? ?
?2 ? ? ? ? ?1

?

2

?π 1 - cos x π-2 1 ?2 π π 2x ? ? (2) ? sin dx=? dx= (x-sinx) ? = . 2 2 2 4 2 2 ?0 ?0 ?0 (3)
?0 ? ?-π
-π (cosx+ex)dx=(sinx+ex)|0 . -π=1-e

(4)y= -x2+2x= 1-?x-1?2 ?y≥0, ? 2 ??1-?x-1? ≥0, ?y2=1-?x-1?2 ?
? ?y≥0, ?? 2 2 ? ? x - 1 ? + y =1, ? ? ?y≥0, ?? 2 2 ? y = 1 - ? x - 1 ? ?

由图形可知:

?1 ? ? ?0

π -x +2x= . 4
2

(5)由y=xcosx-5sinx为奇函数,得
?1 ? ?-1
1 ? (xcosx-5sinx+2)dx=? ?-1

(xcosx-5sinx)dx+

1 ?1 2dx=2x|- 1=4. ? ?-1

?名师点拨 定积分的求法 (1)利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积函数的原 函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,因此 应注意掌握一些常见函数的导数. (2)根据积分的几何意义可利用面积求积分. (3)若 y=f(x)为奇函数,则? ? f(x)dx=0.
?-a
a

解析:

答案:(1)2 2-2

(2)1

9π (3) 4

考点二 【例 2】

利用定积分求平面图形的面积

(1)已知二次函数 y=f(x)的图像如图所示,则它与 x ) 4 B. 3

轴所围图形的面积为( 2π A. 5

3 C.2

π D.2

(2)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( ) 10 A. 3 16 C. 3 B.4 D.6

1 (3)如图,曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1 ,y= 所围成的图形(阴 4 影部分)的面积为( 2 A. 3 ) 1 B. 3

1 C. 2

1 D. 4

解析:(1)由题意知二次函数 f(x)=- x2+1,它与 x 轴所围图形
? ? 1 3? 1 1? ?1 ?1 2 ?1 的面积为 ? f(x)d x=2 ? f(x)d x= 2 ? (-x +1)dx=2 ?x-3x ?|0= 2 ?1-3? ? ? ? ? ? ? ?0 ?0 ?-1

4 =3.

(2)作出曲线 y= x,直线 y=x- 2 的草图(如图所示),所求面 积为阴影部分的面积.
? ?y= x, 由? ? ?y= x-2

得交点 A(4,2).

因此 y= x与 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为
?4 ? ? ?

[ x-(x-2)]dx= ( x-x+2)d x
0

0

?4 ? ? ?

2 1 16 = ×8- ×16+2×4= . 3 2 3

答案:(1)B

(2)C (3)D

? 名师点拨 题策略

利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解

(1)知图形求面积.首先,依据函数的图像求出解析式;其次, 确立被积函数;最后,利用定积分求面积. (2)知函数解析式求面积.解决此类问题应分四步:①画图;② 确定积分上、下限,即求出曲线的交点坐标;③确定被积函数;④ 由定积分求出面积.

(3)知图形的面积求参数.求解此类题的突破口:画图,一般是 先画出它的草图;确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分 求出其面积,再由已知条件可找到关于参数的方程,从而可求出参 数的值.

π π 通关特训 2 (1)由直线 x=- 3,x=3,y=0 与曲线 y=cosx 所 围成的封闭图形的面积为( 1 A.2 3 C. 2 B.1 D. 3 )

(2)如图, 由两条曲线 y=-x2,4y=- x2 及直线 y=-1 所围成的 图形的面积为__________.

解析:(1)封闭图形的面积为:

4 答案:(1)D (2)3

考点三

定积分物理意义的应用

【例 3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况 25 而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶 1+t 至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( A.1+25ln5 C.4+25ln5 11 B.8+25ln 3 D.4+50ln2 )

(2)一物体在力

?10 ?0≤x≤2? ? F(x)=? ? ?3x+4 ? x>2?

(单位:N)的作用下沿与 )

力 F(x)相同的方向运动了 4 米,力 F(x)做功为( A.44 J C.48 J B.46 J D.50 J

? ? 25 8 解析:(1)由 v(t)=7-3t+ =0,可得 t=4?t=-3舍去?,因 1+t ? ?

此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s, 此 期 间 行 驶 的 距 离 为
? ?4 32 ?7t- t +25ln?1+t?? |0=4+25ln5. 2 ? ?
?4 ? ? ?0

v(t)dt =

?4 ? ? ?0

? 25 ? ? ? 7 - 3t + ? 1+t? ? ?

dt =

? ? 10dx+ ? (3x+4)dx (2)力 F(x)做功为? ? ? ?0 ?2

2

4

3 2 2 | ? =10x 0+ x +4x?|4 2
?2 ?

?

?

=20+26=46.
答案:(1)C (2)B

?名师点拨 利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题 利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关键是 求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关 系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计 算即得所求.

通关特训 3 一物体做变速直线运动,其 v-t 图线如图所示, 1 则该物体在 s~6 s 间的运动路程为__________. 2

? ?0≤t<1? ?2t ?2 ?1≤t<3? 解析:v(t)=? ?1 t+1 ?3≤t≤6? ? 3 ? 由变速直线运动的路程公式,可得



49 答案: 4 m

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